2020-2021学年河南省三门峡市第二高级中学、高三数学理上学期期末试卷含解析

2020-2021学年河南省三门峡市第二高级中学、高三数学理上学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. ，为平面向量，已知，，则，夹角的余弦值等于（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
试题分析：∵=(4,3)，2+=(3,18)，∴=(-5,12)，∴，，，∴，即,夹角的余弦值等于，故选C
2. 函数的零点个数是( )
A．0 B．l C．2 D．4
参考答案：
C
【考点】函数零点的判定定理．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由f（x）=0，得，然后在坐标系中分别作出函数y=|log2x|，y=的图象，利用图象观察函数零点的个数．
【解答】解：∵函数的定义域为{x|x＞0}，
∴由f（x）=0，得，
在坐标系中分别作出函数y=|log2x|，y=的图象如图：由图象可知两个函数只有两个交点，
∴函数f（x）的零点个数为2个．
故选：C
【点评】本题主要考查函数零点的个数判断，利用数形结合的思想是解决本题的关键．
3. 设是定义在上的偶函数,且当时,.若对任意的,不等式
恒成立,则实数的最大值是
A．B．C．D．2
参考答案：
C
4. 已知将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则在上的值域为（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
5. 已知函数的两个极值点分别为，且，
，点
表示的平面区域为，若函数的图像上存在区域内的点，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
略
6. 的值等
于
A． B．C．D．
参考答案：
C
7. 已知二次函数的导数，且的值域为，则的最小值为（）
A.3
B.
C.2
D.
参考答案：
C
略
8. 若复数满足方程，则（）
A． B．
C． D．
参考答案：
C 9. 已知函数有且仅有两个不同的零点，，则（）A．当时，， B. 当时，，
C. 当时，，
D. 当时，，
参考答案：
C
略
10. 已知函数的图象与的图象关于直线对称，则（）
A． B． C． D．
参考答案：
C
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知，
则= ▲ ．
参考答案：
2
12. 若的展开式中常数项为84，则a=___________，其展开式中二项式系数之和为_________.(用数字作答)
参考答案：
1，512
13. 已知，则当时，函数的最小值为 .
参考答案：
-4
14. 已知单位向量，，它们的夹角为若，⊥，则t的值为_____。

参考答案：
略
15. 等边△ABC的边长为2，取各边的三等分点并连线，可以将△ABC分成如图所示的9个全等的小正三角形，记这9个小正三角形的重心分别为G1,G2,G3，…，G9，则|（）+（）
+…+（）|=。

参考答案：
【知识点】向量的加法及其几何意义 A1
因为△ABC 为等边三角形，边长为2
∴，且，=
故答案为.
【思路点拨】将所有的向量用，表示出来，再利用等边三角形的三线合一性质即可求解
16. 复数，其中为虚数单位，则的虚部为．
参考答案：
5
17. 若函数为奇函数，且在（0,+∞)上是增函数，又，则<0的解集
为 .
参考答案：
（-2,0)∪(0,2)三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数.
（1）若在区间有最大值，求整数a的所有可能取值；
（2）求证：当时，.
参考答案：
（Ⅰ）f′(x)＝（x2＋x－2）e x，
当x<－2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，
当－2＜x＜1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，
当x＞1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，
由题知：a＜－2＜a+5，得：－7＜a＜－2，
则a＝－6、－5、－4、－3，
当a＝－6、－5、－4，显然符合题意，
若a＝－3时，f(－2)＝5e―2，f(2)＝e2，f(－2)＜f(2)，不符合题意，舍去．
故整数a的所有可能取值－6，―5，－4．
（Ⅱ）f(x)＜－3ln x＋x3+(2x2－4x)e x+7可变为(－x2＋3x－1)e x＜－3ln x＋x3+7，
令g(x)＝(－x2＋3x－1)e x，h(x)=－3ln x＋x3+7，
g′(x)＝(－x2＋x＋2)e x，
0＜x＜2时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，
当x＞2时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，
g(x)的最大值为g(2)＝e2，
h′(x)＝，当0＜x＜1时，h′(x)＜0，h(x)单调递减，
当x＞1时，h′(x)＞0，h(x)单调递增，
h(x)的最小值为h(1)＝8＞e2，
g(x)的最大值小于h(x)的最小值，
故恒有g(x)＜h(x)，即f(x)＜－3ln x＋x3+(2x2－4x)e x+7．
19. （本小题共13分）
某学校餐厅新推出A、B、C、D四款套餐，某一天四款套餐销售情况的条形图如下。

为了了解同学对新推出的四款套餐的评价，对每位同学都进行了问卷调查，然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取20份进行统计，统计结果如下面表格所示：
（1）若同学甲选择的是A款套餐，求甲的调查问卷被选中的概率；
（2）若想从调查问卷被选中且填写不满意的同学中再选出2人进行面谈，求这两人中至少有一人选择是D款套餐的概率。

参考答案：
（Ⅰ）由条形图可得，选择A，B，C，D四款套餐的学生共有200人其中选A款套餐的学生为40人，
由分层抽样可得从A款套餐问卷中抽取了份．……………4分
设事件=“同学甲被选中进行问卷调查”，则……………6分
（II）由图表可知，选A，B，C，D四款套餐的学生分别接受调查的人数为4，5，6，5．其中不满意的人数分别为1，1，0，2个．
记对A款套餐不满意的学生是a；对B款套餐不满意的学生是b；对D款套餐不满意的学生是c，d．
设事件N=“从填写不满意的学生中选出2人，至少有一人选择的是D款套餐” ……………………………9分
从填写不满意的学生中选出2人，共有（a,b）,（a,c）,（a,d）,（b,c）,（b,d）,（c,d）6个基本事件，
而事件N有（a,c）,（a,d）,（b,c）,（b,d）,（c,d）5个基本事件，则．……………………………13分20. 已知函数．
（1）若f(x)＝0，，求x的值；
（2）将函数f(x)的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g(x)的图象，若曲线y＝h(x)与y＝g(x)的图象关于直线对称，求函
数h(x)在上的值域．
参考答案：
（2分）
（1）由，即，
又，或0或。

（6分）
（2）由题知，（8分）
则=（10分）
，故函数的值域为（12分）
21. 选修4—1：几何证明选讲
如图，已知直线与圆相切于点，经过点的割线交圆于点和点，
∠的平分线分别交，于点和。

（Ⅰ）证明：∠=∠；
（Ⅱ）若 ,求的值。

参考答案：
∴
∠C=∠APC=∠BAP=×90°=30°．
………9分
在Rt△ABC中，=, ∴
=．………10分22. 设函数f（x）=x．
（1）当时，求f（x）的最大值；（2）设A，B，C为△ABC的三个内角，，且C为锐角，c=，求a﹣b的取值范围．
参考答案：
【考点】正弦定理．
【分析】（1）由三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣）+，由已知可求范围，利用正弦函数的性质可求最大值．
（2）由已知可求，结合C为锐角，可求C，利用正弦定理可得a=2sinA，b=2sinB，利用三角函数恒等变换的应用可求a﹣b=2sin（A﹣），结合范围，可求
，利用正弦函数的性质可求其范围．
【解答】解：（1），
∵，
∴，
∴当时，．
（2），
∴，
又∵C为锐角，
∴．
∵，
∴，
∴a=2sinA，b=2sinB，
又，
∴，
∴，又∵，
∴，
∴，即．。