导数与微分在经济学中的简单应用(讲课
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15
3.总利润、平均利润、边际利润
“总利润”是指销售x单位产品所得到的全 部净收入，即总收益与总成本之差，记为L（x） 为总利润，则 L（x）=R（x）-- C（x）
L(x) / x 为“平均利润函数”
定义：设利润函数L（x）为一可导函数，称
L(
x0
)
lim
x0
L(
x0
x) x
L(
x0
)
为销售量是 x时0 的“边际利润”。
|x x0
表示f(x)在x=x0处的相对变化率
而称比值
y / f (x0 ) [ f (x0 x) f (x0 )] x0
x / x0
x
f (x0 )
称为函数f(x)从x=x0到点x=x0+△x两点间的平均
相对变化率,经济上也叫做这两点间的“弧弹
22
由定义可知
Ey Ex |xx0
lim [ f (x0 x)
16
其经济意义是： L( x0 )近似地表示销售量为x0时再多（少） 销售一个单位产品所增加（减少）的总利润。
17
例4.设某工厂每月生产产品的固定成本为1000元. 生产x单位产品的可变成本为0.01x2+10x(元),如 果每单位产品的售价30元,试求:边际成本,利润 函数,边际利润为零时的产量.
C( x) x400 5000 13 400 30 400 10800(元）
C(x) x
x 400
10800 400
2（7 元 / 吨）
5
如果产量由400吨增加到450吨时，总成本的平 均变化率为：
C( x) x
x 400 x 50
C（450） C（400） 50
686.4 =13.728 50
x0
)Hale Waihona Puke C(x0x) x
C(
x0
)
(当|
x
|
很小时)
若成本函数 C(在x)区间I内可导，则称 为C( x)
C( x)在区间I内的边际成本函数。 9
例2：已知某商品的成本函数为：
C(Q) 100 1 Q2 (Q表示产量） 4
求（1）当Q=10时的平均成本； （2）当Q=10时的边际成本并解释其经济意义。
(P会使0)
消费者用于购买商品的支出增加，这时销售者
的收益增加 可(以R 采0取) 薄利多销多收益的经
济策略；
29
R (1 P )QdP
当 P时，1 需求量增加(减少)的百分比小于价
格下降(上浮)的百分比，降低价格 会使(消P费 0)
者用于购买商品的支出减少，这时销售者的收
益减少 ,提高(价R格会0)使总收益增加。
需求量变动的百分比小于1%，价格变动对需求量
的影响不大。
27
在商品经济中，商品经营者关心的是提价 (P 0)
或降价(P 对0总) 收益的影响，下面我们利用弹性的
概念来分析需求的价格弹性与销售者的收益之间的
关系。
事实上,由于
P
P dQ Q dP
或PdQ PQdP
可见价格P的微小变化( P很小时)引起的销售收益
弹性函数。 23
由定义可知，函数的弹性是一个与度量 单位无关的量，这使得弹性概念在经济学中 得到广泛的应用，因为在经济中各种经济变 量的计量单位是不尽相同的，比较不同商品 的弹性时不受计量单位的限制。
弹性的经济意义：
E Ex
f ( x0 )
:表示在点x=x0处,当x产生
E 1%的改变时,f(x)近似地改变 Ex f ( x0 )%
边际成本 C( x0 x) C（x0） x
其中x 1或x 1。
8
定义：设成本函数C（x）为一可导函数，称
C
(
x0
)
lim
x0
C
(
x0
x) x
C
(
x0
)
为产量是 x时0 的边际成本。
其经济意义是：
C( x0 )近似地表示产量为x0时再增加（减少）
一个单位产品所增加（减少）的总成本。
因 为C (
它表示当产量由400吨增加到450吨时，平均每 吨增加成本13.728元。
6
类似的可以计算当产量为400吨时再增加1吨，即
x 1，
C ( x) x
x 400 x 1
C（401） C（400） 13.7495 1
表示在产量为400吨时，再增加1吨产量所增 加的成本。
当产量为400吨时再减少1吨，即 x 1，
5
5
于是边际收益函数为：
R(x) 20 2 x 1 (100 2x), 55
R(20) 12, R(50) 0, R(70) 8. 14
R(20) 12, R(50) 0, R(70) 8.
经济意义：当销售量为20个单位时，在增 加销售量可使总收入增加，多销售一个单位产 品，总收益约增加12个单位；当销售量为50个 单位时，总收益的变化率为零，增加一个单位 的销售量，总收益基本保持不变；当销售量为 70单位时，在多销售一个单位产品，反而使总 收益约减少8个单位，或者说，再少销售一个单 位产品，将使总收益少损失8个单位。
x 20% , y 44%
x
y
这表示当x=10改变到X=12,x产生了20%的改变,
y产生了44%的改变.这就是相对改变量.
y / y 44% 2.2 x / x 20% 这表示在(10,12)内,从x=10,x改变1%时,y平
均改变2.2%,我们称它为从x=10到x=12,函数
y=x2的平均相对变化率. 21
2
1.总成本、平均成本、边际成本 “总成本”是生产一定量的产品所需要的成
本总额，通常由固定成本和可变成本两部分构 成，用C(x)表示，其中x表示产品的产量，C(x) 表示当产量为x时的总成本。
不生产时，x=0，这时C(0)就是固定成本。
3
“平均成本”是生产每个单位产品的成本，
若产量由x0 变化到x0 x, 则：
解 C(x)= 0.01x2+10x+1000 所以,边际成本函数为 C' (x)=0.02x+10 总收入函数为 R(x)=px=30x
总利润函数为：L(x)=R(x)-C(x)=-0.01x2+20x-1000 于是,边际利润函数为L'(x)=0.02(1000-x) L'(x)=0.02(1000-x)=0 x=1000 18
加)1%，即需求量与价格变动的百分比相等。
（2）当 P 时1,称为高弹性,这时当商品价格增加 (减少)1%时，需求量相应地减少(增加) %P,即需
求量变动的百分比大于1%，价格变动对需求量的
影响较大。
（3）当P 时1，称为低弹性，这时当商品价格增
加(减少)1%时,需求量相应地减少(增加) %P , 即
R( x) 为边际收益函数（x在某区间取值）。
13
例3.设某产品的需求函数为 x 100 5P, 其中P为
价格，x为需求量，求边际收益函数以及x=20、
50、70时的边际收益，并解释所得结果的经
济意义。
解：由题设有： P 1 (100 x),
总收益函数为 5
R(x) x P x 1 (100 x) 20x 1 x,
时“平均收益” 。
在经济学中，“边际收益”指生产者每增加(减 少)销售一个单位产品所增加(减少)的销售收入。
按照如上边际成本的讨论，可得如下定义： 12
定义：设收益函数 R(x)为一可导函数，称
R(
x0
)
lim
x0
R(
x0
x) x
R(
x0
)
为销售量量是 x0 时的边际收益。
其经济意义是：
R( x0 )近似地表示销售量为x0时再增加（减少） 销售一个单位产品所增加（减少）的总收益。
定义设函数y=f(x)在点x=x0(x0 0)
的某邻域内有定义，且f (x0) ，0如果极限
lim y / f (x0 ) lim [ f (x0 x) f (x0 )] / f (x0 )
x0 x / x0
x0
x / x0
存在,则称此极限为函数y=f(x)在点 x处0 的点弹性，
记为 Ey Ex
综上所述，总收益的变化受需求弹性的制约， 高弹性商品适合采取薄利多销经济策略；低弹性 商品采取提高价格增加经济收益的策略。
30
例1 设某商品的需求函数为Q=400-100p,求p=1,2,3
时的需求价格弹性,并给以适当的经济解释.
解 由 dQ 100 , 可得 dp
p
p Q
dQ dp
24
2.需求对价格的弹性 定义：设某商品的市场需求量为Q，价格为P， 需求函数为Q=Q(P)可导，则称
EQ
P
Q( P)
EP Q(P)
为该商品的需求价格弹性，简称为需求弹性，
通常记为 P
25
需求弹性 表 P示某商品需求量对价格p变动反
应的灵敏程度，由于需求量与价格反方向变动， 即需求函数为价格的减函数，故需求弹性为负值，
C( x0 x) C( x0 ) x
称为C（x)在( x0 , x0 x) 内的平均成本，它表示
成本C（x）在 ( x0 , x0 内x的) 平均变化率。
把 C( x)称/ 为x “平均成本函数”，表示产量为
x时平均单位产品的成本。
4
例1： 设某种商品的成本函数为
C( x) 5000 13x 30 x 其中x表示产量（单位：吨），C（x）表示产量 为x吨时的总成本（单位：元），当产量为400 吨时的总成本及平均成本分别为：
x0
x0 f (x0 )
f
x (x0 )
f (x0 )]
x0 f (x0 )
当 x 很小时，Ey Ex
x x0
y / f (x0 ) x / x0
相对变化率
平均相对变化率
如果函数y=f(x)在(a,b)内可导,且f(x)0，则称
Ey x f (x) Ex f (x)
为函数y=f(x)在(a,b)内的点弹性函数，简称为
即 〈0，因 P此需求价格弹性表明当商品的价格上
涨（下降）1%时，其需求量将减少（增加）约
P %
在经济学中，为了便于比较弹性的大小，通
常取 的 绝P 对值 并根P据 的大小P，将需求弹
性划分为以下几个范围：
26
（1）当 P 时1 ,称为单位弹性，这时当商品价
格增加(减少)1%时，需求量相应地减少(增
解（1）平均成本函数为
C (Q)
100
1 4
Q2
Q
Q
100 1 Q Q4
C (Q )
当Q=10时：
Q
Q 10
100 10
1 10 12.5 4
10
（2）由 C(Q) 100 1 Q2 得边际成本函数为： 4
C(Q) 1 Q
2
C(Q)
Q 10
1 2
10
5
当产量Q=10时的边际成本为5，其经济意义
为：当产量为10时，若增加（减少）一个单位
产品，总成本将近似增加（减少）5个单位。
11
2.总收益、平均收益、边际收益
“总收益”是生产者出售一定量产品所得到 的全部收入，表示为R(x)，其中x表示为销售 量（在以下的讨论中，我们总是假定销售量、 产量、需求量均相等）
R( x) / x称为平均收益函数，表示销售量为x
R=PQ的改变量的近似值为
R dR d (PQ) QdP PdQ
QdP PQdP (1 P )QdP
(1 P )QdP
28
即 R (1 P )QdP
当P 1 时，当价格发生1% 的改变时，对
收益没有明显的影响；
当 P时，1 需求量增加(减少)的百分比大于价
格下降(上浮)的百分比,降低价格
可见,当月产量为1000个单位时,边际利润 为零,说明当月产量为1000个单位时,再多生 产一个单位产品也不会增加利润.
19
二.弹性
1.点弹性与弧弹性
前面所谈到的函数改变量与函数变化率是
绝对改变量与绝对变化率.但是仅仅研究函数的
绝对改变量与绝对变化率还是不够的.例如商品
甲每单位价格10元,涨价1元;商品乙每单位价格
1000元,也涨价1元.两种商品价格的绝对改变量
都是1元,但各与其原价相比,两者涨价的百分比
却有很大的不同,商品甲涨了10%,而商品乙涨了
0.1%.因此我们还有必要研究函数的相对改变量
与相对变化率.
20
例如 y=x2 ,当x 由10改变到12时,y由100改 变到144,此时自变量与因变量的绝对改变量分 别为△x=2, △y=44而
导数与微分在经济学中的简单应用
一 . 边际 二. 弹性
要求：掌握边际和弹性的定义； 给具体问题后会计算边际和弹性； 并能够给出相应的经济解释；
1
一 .边际分析
在经济学中,边际概念是与导数密切相关的一 个经济学概念,它反映一种经济变量y对另一种 经济变量x的变化率.以导数为工具研究经济变 量的边际变化的方法，就是边际分析方法。
C ( x) x
x 400 x 1
C（399） C（400） 13.7505 1
表示在产量为400吨时，再减少1吨产量所减 少的成本。
7
在经济学中，边际成本定义为产量增加 或减少一个单位时所增加或减少的总成本。 即有如下定义：
设总成本函数为C=C(x),且其它条件不变， 产量为x0 时，增加（减少）1个单位所增加 （减少）的成本叫做产量为x0时的边际成本， 即：
3.总利润、平均利润、边际利润
“总利润”是指销售x单位产品所得到的全 部净收入，即总收益与总成本之差，记为L（x） 为总利润，则 L（x）=R（x）-- C（x）
L(x) / x 为“平均利润函数”
定义：设利润函数L（x）为一可导函数，称
L(
x0
)
lim
x0
L(
x0
x) x
L(
x0
)
为销售量是 x时0 的“边际利润”。
|x x0
表示f(x)在x=x0处的相对变化率
而称比值
y / f (x0 ) [ f (x0 x) f (x0 )] x0
x / x0
x
f (x0 )
称为函数f(x)从x=x0到点x=x0+△x两点间的平均
相对变化率,经济上也叫做这两点间的“弧弹
22
由定义可知
Ey Ex |xx0
lim [ f (x0 x)
16
其经济意义是： L( x0 )近似地表示销售量为x0时再多（少） 销售一个单位产品所增加（减少）的总利润。
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例4.设某工厂每月生产产品的固定成本为1000元. 生产x单位产品的可变成本为0.01x2+10x(元),如 果每单位产品的售价30元,试求:边际成本,利润 函数,边际利润为零时的产量.
C( x) x400 5000 13 400 30 400 10800(元）
C(x) x
x 400
10800 400
2（7 元 / 吨）
5
如果产量由400吨增加到450吨时，总成本的平 均变化率为：
C( x) x
x 400 x 50
C（450） C（400） 50
686.4 =13.728 50
x0
)Hale Waihona Puke C(x0x) x
C(
x0
)
(当|
x
|
很小时)
若成本函数 C(在x)区间I内可导，则称 为C( x)
C( x)在区间I内的边际成本函数。 9
例2：已知某商品的成本函数为：
C(Q) 100 1 Q2 (Q表示产量） 4
求（1）当Q=10时的平均成本； （2）当Q=10时的边际成本并解释其经济意义。
(P会使0)
消费者用于购买商品的支出增加，这时销售者
的收益增加 可(以R 采0取) 薄利多销多收益的经
济策略；
29
R (1 P )QdP
当 P时，1 需求量增加(减少)的百分比小于价
格下降(上浮)的百分比，降低价格 会使(消P费 0)
者用于购买商品的支出减少，这时销售者的收
益减少 ,提高(价R格会0)使总收益增加。
需求量变动的百分比小于1%，价格变动对需求量
的影响不大。
27
在商品经济中，商品经营者关心的是提价 (P 0)
或降价(P 对0总) 收益的影响，下面我们利用弹性的
概念来分析需求的价格弹性与销售者的收益之间的
关系。
事实上,由于
P
P dQ Q dP
或PdQ PQdP
可见价格P的微小变化( P很小时)引起的销售收益
弹性函数。 23
由定义可知，函数的弹性是一个与度量 单位无关的量，这使得弹性概念在经济学中 得到广泛的应用，因为在经济中各种经济变 量的计量单位是不尽相同的，比较不同商品 的弹性时不受计量单位的限制。
弹性的经济意义：
E Ex
f ( x0 )
:表示在点x=x0处,当x产生
E 1%的改变时,f(x)近似地改变 Ex f ( x0 )%
边际成本 C( x0 x) C（x0） x
其中x 1或x 1。
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定义：设成本函数C（x）为一可导函数，称
C
(
x0
)
lim
x0
C
(
x0
x) x
C
(
x0
)
为产量是 x时0 的边际成本。
其经济意义是：
C( x0 )近似地表示产量为x0时再增加（减少）
一个单位产品所增加（减少）的总成本。
因 为C (
它表示当产量由400吨增加到450吨时，平均每 吨增加成本13.728元。
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类似的可以计算当产量为400吨时再增加1吨，即
x 1，
C ( x) x
x 400 x 1
C（401） C（400） 13.7495 1
表示在产量为400吨时，再增加1吨产量所增 加的成本。
当产量为400吨时再减少1吨，即 x 1，
5
5
于是边际收益函数为：
R(x) 20 2 x 1 (100 2x), 55
R(20) 12, R(50) 0, R(70) 8. 14
R(20) 12, R(50) 0, R(70) 8.
经济意义：当销售量为20个单位时，在增 加销售量可使总收入增加，多销售一个单位产 品，总收益约增加12个单位；当销售量为50个 单位时，总收益的变化率为零，增加一个单位 的销售量，总收益基本保持不变；当销售量为 70单位时，在多销售一个单位产品，反而使总 收益约减少8个单位，或者说，再少销售一个单 位产品，将使总收益少损失8个单位。
x 20% , y 44%
x
y
这表示当x=10改变到X=12,x产生了20%的改变,
y产生了44%的改变.这就是相对改变量.
y / y 44% 2.2 x / x 20% 这表示在(10,12)内,从x=10,x改变1%时,y平
均改变2.2%,我们称它为从x=10到x=12,函数
y=x2的平均相对变化率. 21
2
1.总成本、平均成本、边际成本 “总成本”是生产一定量的产品所需要的成
本总额，通常由固定成本和可变成本两部分构 成，用C(x)表示，其中x表示产品的产量，C(x) 表示当产量为x时的总成本。
不生产时，x=0，这时C(0)就是固定成本。
3
“平均成本”是生产每个单位产品的成本，
若产量由x0 变化到x0 x, 则：
解 C(x)= 0.01x2+10x+1000 所以,边际成本函数为 C' (x)=0.02x+10 总收入函数为 R(x)=px=30x
总利润函数为：L(x)=R(x)-C(x)=-0.01x2+20x-1000 于是,边际利润函数为L'(x)=0.02(1000-x) L'(x)=0.02(1000-x)=0 x=1000 18
加)1%，即需求量与价格变动的百分比相等。
（2）当 P 时1,称为高弹性,这时当商品价格增加 (减少)1%时，需求量相应地减少(增加) %P,即需
求量变动的百分比大于1%，价格变动对需求量的
影响较大。
（3）当P 时1，称为低弹性，这时当商品价格增
加(减少)1%时,需求量相应地减少(增加) %P , 即
R( x) 为边际收益函数（x在某区间取值）。
13
例3.设某产品的需求函数为 x 100 5P, 其中P为
价格，x为需求量，求边际收益函数以及x=20、
50、70时的边际收益，并解释所得结果的经
济意义。
解：由题设有： P 1 (100 x),
总收益函数为 5
R(x) x P x 1 (100 x) 20x 1 x,
时“平均收益” 。
在经济学中，“边际收益”指生产者每增加(减 少)销售一个单位产品所增加(减少)的销售收入。
按照如上边际成本的讨论，可得如下定义： 12
定义：设收益函数 R(x)为一可导函数，称
R(
x0
)
lim
x0
R(
x0
x) x
R(
x0
)
为销售量量是 x0 时的边际收益。
其经济意义是：
R( x0 )近似地表示销售量为x0时再增加（减少） 销售一个单位产品所增加（减少）的总收益。
定义设函数y=f(x)在点x=x0(x0 0)
的某邻域内有定义，且f (x0) ，0如果极限
lim y / f (x0 ) lim [ f (x0 x) f (x0 )] / f (x0 )
x0 x / x0
x0
x / x0
存在,则称此极限为函数y=f(x)在点 x处0 的点弹性，
记为 Ey Ex
综上所述，总收益的变化受需求弹性的制约， 高弹性商品适合采取薄利多销经济策略；低弹性 商品采取提高价格增加经济收益的策略。
30
例1 设某商品的需求函数为Q=400-100p,求p=1,2,3
时的需求价格弹性,并给以适当的经济解释.
解 由 dQ 100 , 可得 dp
p
p Q
dQ dp
24
2.需求对价格的弹性 定义：设某商品的市场需求量为Q，价格为P， 需求函数为Q=Q(P)可导，则称
EQ
P
Q( P)
EP Q(P)
为该商品的需求价格弹性，简称为需求弹性，
通常记为 P
25
需求弹性 表 P示某商品需求量对价格p变动反
应的灵敏程度，由于需求量与价格反方向变动， 即需求函数为价格的减函数，故需求弹性为负值，
C( x0 x) C( x0 ) x
称为C（x)在( x0 , x0 x) 内的平均成本，它表示
成本C（x）在 ( x0 , x0 内x的) 平均变化率。
把 C( x)称/ 为x “平均成本函数”，表示产量为
x时平均单位产品的成本。
4
例1： 设某种商品的成本函数为
C( x) 5000 13x 30 x 其中x表示产量（单位：吨），C（x）表示产量 为x吨时的总成本（单位：元），当产量为400 吨时的总成本及平均成本分别为：
x0
x0 f (x0 )
f
x (x0 )
f (x0 )]
x0 f (x0 )
当 x 很小时，Ey Ex
x x0
y / f (x0 ) x / x0
相对变化率
平均相对变化率
如果函数y=f(x)在(a,b)内可导,且f(x)0，则称
Ey x f (x) Ex f (x)
为函数y=f(x)在(a,b)内的点弹性函数，简称为
即 〈0，因 P此需求价格弹性表明当商品的价格上
涨（下降）1%时，其需求量将减少（增加）约
P %
在经济学中，为了便于比较弹性的大小，通
常取 的 绝P 对值 并根P据 的大小P，将需求弹
性划分为以下几个范围：
26
（1）当 P 时1 ,称为单位弹性，这时当商品价
格增加(减少)1%时，需求量相应地减少(增
解（1）平均成本函数为
C (Q)
100
1 4
Q2
Q
Q
100 1 Q Q4
C (Q )
当Q=10时：
Q
Q 10
100 10
1 10 12.5 4
10
（2）由 C(Q) 100 1 Q2 得边际成本函数为： 4
C(Q) 1 Q
2
C(Q)
Q 10
1 2
10
5
当产量Q=10时的边际成本为5，其经济意义
为：当产量为10时，若增加（减少）一个单位
产品，总成本将近似增加（减少）5个单位。
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2.总收益、平均收益、边际收益
“总收益”是生产者出售一定量产品所得到 的全部收入，表示为R(x)，其中x表示为销售 量（在以下的讨论中，我们总是假定销售量、 产量、需求量均相等）
R( x) / x称为平均收益函数，表示销售量为x
R=PQ的改变量的近似值为
R dR d (PQ) QdP PdQ
QdP PQdP (1 P )QdP
(1 P )QdP
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即 R (1 P )QdP
当P 1 时，当价格发生1% 的改变时，对
收益没有明显的影响；
当 P时，1 需求量增加(减少)的百分比大于价
格下降(上浮)的百分比,降低价格
可见,当月产量为1000个单位时,边际利润 为零,说明当月产量为1000个单位时,再多生 产一个单位产品也不会增加利润.
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二.弹性
1.点弹性与弧弹性
前面所谈到的函数改变量与函数变化率是
绝对改变量与绝对变化率.但是仅仅研究函数的
绝对改变量与绝对变化率还是不够的.例如商品
甲每单位价格10元,涨价1元;商品乙每单位价格
1000元,也涨价1元.两种商品价格的绝对改变量
都是1元,但各与其原价相比,两者涨价的百分比
却有很大的不同,商品甲涨了10%,而商品乙涨了
0.1%.因此我们还有必要研究函数的相对改变量
与相对变化率.
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例如 y=x2 ,当x 由10改变到12时,y由100改 变到144,此时自变量与因变量的绝对改变量分 别为△x=2, △y=44而
导数与微分在经济学中的简单应用
一 . 边际 二. 弹性
要求：掌握边际和弹性的定义； 给具体问题后会计算边际和弹性； 并能够给出相应的经济解释；
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一 .边际分析
在经济学中,边际概念是与导数密切相关的一 个经济学概念,它反映一种经济变量y对另一种 经济变量x的变化率.以导数为工具研究经济变 量的边际变化的方法，就是边际分析方法。
C ( x) x
x 400 x 1
C（399） C（400） 13.7505 1
表示在产量为400吨时，再减少1吨产量所减 少的成本。
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在经济学中，边际成本定义为产量增加 或减少一个单位时所增加或减少的总成本。 即有如下定义：
设总成本函数为C=C(x),且其它条件不变， 产量为x0 时，增加（减少）1个单位所增加 （减少）的成本叫做产量为x0时的边际成本， 即：