高中数学 第2章 柯西不等式与排序不等式及其应用 2.1

第2章 柯西不等式与排序不等式及其应用 2.1 柯西不等式学业分
层测评 新人教B 版选修4-5
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.若a 2
＋b 2
＝1，x 2
＋y 2
＝2，则ax ＋by 的最大值为( ) A.1 B.2 C. 2
D.4
【解析】 ∵(ax ＋by )2
≤(a 2
＋b 2
)(x 2
＋y 2
)＝2， ∴ax ＋by ≤ 2. 【答案】 C
2.若实数a ，b ，c 均大于0，且a ＋b ＋c ＝3，则a 2
＋b 2
＋c 2
的最小值为( ) A.3 B.1 C.33
D. 3
【解析】 ∵a ＋b ＋c ＝1·a ＋1·b ＋1·c ，且a ，b ，c 大于0.由柯西不等式得 (1·a ＋1·b ＋1·c )2
≤(12
＋12
＋12
)(a 2
＋b 2
＋c 2
)， ∴a 2
＋b 2
＋c 2
≥3.
当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立， ∴a 2
＋b 2
＋c 2
的最小值为 3. 【答案】 D
3.已知x ＋y ＝1，且x >0，y >0，那么2x 2
＋3y 2
的最小值是( )
【导学号：38000033】
A.56
B.65
C.2536
D.3625
【解析】 2x 2＋3y 2＝(2x 2＋3y 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13·65≥65⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ·22＋3y ·332
＝65(x ＋y )2
＝65，
当且仅当2x ·
13＝3y ·
1
2
，即x ＝35，y ＝2
5时等号成立，
∴2x 2＋3y 2
的最小值为65
.
4.若a 2
1＋a 2
2＋…＋a 2
n ＝1，b 2
1＋b 2
2＋…＋b 2
n ＝4，则a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 的最大值为( ) A.1 B.－1 C.2
D.－2
【解析】 ∵(a 2
1＋a 2
2＋…＋a 2
n )(b 2
1＋b 2
2＋…＋b 2
n )， ≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2
， ∴(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2≤4， 故a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≤2.
因此a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 的最大值为2. 【答案】 C
5.已知a 2
＋b 2
＋c 2
＝1，x 2
＋y 2
＋z 2
＝1，t ＝ax ＋by ＋cz ，则t 的取值范围为( ) A.(0,1) B.(－1,1) C.(0，－1)
D.[－1,1]
【解析】 设α＝(a ，b ，c )，β＝(x ，y ，z ). ∵|α|＝a 2
＋b 2
＋c 2
＝1，|β|＝x 2
＋y 2
＋z 2
＝1， 由|α||β|≥|α·β|，得|t |≤1. ∴t 的取值范围是[－1,1]. 【答案】 D 二、填空题
6.(湖南高考)已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2
＋4b 2
＋9c 2
的最小值为________. 【解析】 ∵a ＋2b ＋3c ＝6，∴1×a ＋1×2b ＋1×3c ＝6，
∴(a 2＋4b 2＋9c 2)(12＋12＋12)≥(a ＋2b ＋3c )2，即a 2＋4b 2＋9c 2
≥12.当且仅当1a ＝12b ＝
13c ，即a ＝2，b ＝1，c ＝2
3
时取等号. 【答案】 12
7.若a ＝(1,0，－2)，b ＝(x ，y ，z )，若x 2
＋y 2
＋z 2
＝16，则a ·b 的最大值为________. 【解析】 由题知，a ·b ＝x －2z ，由柯西不等式知[12
＋02
＋(－2)2
](x 2
＋y 2
＋z 2
)≥(x ＋0－2z )2
，
当且仅当向量a 与b 共线时“＝”成立， ∴5×16≥(x －2z )2
， ∴－45≤x －2z ≤45， 即－45≤a ·b ≤4 5. 故a ·b 的最大值为4 5.
8.已知a 1－b 2
＋b 1－a 2
＝1，则a 2
＋b 2
＝________. 【解析】 由柯西不等式得
(a 1－b 2
＋b 1－a 2)2
≤[a 2
＋(1－a 2
)][(1－b 2
)＋b 2
]＝1， 当且仅当
b
1－a
2
＝
1－b
2
a
时，上式取等号，
∴ab ＝1－a 2
·1－b 2
，a 2b 2
＝(1－a 2
)(1－b 2
)， 于是a 2
＋b 2
＝1. 【答案】 1 三、解答题
9.已知θ为锐角，a ，b 均为正数.求证：(a ＋b )2
≤a 2cos 2
θ＋b 2
sin 2θ
. 【证明】 设m ＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫a cos θ，b sin θ，n ＝(cos θ，sin θ)，
则|a ＋b |＝⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪a cos θ·cos θ＋b sin θ·sin θ
＝|m ·n |≤|m ||n | ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a cos θ2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫
b
sin θ2
· 1 ＝
a 2cos 2θ＋
b 2
sin 2θ
， ∴(a ＋b )2
≤a 2cos 2θ＋b 2
sin 2
θ
. 10.在半径为R 的圆内，求周长最大的内接长方形. 【解】 如图所示，
设内接长方形ABCD 的长为x ，宽为4R 2
－x 2
，于是 ABCD 的周长l ＝2(x ＋4R 2
－x 2
) ＝2(1·x ＋1×4R 2
－x 2
). 由柯西不等式得
l ≤2[x 2＋(4R 2－x 2)2]12(12＋12)12
＝22·2R
＝42R .
当且仅当x
1＝4R 2－x
2
1，即x ＝2R 时等号成立.
此时，宽＝4R 2
－
2R
2
＝2R ，即ABCD 为正方形，
故周长最大的内接长方形为正方形，其周长为42R .
[能力提升]
1.函数y ＝x 2
－2x ＋3＋x 2
－6x ＋14的最小值是( ) A.10 B.210 C.11＋210 D.10＋1
【解析】 y ＝
x －1
2
＋2＋3－x
2
＋5.
根据柯西不等式，
得y 2
＝(x －1)2
＋2＋(3－x )2
＋5＋2[x －1
2
＋2][3－x
2
＋5]
≥(x －1)2
＋2＋(3－x )2
＋5＋2[(x －1)(3－x )＋10] ＝[(x －1)＋(3－x )]2
＋2＋5＋210 ＝11＋210，
当且仅当x －13－x ＝2
5
，
即x ＝210－1
3时等号成立.
此时，y min ＝11＋210＝10＋1. 【答案】 D
2.已知a ，b ，c 均大于0，A ＝a 2＋b 2＋c 2
3
，B ＝
a ＋
b ＋c
3
，则A ，B 的大小关系是( )
A.A ＞B
B.A ≥B
C.A ＜B
D.A ≤B
【解析】 ∵(12
＋12
＋12
)·(a 2
＋b 2
＋c 2
) ≥(a ＋b ＋c )2
，∴
a 2＋
b 2＋
c 2
3
≥
a ＋
b ＋c
2
9
，
当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立. 又a ，b ，c 均大于0，∴a ＋b ＋c ＞0， ∴
a 2＋
b 2＋
c 23
≥
a ＋
b ＋c
3
.
【答案】 B
3.设a ，b ，c ，x ，y ，z 都是正数，且a 2
＋b 2
＋c 2
＝25，x 2
＋y 2
＋z 2
＝36，ax ＋by ＋cz ＝
30，则
a ＋
b ＋c
x ＋y ＋z
＝________.
【导学号：38000034】
【解析】 由柯西不等式知：25×36＝(a 2＋b 2＋c 2)·(x 2＋y 2＋z 2)≥(ax ＋by ＋cz )2＝302
＝25×36，
当且仅当a x ＝b y ＝c z
＝k 时取“＝”. 由k 2(x 2＋y 2＋z 2)2
＝25×36，解得k ＝56，
所以
a ＋
b ＋
c x ＋y ＋z ＝k ＝5
6
.
【答案】 56
4.已知a 1，a 2，…，a n 都是正数，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝1. 求证：
a 21
a 1＋a 2＋
a 22
a 2＋a 3
＋…＋
a 2n －1
a n －1＋a n
＋
a 2n
a n ＋a 1≥1
2
. 【证明】 根据柯西不等式得 左边＝
a 21
a 1＋a 2＋
a 22
a 2＋a 3
＋…＋
a 2n －1
a n －1＋a n ＋
a 2n
a n ＋a 1
＝[(a 1＋a 2)＋(a 2＋a 3)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －1＋a n )＋(a n ＋a 1)]×⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1a 1＋a 22
＋⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
a 2a 2＋a 32
＋⎝
⎛⎭⎪⎫a 3a 3＋a 42
＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1a n －1＋a n 2
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a n a n ＋a 12
×1
2
＝[(a 1＋a 2)2＋(a 2＋a 3)2＋…＋(a n －1＋a n )2＋(a n ＋a 1)2
]×⎝
⎛⎭⎪⎫a 1a 1＋a 22
＋⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
a 2a 2＋a 32
＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1a n －1＋a n 2
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a n a n ＋a 12
×12≥a 1＋a 2×a 1a 1＋a 2＋⎝
⎛⎭⎪⎫
a 2＋a 3×a 2a 2＋a 3＋…＋
a n －1＋a n ×
a n －1a n －1＋a n ＋a n ＋a 1×a n a n ＋a 12×12
＝(a 1＋a 2＋…＋a n )2
×12＝12＝右边.
∴原不等式成立.。