【压轴卷】高一数学下期末第一次模拟试卷(带答案)

【压轴卷】高一数学下期末第一次模拟试卷(带答案)
一、选择题
1．如图，在ABC ∆中，已知5AB =，6AC =，12
BD DC =u u u v u u u v ，4AD AC ⋅=u u u v u u u v ，则
AB BC ⋅=u u u v u u u v
A ．-45
B ．13
C ．-13
D ．-37
2．已知ABC V 为等边三角形，2AB =，设P ，Q 满足AP AB λ=uu u r uu u r ，
()()1AQ AC λλ=-∈R u u u r u u u r ，若3
2
BQ CP ⋅=-uu u r uu r ，则λ=（ ）
A ．
12
B ．12
± C ．
110
± D ．
322
± 3．已知集合 ，则
A ．
B ．
C ．
D ．
4．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 （ ） A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B ．若l α⊥，//l m ，则m α⊥ C ．若//l α，m α⊂，则//l m
D ．若//l α，//m α，则//l m
5．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱
111ABC A B C -，其中AC BC ⊥，若11AA AB ==，当“阳马”即四棱锥11B A ACC -体
积最大时，“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -的表面积为
A 21
B 31
C 223
+D 33
+6．设函数，则()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫
⎛
⎫=+++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭，则（ ） A ．()y f x =在0,
2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
单调递增，其图象关于直线4
x π
=
对称
B ．()y f x =在0,2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
单调递增，其图象关于直线2
x π
=
对称
C ．()y f x =在0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭单调递减，其图象关于直线4
x π
=对称 D ．()y f x =在0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递减，其图象关于直线2x π=对称
7．设函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+-+0,||2πωϕ⎛
⎫
><
⎪⎝
⎭
的最小正周期为π，且f x f x -=（）（），则（ ）
A ．()f x 在0,2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
上单调递增 B ．()f x 在,22ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭上单调递减
C ．()f x 在0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调递减
D ．()f x 在,22ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上单调递增
8．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]
0,1x ∈时，()2cos x f x x =-，则下列结论正确的是（ ）
A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫
<<
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫
<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫
<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫
<<
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
9．1
()x
f x e x
=-的零点所在的区间是（ ） A ．1(0,)2
B ．1(,1)2
C ．3
(1,)2
D ．3(,2)2
10．函数()(1)lg(1)35f x x x x =-+--的零点个数为（ ）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
11．已知圆()()2
2
:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ） A ．7
B ．6
C ．5
D ．4
12．若函数()(1)(0x
x
f x k a a a -=-->且1a ≠）在R 上既是奇函数,又是减函数,则
()log ()a g x x k =+的图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．在ABC △ 中，若223a b bc -= ，sin 23sin C B = ，则A 等于__________． 14．(
)sin1013tan 70
+=o
o
_____
15．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b ，且,{0,1,2,,9}a b ∈L .若||1a b -…，则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则这两人“心有灵犀”的概率为______. 16．等边ABC ∆的边长为2，则AB u u u v 在BC uuu v
方向上的投影为________．
17．在四面体ABCD 中，=2,60,90AB AD BAD BCD =∠=︒∠=︒，二面角A BD C --的大小为150︒，则四面体ABCD 外接球的半径为__________．
18．直线l 与圆2
2
240(3)x y x y a a ++-+=<相交于两点A ，B ，弦AB 的中点为
(0,1)，则直线l 的方程为__________．
19．已知函数()2,0
1,0
x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩若()()10f a f +=，则实数a 的值等于________．
20．如图，某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积为________．
三、解答题
21．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f （x ）＝x 2﹣2x ．
（1）求f （0）及f （f （1））的值； （2）求函数f （x ）的解析式；
（3）若关于x 的方程f （x ）﹣m ＝0有四个不同的实数解，求实数m 的取值范围， 22．在ABC V 中，a ，b ，c 分别为内角,,A B C 所对的边，已知cos a A R =，其中R 为
ABC V 外接圆的半径，222
43
3
a c b
S +-=
，其中S 为ABC V 的面积． （1）求sin C ；
（2）若23a b -=-，求ABC V 的周长． 23．已知函数()sin()(0,0)3
f x A x A π
ωω=+
>>的部分图象如图所示.
（1）求A 和ω的值；
（2）求函数()y f x =在[0,]π的单调增区间；
（3）若函数()()1g x f x =+在区间(,)a b 上恰有10个零点，求b a -的最大值. 24．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωφωφ⎛⎫
=+>><
⎪⎝
⎭
的部分图象如图所示.
（1）求()f x 的解析式；
（2）求()f x 的单调增区间并求出()f x 取得最小值时所对应的x 取值集合． 25．已知数列{}n a 满足()
*1121
12n n n n n
a a a n N
b a a +==
∈=+，，，． ()1证明数列{}n b 为等差数列；
()2求数列{}n a 的通项公式．
26．已知函数()e cos x
f x x x =-．
（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；
（Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2
上的最大值和最小值．
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一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】
先用AB u u u v 和AC uuu v
表示出2
A A
B B
C AB C AB ⋅=⋅-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，
再根据，12BD DC =u u u v u u u v 用用AB u u u v 和AC uuu v 表示出AD u u u v
，再根据4AD AC ⋅=u u u v u u u v 求出A AB C ⋅u u u v u u u v 的
值，最后将A AB C ⋅u u u v u u u v 的值代入2
A A
B B
C AB C AB ⋅=⋅-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，
，从而得出答案． 【详解】
()
2 A =A AB BC AB C AB AB C AB ⋅=⋅-⋅-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，
∵12BD DC =u u u v u u u v ，
∴111B C ?C B 222AD A A AD AD A AD A -=-=-+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
（），
整理可得：12 AB 33
AD AC +u u u v u u u v u u u v
＝， 2
21A A 433
AD AC AB C C ∴⋅⋅+=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ＝
∴ A =-12AB C ⋅u u u v u u u v ， ∴2 =A =122537AB BC AB C AB ⋅⋅---=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ．，
故选：D ． 【点睛】
本题考查了平面向量数量积的运算，注意运用平面向量的基本定理，以及向量的数量积的性质，考查了运算能力，属于中档题．
2．A
解析：A 【解析】 【分析】
运用向量的加法和减法运算表示向量BQ BA AQ =+u u u r u u u r u u u r ，CP CA AP =+u u u r u u u r u u u r
，再根据向量的数
量积运算，建立关于λ的方程，可得选项. 【详解】
∵BQ BA AQ =+u u u r u u u r u u u r ，CP CA AP =+u u u r u u u r u u u r ，
∴()()
BQ CP BA AQ CA AP AB AC AB AP AC AQ AQ AP ⋅=+⋅+=⋅-⋅-⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
()()2211AB AC AB AC AB AC λλλλ=⋅---+-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
()()232441212222
λλλλλλ=---+-=-+-=-，∴1
2λ=.
故选：A. 3．D
解析：D 【解析】 试题分析：由
得
，所以
，因为
，所以
，故选D.
【考点】 一元二次不等式的解法，集合的运算
【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理.
4．B
解析：B 【解析】 【分析】
利用,l α可能平行判断A ，利用线面平行的性质判断B ，利用//l m 或l 与m 异面判断
C ，l 与m 可能平行、相交、异面，判断
D . 【详解】
l m ⊥，m α⊂，则,l α可能平行，A 错；
l α⊥，//l m ，由线面平行的性质可得m α⊥，B 正确； //l α，m α⊂，则//l m ， l 与m 异面；C 错，
//l α，//m α，l 与m 可能平行、相交、异面，D 错，.故选B. 【点睛】
本题主要考查线面平行的判定与性质、线面面垂直的性质，属于中档题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.
5．C
解析：C 【解析】
分析：由四棱锥11B A ACC -的体积是三棱柱体积的
2
3
，知只要三棱柱体积最大，则四棱锥体积也最大，求出三棱柱的体积后用基本不等式求得最大值，及取得最大值时的条件，再求表面积．
详解：四棱锥11B A ACC -的体积是三棱柱体积的
23
，11111122ABC A B C V AC BC AA AC BC -=⋅⋅=⋅222111
()444AC BC AB ≤+==，当且仅当
AC BC ==
时，取等号．
∴121)12S =⨯+++⨯=
故选C ．
点睛：本题考查棱柱与棱锥的体积，考查用基本不等式求最值．解题关键是表示出三棱柱的体积．
6．D
解析：D 【解析】
()sin(2)cos(2))2442
f x x x x x πππ
=+++=+=,
由02,x π<<得02
x π
<<
，再由2,x k k Z ππ=+∈,所以,2
2
k x k Z π
π
=
+
∈. 所以y=f(x)在()y f x =在(0,
)2
π
单调递减,其图象关于直线2
x π
=
对称,故选D.
7．A
解析：A 【解析】 【分析】
将f(x)化简，求得ωφ，，再进行判断即可. 【详解】
()π
f x ωx φ,4⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭∵最小正周期为2ππ,π,ω∴=得ω2=，
又f x f x （）（）-=为偶函数，所以ππ
φk π42
-=+, k Z ∈
∵πφ2<
,∴k=-1,()πππφ,f x 2x 444⎛
⎫=-∴=--= ⎪⎝
⎭,
当2k π2x 2k ππ≤≤+,即π
k πx k π2
≤≤+,f(x)单调递增，结合选项k=0合题意， 故选A.
本题考查三角函数性质，两角差的正弦逆用，熟记三角函数性质，熟练计算f(x)解析式是关键，是中档题.
8．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据f （x ）是奇函数，以及f （x+2）=f （-x ）即可得出f （x+4）=f （x ），即得出f （x ）的周期为4，从而可得出f （2018）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫
=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20207312f f ⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
然后可根据f （x ）在[0，1]上的解析式可判断f （x ）在[0，1]上单调递增，从而可得出结果. 【详解】
∵f（x ）是奇函数；∴f（x+2）=f （-x ）=-f （x ）；∴f（x+4）=-f （x+2）=f （x ）； ∴f（x ）的周期为4；∴f（2018）=f （2+4×504）=f （2）=f （0），
2019122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,20207 312f f ⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∵x∈[0，1]时，f （x ）=2x -cosx 单调递增；∴f(0)＜12f ⎛⎫
⎪⎝⎭ ＜712f ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ∴()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,故选C. 【点睛】
本题考查奇函数，周期函数的定义，指数函数和余弦函数的单调性，以及增函数的定义，属于中档题.
9．B
解析：B 【解析】
函数f （x ）=e x ﹣1x 是（0，+∞）上的增函数，再根据f （1
2
）2＜0，f （1）=e ﹣1＞0，可得f （12）f （1）＜0，∴函数f （x ）=e x ﹣1x 的零点所在的区间是（1
2
，1），故选B ．
点睛：判定函数的零点所在区间，只需计算区间端点处的函数值，并判断是否异号，只要异号，则区间内至少有一个零点存在.
10．B
解析：B 【解析】 【分析】
可采用构造函数形式，令()()()35
lg 1,1
x h x x g x x +=+=
-，采用数形结合法即可求解
由题可知，1x >-，当1x =时，()80f x =-≠， 令358
()(1)lg(1)350lg(1)311
x f x x x x x x x +=-+--=⇒+==+--， 令()()()35
lg 1,1
x h x x g x x +=+=
-，画出函数图像，如图：
则两函数图像有两交点，故函数()(1)lg(1)35f x x x x =-+--的零点个数为2个 故选：B 【点睛】
本题考查函数零点个数的求解，数形结合思想，属于中档题
11．B
解析：B 【解析】
由题意知，点P 在以原点（0，0）为圆心，以m 为半径的圆上，又因为点P 在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以15m -=，故选B.
考点：本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.
12．A
解析：A 【解析】 【分析】
由题意首先确定函数g (x )的解析式，然后结合函数的解析式即可确定函数的图像. 【详解】
∵函数()(1)x
x
f x k a a -=--(a >0,a ≠1)在R 上是奇函数，
∴f (0)=0，∴k =2， 经检验k =2满足题意， 又函数为减函数， 所以01a <<， 所以g (x )=log a (x +2)
定义域为x >−2，且单调递减， 故选A . 【点睛】
本题主要考查对数函数的图像，指数函数的性质，函数的单调性和奇偶性的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
二、填空题
13．【解析】由得所以即则又所以故答案为 解析：6
π
【解析】
由sinC = 得c =， 所以222a b -==，即227a b =， 则
222222
22b c a cosA bc +-=== ，又0A π∈（，）， 所以6A π=． 故答案为
6
π
. 14．【解析】【分析】将写成切化弦后利用两角和差余弦公式可将原式化为利用二倍角公式可变为由可化简求得结果【详解】本题正确结果：【点睛】本题考查利用三角恒等变换公式进行化简求值的问题涉及到两角和差余弦公式二 解析：1
【解析】 【分析】
tan 60o
，切化弦后，利用两角和差余弦公式可将原式化为sin10cos10cos 60cos 70o o
o o
，利
用二倍角公式可变为1sin 202cos 60cos 70
⋅o
o o
，由sin 20cos70=o o 可化简求得结果. 【详解】
(
)
(
)
cos 60cos 7060sin 70
sin101sin101tan 60tan70sin1s 0co i s 60o 7n c s 0=++⋅
=o o o o
o
o
o
o o
o
o o
()
cos 7060sin10cos101sin 201sin101cos60cos70cos60cos702cos60cos702cos60
-=⋅==⋅==o o
o o o o
o o o o o o o
本题正确结果：1 【点睛】
本题考查利用三角恒等变换公式进行化简求值的问题，涉及到两角和差余弦公式、二倍角公式的应用.
15．【解析】【分析】由题意知本题是一个古典概型从0~9中任意取两个数（可重复）共有100种取法列出满足所有可能情况代入公式得到结果【详解】从0~9中任意取两个数（可重复）共有100种取法则的情况有：共有 解析：
725
【解析】
【分析】
由题意知本题是一个古典概型，从0~9中任意取两个数（可重复）共有100种取法，列出满足||1a b -„所有可能情况，代入公式得到结果。

【详解】
从0~9中任意取两个数（可重复）共有100种取法，则||1a b -„的情况有：()0,0，
()1,1，()2,2，()3,3，()4,4，()5,5，()6,6，()7,7，()8,8，()9,9，()0,1，()1,0，()1,2，()2,1，()2,3，()3,2，()3,4，()4,3，()4,5，()5,4，()5,6，
()6,5，()6,7，()7,6，()7,8，()8,7，()8,9，()9,8共有28种，所以287
10025
P =
=
. 【点睛】
本题考查了古典概型的概率计算问题，属于基础题。

16．【解析】【分析】建立直角坐标系结合向量的坐标运算求解在方向上的投影即可【详解】建立如图所示的平面直角坐标系由题意可知：则：且据此可知在方向上的投影为【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算向量投 解析：1-
【解析】 【分析】
建立直角坐标系，结合向量的坐标运算求解AB u u u r 在BC uuu
r 方向上的投影即可.
【详解】
建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知：()0,0A ，()2,0B ，(C ，
则：()2,0AB =uu u r ，(BC =-u u u v ，2AB BC ⋅=-u u u r u u u r
且2AB =u u u r ，BC =u u u v
据此可知AB u u u r 在BC uuu r 方向上的投影为212AB BC AB
⋅-==-u u u v u u u v
u u u
v .
【点睛】
本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，向量投影的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
17．【解析】画出图象如下图所示其中为等边三角形边的中点为等边三角形的中心(等边三角形四心合一);球心在点的正上方也在点的正上方依题意知在中所以外接圆半径 解析：
213
【解析】
画出图象如下图所示,其中E 为等边三角形BD 边的中点,1O 为等边三角形的中心(等边三角形四心合一);球心O 在E 点的正上方,也在1O 点的正上方.依题意知
11132360,OEO O E O A ∠==
=
o 在1Rt OO E ∆中11tan 601OO O E ==o
,所以外接圆半径2211421
13r OA OO O A ==+=+
=
18．【解析】【分析】【详解】设圆心直线的斜率为弦AB 的中点为的斜率为则所以由点斜式得
解析：10x y -+=. 【解析】 【分析】 【详解】
设圆心O ，直线l 的斜率为k ，弦AB 的中点为P ，PO 的斜率为op k ，21
10
op k -=
--则l PO ⊥，所以k (1)11op k k k ⋅=⋅-=-∴=由点斜式得1y x =+．
19．-3【解析】【分析】先求再根据自变量范围分类讨论根据对应解析式列方程解得结果【详解】当a>0时2a=-2解得a=-1不成立当a≤0时a+1=-2解得a=-3【点睛】求某条件下自变量的值先假设所求的值
解析：-3 【解析】 【分析】
先求()f a ，再根据自变量范围分类讨论，根据对应解析式列方程解得结果. 【详解】
()()()102f a f f a +=⇒=-
当a>0时，2a=-2,解得a=-1，不成立 当a≤0时，a+1=-2,解得a=-3 【点睛】
求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.
20．【解析】【分析】由三视图知几何体是半个圆锥圆锥的底面半径是1母线长是2得到圆锥的高利用圆锥体积公式得到结果【详解】由三视图知该几何体是半个圆锥圆锥的底面半径是1母线长是2∴圆锥的高是∴几何体的体积是
解析：
6
【解析】 【分析】
由三视图知几何体是半个圆锥，圆锥的底面半径是1，母线长是2，得到圆锥的高，利用圆锥体积公式得到结果． 【详解】
由三视图知该几何体是半个圆锥，圆锥的底面半径是1，母线长是2，
=
∴几何体的体积是211132π⨯⨯⨯=，
【点睛】
本题考查由三视图还原几何图形，考查圆锥的体积公式，属于基础题.
三、解答题
21．（1）f （0）＝0，f （1）＝﹣1（2）()222,0
2,0
x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩（3）（﹣1，0）
【解析】 【分析】
（1）根据题意，由函数的解析式，将x ＝0代入函数解析式即可得f （0）的值， 同理可得f （1）的值，利用函数的奇偶性分析可得f （f （1））的值；
（2）设x ＜0，则﹣x ＞0，由函数的解析式分析f （﹣x ）的解析式，进而由函数的奇偶性分析可得答案；
（3）若方程f （x ）﹣m ＝0有四个不同的实数解，则函数y ＝f （x ）与直线y ＝m 有4个交点，作出函数f （x ）的图象，由数形结合法分析即可得答案． 【详解】
（1）根据题意，当x ≥0时，f （x ）＝x 2﹣2x ； 则f （0）＝0， f （1）＝1﹣2＝﹣1，
又由函数f （x ）为偶函数，则f （1）＝f （﹣1）＝﹣1， 则f （f （1））＝f （﹣1）＝﹣1； （2）设x ＜0，则﹣x ＞0，
则有f （﹣x ）＝（﹣x ）2﹣2（﹣x ）＝x 2+2x ， 又由函数f （x ）为偶函数， 则f （x ）＝f （﹣x ）＝x 2+2x ， 则当x ＜0时，f （x ）＝x 2+2x ，
∴()222,0
2,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩
（3）若方程f （x ）﹣m ＝0有四个不同的实数解， 则函数y ＝f （x ）与直线y ＝m 有4个交点， 而y ＝f （x ）的图象如图：
分析可得﹣1＜m ＜0； 故m 的取值范围是（﹣1，0）． 【点睛】
本题考查偶函数的性质以及函数的图象，涉及方程的根与函数图象的关系，注意利用数形结合法分析与应用，是中档题． 22．（126+2326
3 【解析】 【分析】
（1）由正弦可得R 2sin a
A
=
，进而可得sin21A =，从而得A ，结合余弦定理可得B ，再由()sin sin C A B =+即可得解； （2）由正弦定理得sin 2
sin 3
a A
b B ==
，从而可得a b ，，结合sin C 由正弦定理可得c ，从而得解. 【详解】
（1）由正弦定理得cos 2sin a
a A A
=
，sin21A ∴=，又022A π<<，
22
A π
∴=
，则4
A π
=
.
由2221csin 32a c b a B +-=
⋅
，由余弦定理可得2cos sin 3
ac B ac B =，
tan B ∴=0B π<<，=
3
B π
∴，
(
)sin sin sin 434C A B ππ⎛⎫
∴=+=+=
⎪⎝⎭
. （2
）由正弦定理得
sin sin a A b B ==
，
又a b -=
a b ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩
又sin C =
422
c ∴==
2a b c ∴++=
+. 【点睛】
解三角形的基本策略：
一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 23．（1）2A =，2ω=;（2）[0,]12
π
和7[
,]12π
π;（3）173
π. 【解析】
【试题分析】（1）直接依据图像中所提供的数据信息可得224
312
4T
A π
π
π
ω
==-
=
，，进而求出2ω=；（2）依据正弦函数的单调区间解不等式2222
3
2
k x k π
π
π
ππ-≤+
≤+
求
出单调增区间51212
x k ππ
ππ-≤≤+，（k Z ∈），然后求出函数()y f x =在[]0,π的单调增区间为0,
12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7,12ππ⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦.（3）先求出函数()2sin 213f x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭中的512x k ππ=+或34
x k π
π=+（k Z ∈），进而借助周期性求出b a -的最大值为217533
T ππ+
=。

解：（1）2A =，
2,243124T πππωω
=-==. （2）由（1）知()2sin 23f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，令2222
3
2
k x k π
π
π
ππ-
≤+
≤+
，（k Z ∈）
得51212
k x k ππ
ππ-
≤≤+，（k Z ∈） 又因为[]0,x π∈，所以函数
()y f x =在[]0,π的单调增区间为0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣
⎦. （3）由()2sin 213f x x π⎛
⎫
=+
=- ⎪⎝
⎭得512x k ππ=+或34
x k π
π=+（k Z ∈）. 函数()f x 在每个周期上有两个零点，所以共有5个周期， 所以b a -的最大值为217533
T ππ+
=. 24．（1）()2sin(2)6f x x π=+（2）单调增区间为,36k k ππππ⎡⎤
-++⎢⎥⎣⎦
,(k Z ∈)；x 取
值集合|,3x x k k Z π
π⎧
⎫
=-+∈⎨⎬⎩
⎭
,(k Z ∈) 【解析】 【分析】
（1）先由函数()y f x =的最大值求出A 的值，再由图中对称轴与相邻对称中心之间的距离得出最小正周期T ，于此得出2T πω=
，再将点,26π⎛⎫
⎪⎝⎭
代入函数()y f x =的解析式结合φ的范围得出φ的值，于此可得出函数()y f x =的解析式； （2）解不等式()2222
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-+≤+
≤
+∈可得出函数()y f x =的单调递增
区间，由()226
2
x k k Z π
π
π+=-
+∈可求出函数()y f x =取最小值时x 的取值集合．
【详解】
（1）由图象可知，2A =. 因为
51264T ππ-=，所以T π=.所以2π
π=ω
. 解得2ω=. 又因为函数()f x 的图象经过点(,2)6π
，所以2sin(2)26
ϕπ
⨯+=， 解得=
+2()6
k k Z ϕπ
π∈. 又因为2
π
ϕ<
，所以=
6
ϕπ，所以()2sin(2)6f x x π=+.
（2）2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+，k Z ∈，解得3
6
k x k π
π
ππ-
+≤≤
+,k Z ∈，
()f x 的单调增区间为,36k k ππππ⎡⎤
-
++⎢⎥⎣⎦
,(k Z ∈)，
()f x 的最小值为-2，取得最小值时x 取值集合|,3x x k k Z π
π⎧
⎫
=-
+∈⎨⎬⎩
⎭
,(k Z ∈). 【点睛】
本题考查由三角函数图象求解析式，以及三角函数的基本性质问题，在利用图象求三角函数()()sin 0,0y A x b A ωϕω=++>≠的解析式时，其基本步骤如下： （1）求A 、b ：max min 2y y A -=，max min
2
y y b +=； （2）求ω：2T
πω=
； （3）求ϕ：将顶点或对称中心点代入函数解析式求ϕ，但是在代对称中心点时需要结合函数在所找对称中心点附近的单调性来考查． 25．（1）见解析；（2）21
n a n =+ 【解析】 【分析】
（1）已知递推关系取倒数，利用等差数列的定义，即可证明.
（2）由（1）可知数列{}n b 为等差数列，确定数列{}n b 的通项公式，即可求出数列{}n a 的通项公式． 【详解】
()1证明：10a Q ≠，且有122
n
n n a a a +=
+， ∴()
*0n a n N ≠∈，
又1n n
b a =
Q ， ∴1121111222n n n n n n a b b a a a +++=
==+=+，即()
*112
n n b b n N +-=∈，且1111b a ==， ∴{}n b 是首项为1，公差为
1
2
的等差数列． ()2解：由()1知()1111112
2
2
n n n b b n -+=+-⨯=+=，即1
1
2
n
n a
+=
， 所以21
n a n =+． 【点睛】
本题考查数列递推关系、等差数列的判断方法，考查了运用取倒数法求数列的通项公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题. 26．(Ⅰ)1y =；（Ⅱ）最大值1；最小值2
π-. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式
()()()000y f f x ¢-=-中即可；（Ⅱ）设()()h x f x ='，求()h x '，根据()0h x '<确
定函数()h x 的单调性，根据单调性求函数的最大值为()00h =，从而可以知道
()()0h x f x '=<恒成立，所以函数
()f x 是单调递减函数，再根据单调性求最值.
试题解析：（Ⅰ）因为()e cos x
f x x x =-，所以()()()e cos sin 1,00x
f x x x f -''=-=.
又因为()01f =，所以曲线()y f x =在点()()
0,0f 处的切线方程为1y =. （Ⅱ）设()()e
cos sin 1x
h x x x =--，则
()()e cos sin sin cos 2e sin x x h x x x x x x =--=-'-.
当π0,
2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，()0h x '<， 所以()h x 在区间π0,2
⎡
⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减.
所以对任意π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
有()()00h x h <=，即()0f x '<. 所以函数()f x 在区间π0,2
⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
上单调递减.
因此()f x 在区间π0,2⎡
⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值为()01f =，最小值为22f ππ
⎛⎫=- ⎪⎝⎭.
【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点的是需要两次求导数，因为通过()f x '不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设()()h x f x ='，再求()h x '，一般这时就可求得函数()h x '的零点，或是
()0h x '>(()0h x '<)恒成立，这样就能知道函数()h x 的单调性，再根据单调性求其最
值，从而判断()y f x =的单调性，最后求得结果.。