2018-2019学年江西省九江第一中学高二上学期第二次月考数学(理)试题(解析版)

2018-2019学年江西省九江第一中学高二上学期第二次月考
数学（理）试题
一、单选题
1．在△ABC 中，若（a +b +c ）（b +c ﹣a ）＝3bc ，则∠A 等于（ ） A ．
3
π
B ．
6
π C ．
23
π D ．
3
π或23π
【答案】A
【解析】利用余弦定理即可得出结果． 【详解】
解：∵（a +b +c ）（b +c ﹣a ）＝3bc ，∴（b +c ）2﹣a 2＝3bc ， 化为：b 2+c 2﹣a 2＝bc ．
∴cos A 2221
222
b c a bc bc bc +-===．A ∈（0，π）
． ∴∠A 3
π
=
．
故选：A ． 【点睛】
本题考查了余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
2．方程22
14x y m
+=表示椭圆的一个必要不充分条件是（ ）
A ．m ＞0
B ．m ＞4
C ．m ＞0且m ≠4
D ．m ＜0
【答案】A
【解析】结合椭圆的定义和方程，利用充分条件和必要条件的定义进行判断． 【详解】
若方程22
14x y m
+=表示椭圆，则m ＞0且m ≠4，
∴m ＞0是方程22
14x y m
+=表示椭圆的一个必要不充分条件，
故选：A 【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，要求熟练掌握椭圆的定义和方程形式．
3．在等差数列{}n a 中，若7825a a =+，则11S =（ ） A ．11 B ．55
C ．10
D ．60
【答案】B
【解析】利用等差数列前后项关系可用6a 和d 表示出已知等式，从而求得6a ；利用等差数列性质可知11611S a =，代入求得结果. 【详解】
设等差数列{}n a 公差为d ，由7825a a =+得：()66225a d a d +=++ 即：65a = ()
1111161111115552
a a S a +∴===⨯=
故选：B 【点睛】
本题考查等差数列通项公式和性质的应用，关键是能够利用已知等式求得中间项，进而利用等差数列性质求得结果. 4．若圆锥曲线：的离心率为2，则
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】,所以，选C.
5．下列说法中，正确的序号是（ ） ①“b ＝2”是“1，b ，4成等比数列”的充要条件；
②“双曲线22
13x y -=与椭圆2215
x y +=有共同焦点”是真命题；
③若命题p ∨￢q 为假命题，则q 为真命题；
④命题p ：∀x ∈R ，x 2﹣x +1＞0的否定是：∃x ∈R ，使得x 2﹣x +1≤0． A ．①② B ．②③④
C ．②③
D ．②④
【答案】B
【解析】利用充要条件以及等比数列的性质判断①的正误；双曲线与椭圆的焦点坐标判断②的正误；复合命题的真假判断③的正误；命题的否定形式判断④的正误. 【详解】
解：①“b ＝2”可知“1，b ，4成等比数列”，反之“1，b ，4成等比数列”,则b ＝2或b ＝-2，
所以“b ＝2”是“1，b ，4成等比数列”的充分不必要条件；所以①不正确；
②“双曲线22
13x y -=的焦点坐标（±2，0）；椭圆2215
x y +=的焦点坐标（±
2，0），所以椭圆与双曲线有共同焦点”是真命题；所以②正确；
③若命题p ∨￢q 为假命题，p 与￢q 都是假命题，所以q 为真命题；所以③正确； ④命题p ：∀x ∈R ，x 2﹣x +1＞0的否定是：∃x ∈R ，使得x 2﹣x +1≤0，满足命题的否定形式，所以④正确； 故选：B ． 【点睛】
本题考查命题的真假的判断与应用，充要条件以及复合命题的真假的判断，圆锥曲线的性质的判断，是基本知识的考查．
6．已知正方体1111ABCD A B C D -,M 为11A B 的中点，则异面直线A M 与1B C 所成角的余弦值为（ ） A ．
105
B ．
1010
C ．
3 D ．
62
【答案】A
【解析】建立空间直角坐标系，求出向量AM u u u u r 与1B C u u u v
的向量坐标，利用数量积求出异
面直线A M 与1B C 所成角的余弦值. 【详解】
以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
设正方体的棱长为1，则(1,0,0)A ，1(1,0,1)A ，(1,1,0)B ，1(1,1,1)B ，(0,1,0)C ∵M 为11A B 的中点 ∴1(1,,1)2
M
∴1(0,,1)2AM =u u u u v ，52
AM =u u u u v ；1
(1,0,1)BC =--u u u r
，12B C =u u u v
∴异面直线A M与1B C
所成角的余弦值为
1
1
1
cos,
AM B C
AM B C
AM B C
⋅
===
⋅
u u u u v u u u v
u u u u v u u u v
u u u u v u u u v
故选A.
【点睛】
本题主要考查异面直线所成的角的定义和求法，找出两异面直线所成的角∠AEM（或其补角），是解题的关键．如果异面直线所成的角不容易找，则可以通过建立空间直角坐标系，利用空间向量来求解．
7．已知椭圆
22
22
:1(0)
x y
E a b
a b
+=>>的右焦点为()
3,0
F，过点F的直线交椭圆E于A、B两点.若AB的中点坐标为()
1,1-，则E的方程为（）
A．
22
1
4536
x y
+=B．
22
1
3627
x y
+=C．
22
1
2718
x y
+=D．
22
1
189
x y
+=
【答案】D
【解析】设()()
1122
,,,
A x y
B x y，直线AB的斜率
101
132
k
--
==
-
，
22
11
22
22
22
22
1
{
1
x y
a b
x y
a b
+=
+=
，两式相减得
()()()()
12121212
22
x x x x y y y y
a b
+-+-
+=，即
()()
()()
1212
2222
1212
11112
00
22
y y y y
a b x x x x a b
+-
+=⇔+⨯⨯=
+--
，即22
2
a b
=，2222
9,
c a b c
==+，解得：22
18,9
a b
==，方程是
22
1
189
x y
+=，故选D.
8．已知△ABC
的外接圆直径是
4
，若2
BA BC
⋅=
u u u r u u u r
，3
BA BC
-=
u u u r u u u r
，则S△ABC＝（）
A
．B
．C
D
．
【答案】A
【解析】可画出图形，根据条件，由正弦定理即可求出sin B 22
3
=
，从而根据2BA BC ⋅=u u u r u u u r
即可得出6BA BC =u u u r u u u r ，这样根据三角形的面积公式即可求出△ABC 的面
积． 【详解】 解：如图，
∵3BA BC CA -==u u u r u u u r u u u r ，△ABC 的外接圆直径是92，
∴由正弦定理得，
392
sinB =
， ∴22
3
sinB =
，且2BA BC ⋅=u u u r u u u r ， ∴cos B ＞0，81193
cosB =-
=， ∴1
23
BA BC ⋅=u u u r u u u r ，
∴6BA BC =u u u r u u u r
，
∴1122622223
ABC
S BA BC sinB ==⨯⨯=V u u u r u u u r ． 故选：A ．
【点睛】
本题考查了三角形外接圆的定义，正弦定理，sin 2α+cos 2α＝1，三角形的面积公式，考查了计算能力，属于中档题．
9．已知过抛物线C ：y 2＝8x 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A 、B 两点，若以AB 为直径的圆过点M （﹣2，2），则k ＝（ ） A ．
12
B ．
22
C 2
D ．2
【答案】D
【解析】写出直线的点斜式方程，与抛物线方程联立得出A ，B 两点的坐标关系，根据k AM •k BM ＝﹣1列方程解出k 【详解】
解：抛物线y 2＝8x 的焦点F （2，0），设直线AB 的方程为y ＝k （x ﹣2），
联立()
2
82y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得k 2x ﹣（4k 2+8）x +4k 2＝0．
设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
则x 1+x 2＝42
8
k +
，x
1x 2＝4． ∴y 1+y 2＝k （x 1+x 2）﹣4k 8
k
=，y 1y 2＝﹣16．
∵以AB 为直径的圆过点M （﹣2，2），∴k AM •k BM ＝﹣1， 即
121222
22
y y x x --⋅=-++1． ∴y 1y 2﹣2（y 1+y 2）+4+x 1x 2+2（x 1+x 2）+4＝0． ∴﹣1616k -
+4+4+2（428
k
+）+4＝0， 整理得：k 2﹣4k +4＝0，解得k ＝2． 故选：D ．
【点睛】
本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
10．若对满足条件3x +3y +8＝2xy （x ＞0，y ＞0）的任意x 、y ，（x +y ）2﹣a （x +y ）+16≥0恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，8] B ．[8，+∞）
C ．（﹣∞，10]
D ．[10，+∞）
【答案】C
【解析】利用基本不等式把已知的等式变形得到关于x +y 的不等式，求解不等式得到x +y 的范围，换元后由（x +y ）2﹣a （x +y ）+16≥0恒成立求解a 的取值范围． 【详解】
解：由3x +3y +8＝2xy ，得3（x +y ）+8＝2xy 2
()2
x y +≤，
即（x +y ）2﹣6（x +y ）﹣16≥0，解得x +y ≥8． 令t ＝x +y ，则t ≥8．
则问题变成了t 2﹣at +16≥0对t ∈[8，+∞）恒成立， 即16a t t ≤+
，而16y t t =+在[8，+∞）单调递增， ∴16
10y t t
=+
≥， ∴10a ≤ 故选：C ． 【点睛】
本题考查了不等式中含参数的范围问题，考查了换元法与参变分离的方法，考查了推理能力与计算能力，是中档题．
11．F 是双曲线22
22x y a b
-=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点，过点F 作双曲线的一条渐近线
的垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ．若3FA FB =u u u r u u u r
，则此双曲线的离心率为（ ）
A ．2
B ．3
C
D
【答案】D
【解析】由题意得右焦点F （c ，0），设一渐近线OA 的方程为y b
a
=-x ，则另一渐近线OB 的方程为y b
a
=
x ，由垂直的条件可得F A 的方程，代入渐近线方程，可得A ，B 的横坐标，由向量共线的坐标表示，结合离心率公式，解方程可得． 【详解】
解：由题意得右焦点F （c ，0），
设一渐近线OA 的方程为y b
a =-
x ， 则另一渐近线OB 的方程为y b
a
=x ，
由F A 的方程为y a
b
=（x +c ），联立方程y b a =-x ，
可得A 的横坐标为2
a c
-，
由F A 的方程为y a b =
（x +c ），联立方程y b a
=x ， 可得B 的横坐标为222
a c
b a
-． 由3FA FB =u u u r u u u r
，
可得3（2a c -+c ）222
a c
b a =+-
c ， 即为23a c -+2c 22
2
2a c
c a
=-， 由e c
a
=
，可得21e -+2212e =-，
即有e 4﹣4e 2+3＝0，解得e 2＝3或1（舍去）， 即为e 3=． 故选：D ． 【点睛】
本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，同时考查向量的共线的坐标表示，求得点A 、B 的横坐标是解题的关键．
12．将一些数排成倒三角形如图所示，其中第一行各数依次为1，2，3，…，2018，从第二行起，每一个数都等于他“肩上”的两个数之和，最后一行只有一个数M ，则M ＝（ ）
A ．2018⋅22015
B ．2019⋅22016
C ．2018⋅22016
D ．2019⋅22017
【答案】B
【解析】记第n 行的第一个数为n a ，由规律可总结得到2
122n n n a a --=+，构造出
123
122n n n n a a ---=+，可知22n n a -⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为等差数列，从而可求得n a ，根据共2018行，知2018M a =，代入可求得结果.
【详解】
记第n 行的第一个数为n a
则11a =，
21321a a ==+，32822a a ==+，432024a a ==+，…，2122n n n a a --=+ 123122n n n n a a ---∴=+，即22n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是以11
22a -=为首项，1为公差的等差数列 ()2
21112
n n a n n -∴
=+-⨯=+ ()2
12n n a n -∴=+⋅ 又每行比上一行的数字少1个 ∴最后一行为第2018行
2016201820192M a ∴==⨯
故选：B 【点睛】
本题考查由数列中的项求解通项公式的问题，关键是能够通过每一行首个数字所呈现出的规律，总结出递推关系式，利用构造的方式得到等差数列，从而求得数列的通项公式.
二、填空题
13．抛物线28x y =的准线方程是______． 【答案】2y =-
【解析】由题意可得p=4,所以准线方程为2y =-,填2y =-
14．已知点P （x ，y ）在双曲线4x 2﹣y 2＝1的渐近线与直线l ：6x ﹣y ﹣8＝0所围成的三角形区域（包含边界）内运动，则x +2y 的最大值为_____． 【答案】10
【解析】由题意可求得双曲线4x 2﹣y 2＝1的两条渐近线为2x ±y ＝0，从而画出平面区域D ，利用线性规划求最大值． 【详解】
解：双曲线4x 2﹣y 2＝1的两条渐近线为2x ±y ＝0， 故由题意作出平面区域D ，
故当x ，y 都取最大值，即过点A （2，4）时， z ＝x +2y 有最大值10； 故答案为：10．
【点睛】
本题考查了圆锥曲线的定义及学生的作图能力，同时考查了线性规划的解决方法，属于中档题． 15．已知函数
，若关于x 的不等式
的解集为空集，则实数
a 的取值范围是 ． 【答案】
.
【解析】试题分析：因为，所以当且仅
当
时等式
的解集为空集，因此实数a 的取值范围是
【考点】解不等式
16．在ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别是,,,a b c 2,,a b c 成等差数列，则
32
sin sin A C
+
的最小值为________. 【答案】)
2
31
【解析】2a ，b ，c 成等差数列求出6262
cos ,44
B sinB ≥
≤再求2sin sin 1.62A C +≤+再得到32sinA sinC
+322sin sin (
sin 62
A C
A +≥+后利用基本不等式求其最小值. 【详解】
由题得
222
222)
22
2,cos
22
c
a c
a c b
b c B
ac ac
+-+
+-
=+∴==
,
所以
22
13
242
cos
24
a c
B
ac
+-
=≥=
,
所以0
075,0sin
B B
<≤∴<≤
因为
2sin sin,sin 1.
2
B A
C A C
=++≤≤
所以
3
sinA sinC
+
2sin3sin
3
(
sin
A C
A
+
≥=
1).
≥==
故答案为)
21
【点睛】
本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力，属于难题.
三、解答题
17．已知命题p：
1
1
x
＜，命题()()
2032
q a x b x x
==-
r
r
：，，，，，的夹角是钝角；若p∨q 为真，p∧q为假，求x的取值范围．
【答案】{x|﹣4≤x＜0或x＞1}．
【解析】先判断两个命题都是真命题时的x的范围，若p∨q为真，p∧q为假，则一个真命题，一个假命题，分别讨论计算出x的范围即可．
【详解】
解：命题p为真命题时：
1
x
＜1⇒x＞1或x＜0；
命题q 为真命题时满足：cos a r ＜，a b
b a b
⋅⋅r r r r r ＞=，夹角是钝角时，
cos a b r
r
＜，＞＜0，a r •b r
＜0且a r
与b r
不共线，即3x +2（2﹣x ）+0＜0且a b λ≠r
r
⇒x ＜﹣4；
若p ∨q 为真，p ∧q 为假，则qp 中一个真命题，一个假命题， 当p 真命题q 假命题时：10
4
x x x ⎧⎨
≥-⎩＞或＜⇒﹣4≤x ＜0或x ＞1；
当q 真命题p 假命题时：01
4x x ≤≤⎧⎨
<-⎩
⇒x ∈∅， 综上可得x 的取值范围：{x |﹣4≤x ＜0或x ＞1}． 【点睛】
本题主要考查复合命题之间的关系，考查分式不等式的解法，向量夹角的应用，属于简单题．
18．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足sin sin sin sin a c A B
b A C
+-=-. （1）求角C ； （2）求
a b
c
+的取值范围. 【答案】（1）3
C π
=
(2)(1,2]
【解析】试题分析： （1）要求角,只能从
sin sin sin sin a c A B
b A C
+-=-入手,利用正弦定理,将角化为边,得,进而可得三边关系,利用余弦定理即可求角.
（2）从
a b
c
+入手,欲找三边关系,用正弦定理将其化简为,将（1）的结论利用起来,代入,同时将代入,使得
中只含有
,
进而根据,讨论
a b
c
+的范围. 试题解析：
（1）根据正弦定理有:
,化简得
,
根据余弦定理有, 所以.
（2）根据正弦定理将
a b
c
+化简,同时将（1）代入,化简为
因为,
,
所以.
故,
的取值范围是
【考点】正弦定理的应用(角化边);余弦定理;正弦差角;辅助角公式求范围.
19．已知公差不为0的等差数列{a n }，其前n 项和为S n ，若S 10＝100，a 1，a 2，a 5成等比数列．
（1）求{a n }的通项公式；
（2）b n ＝a n a n +1+a n +a n +1+1，求数列1n b ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和T n ． 【答案】(1) a n ＝2n ﹣1；(2) T n ()
41n
n =
+．
【解析】（1）设公差d 不为0的等差数列{a n }，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；
（2）求得b n ＝4n （n +1），()111414n b n n ==+（111
n n -+），运用数列的裂项相消求
和，化简即可得到所求和． 【详解】
（1）公差d 不为0的等差数列{a n }，其前n 项和为S n ， 若S 10＝100，a 1，a 2，a 5成等比数列，则10a 1+45d ＝100， a 22＝a 1a 5，
即（a 1+d ）2＝a 1（a 1+4d ）， 解得a 1＝1，d ＝2， 则a n ＝2n ﹣1；
（2）b n ＝a n a n +1+a n +a n +1+1
＝（2n ﹣1）（2n +1）+2n ﹣1+2n +1+1 ＝4n （n +1），
()111414n b n n ==+（111
n n -+）， 则前n 项和T n 14=（1111112231
n n -+-++-+L ）14=（111n -+）()41n n =+．
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式和求和公式、等比数列的中项性质，数列的裂项相消求和，考查方程思想和化简运算能力，属于基础题．
20．如图所示，四棱锥P ﹣ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ＝PD 2=，四边
形ABCD 为等腰梯形，BC ∥AD ，BC ＝CD 1
2
=
AD ＝1，E 为PA 的中点．
（1）求证：EB ∥平面PCD ；
（2）求平面PAC 与平面PCD 所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)
105
． 【解析】（1）取AD 中点F ，连结EF 、BF ，推导出BF ∥CD ，EF ∥PD ，从而平面BEF ∥平面PCD ，由此能证明EB ∥平面PCD ．
（2）连结PF ，则PF ⊥平面ABCD ，四边形BCDF 是边长为1的菱形，△ABF 是边长为1的等边三角形，以F 为原点，在平面ABCD 中过F 作AD 的垂线为x 轴，FD 为y 轴，FP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面P AC 与平面PCD 所成角的余弦值． 【详解】
（1）证明：取AD 中点F ，连结EF 、BF ， ∵BC ∥AD ，BC ＝CD 1
2
=AD ＝1，E 为P A 的中点， ∴BF ∥CD ，EF ∥PD ， ∵BF ∩EF ＝F ，CD ∩PD ＝D ，
∴平面BEF ∥平面PCD ，
∵EB ⊂平面BEF ，∴EB ∥平面PCD ．
（2）解：连结PF ，∵四棱锥P ﹣ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，P A ＝PD 2=，
四边形ABCD 为等腰梯形，BC ∥AD ，BC ＝CD 1
2
=
AD ＝1，E 为P A 的中点． ∴PF ⊥平面ABCD ，四边形BCDF 是边长为1的菱形，△ABF 是边长为1的等边三角形，
以F 为原点，在平面ABCD 中过F 作AD 的垂线为x 轴，FD 为y 轴，FP 为z 轴，建立空间直角坐标系，
则P （0，0，1），A （0，﹣1，0），C （
3，1
2，0），D （0，1，0）， PA =
u u u r （0，﹣1，﹣1），PC =u u u r （3，1
2，﹣1），PD =u u u r （0，1，﹣1）， 设平面P AC 的法向量n =r
（x ，y ，z ），
则031
02n PA y z n PC x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩
u u u
v r u u u v r ，取y ＝1，得n =r
（3-，1，﹣1）， 设平面PCD 的法向量m =r
（x ，y ，z ）， 则31
0220m PC x y z m PD y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⎪⋅=-=⎩
u u u v r u u u v r ，取y ＝1，得m =r （3
，1，1）， 设平面P AC 与平面PCD 所成角为θ，
则cosθ10553573
m n m n
⋅===
⋅⋅
r r r r ．
∴平面P AC 与平面PCD 所成角的余弦值为
105
． 【点睛】
本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面
间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
21．已知数列{a n }，{b n }满足：a 1＝3，当n ≥2时，a n ﹣1+a n ＝4n ；对于任意的正整数n ，
11222n n n b b b na -+++=L ．设{b n }的前n 项和为S n ．
（1）求数列{a n }及{b n }的通项公式； （2）求满足13＜S n ＜14的n 的集合． 【答案】(1) a n ＝2n +1；b n ＝（4n ﹣1）•（
12
）n ﹣1
；(2) {n |n ＝1，2或n ≥5且n ∈N }． 【解析】（1）求得a 2，a 3，将a n ﹣1+a n ＝4n 中的n 换为n ﹣1，相减可得数列{a n }的奇数项以3为首项，2为公差的等差数列，可得a n ，再将n 换为n ﹣1，相减可得b n ； （2）运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得S n ，解不等式可得所求集合． 【详解】
（1）a 1＝3，当n ≥2时，a n ﹣1+a n ＝4n ，
可得a 1+a 2＝8，即有a 2＝5，a 2+a 3＝12，即有a 3＝7， 由n ≥3时，a n ﹣2+a n ﹣1＝4n ﹣4，又a n ﹣1+a n ＝4n ， 相减可得a n ﹣a n ﹣2＝4，
可得数列{a n }的奇数项以3为首项，4为公差的等差数列，偶数项以5为首项，4为公差的等差数列，
则数列{a n }以3为首项，2为公差的等差数列， 可得a n ＝3+2（n ﹣1）＝2n +1； 当n ＝1时，b 1＝a 1＝3；
n ≥2时，b 1+2b 2+…+2n ﹣2b n ﹣1＝（n ﹣1）a n ﹣1，又1
1222n n n b b b na -+++=L ．
相减可得2n ﹣1b n ＝n （2n +1）﹣（n ﹣1）（2n ﹣1）＝4n ﹣1，
则b n ＝（4n ﹣1）•（
12
）n ﹣1
； （2）前n 项和为S n ＝3•1+7•1
2
+11•14++L （4n ﹣1）•（12）n ﹣1，
12S n ＝3•12+7•1
4
+11•18++L （4n ﹣1）•（12）n ， 相减可得12S n ＝3+4（1124+++L （12）n ﹣1）﹣（4n ﹣1）•（1
2
）n
＝3+4•111122112
n -⎛⎫- ⎪⎝⎭
--（4n ﹣1）•（12）n ，
化简可得S n ＝14﹣（4n +7）•（
12
）n ﹣1． 13＜S n ＜14，即为13＜14﹣（4n +7）•（1
2
）n ﹣1＜14，
可得4n ﹣7＜2n ﹣
1，
则n ＝1，2，上式成立；n ＝3，4，上式不成立； n ≥5且n ∈N ，上式均成立，
则所求n 的集合为{n |n ＝1，2或n ≥5且n ∈N}． 【点睛】
本题考查等差数列的定义和通项公式、等比数列的求和公式，以及数列的错位相减法求和，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．
22．已知椭圆E 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过
()
2,0A -、
()
2,0B 、
31,2C ⎛⎫
⎪⎝⎭
三点． （1）求椭圆E 的方程； （2）若直线l ：
()
1y k x =-（0k ≠）与椭圆E 交于M 、N 两点，证明直线AM 与
直线BN 的交点在直线4x =上．
【答案】（1）13
42
2=+y x ;（2）详见解析． 【解析】试题分析：（1）当焦点不确定在哪个轴时，可以分别讨论在x 轴时，2=a ，代入C 点，当在y 轴时2=b ，代入C 点解2b 或2a ，成立的就是椭圆方程;或直接设椭圆的一般式12
2
=+ny mx ，代入三点的坐标解方程组；
（2）直线方程()1-=x k y 与椭圆方程联立，设()11,y x M ，()22,y x N ，由根与系数的关系得到21x x +和21x x 设直线AM 的方程()22
11
++=
x x y y ，直线BN 的方程为()2-2
-22
x x y y =
后有三种方法，法一，当4=x 时计算交点的纵坐标，并根据直线方程与根与系数的关系证明纵坐标相等，法二是联立直线AM 与BN 的方程，消去y 后利用根与系数的关系得到交点的横坐标等于4，法三类似于法二，只是先通过根与系数
的关系先消去2
k ，得到21x x +与21x x 的关系，然后再联立两个方程得到交点横坐标为
4．
试题解析：（1）解法一：当椭圆E 的焦点在x 轴上时，设其方程为22
221
x y a b
+=（0a b >>），
则2a =，又点31,2C ⎛⎫
⎪⎝⎭
在椭圆E 上，得
2219124b
+=．解得23b =． ∴椭圆E 的方程为22
143
x y +=． 当椭圆E 的焦点在y 轴上时，设其方程为22
221x y b a
+=（0a b >>），
则2b =，又点31,2C ⎛⎫
⎪⎝⎭
在椭圆E 上，得2219124a
+=． 解得23a =，这与a b >矛盾．
综上可知，椭圆E 的方程为22
143
x y +=． 解法二：设椭圆方程为2
2
1mx ny +=（0,0m n >>），
将
()
2,0A -、
()
2,0B 、31,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭
代入椭圆E 的方程，得
41,
9
1.4m m n =⎧⎪
⎨+=⎪⎩解得14m =，13n =． ∴椭圆E 的方程为22
143
x y +=． （2）证法一：将直线l ：
()
1y k x =-代入椭圆E 的方程22
143
x y +=并整理，得()()2
2
22348430k x
k x k +-+-=，
设直线l 与椭圆E 的交点
()
11,M x y ，
()
22,N x y ，
由根与系数的关系，得2
122834k x x k +=+，()
2122
4334k x x k
-=+． 直线AM 的方程为：()1
122y y x x =
++，它与直线4x =的交点坐标为1164,2y P x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭
，
同理可求得直线BN 与直线4x =的交点坐标为2224,
2y Q x ⎛⎫
⎪-⎝⎭
． 下面证明P 、Q 两点重合，即证明P 、Q 两点的纵坐标相等： ∵()
111y k x =-，
()
221y k x =-，
∴
()()()()()()
122112
1212612212622222k x x k x x y y x x x x ----+-=
+-+- ()()()()()()
2222
121212128340283434225802222k k k k k k x x x x x x x x ⎡⎤
--+⎢⎥++-++⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦===+-+-．
因此结论成立．
综上可知，直线AM 与直线BN 的交点在直线4x =上． 证法二：将直线l ：
()
1y k x =-，代入椭圆E 的方程22
143
x y +=并整理， 得()()
2222348430k x k x k +-+-=， 设直线l 与椭圆E 的交点
()
11,M x y ，
()
22,N x y ，
由根与系数的关系，得2
122834k x x k +=+，()
2122
4334k x x k -=+．
直线AM 的方程为：()1
122y y x x =
++，即()()11122k x y x x -=++．
直线BN 的方程为：()2
222y y x x =
--，即()()22122
k x y x x -=--． 由直线AM 与直线BN 的方程消去y ，得
()()()1212212121212222342233424
x x x x x x x x x x x x x x x -++⎡⎤-+⎣
⎦=
=+-++- ()222
2222222
2222
8324462443434344846
423434k k k x x k k k k k x x k k
⎡⎤-⎛⎫+-+⎢⎥-+ ⎪++⎢⎥+⎣⎦⎝⎭===+-+-+++．
∴直线AM 与直线BN 的交点在直线4x =上． 证法三：将直线l ：
()
1y k x =-，代入椭圆方程22
143
x y +=并整理，
得()()
2222348430k x k x k +-+-=， 设直线l 与椭圆E 的交点
()
11,M x y ，
()
22,N x y ，
由根与系数的关系，得2
122834k x x k +=+，()
2122
4334k x x k -=+．
消去2k 得，
()1212258
x x x x =+-．
直线AM 的方程为：()1
122y y x x =
++，即()()11122k x y x x -=++． 直线BN 的方程为：()2
222y y x x =
--，即()()22122
k x y x x -=--．
由直线AM 与直线BN 的方程消去y 得，
()()121212121212258322343434
x x x x x x x x x x x x x +--+⎡⎤-+⎣
⎦=
==+-+-． ∴直线AM 与直线BN 的交点在直线4x =上． 【考点】1．椭圆方程；2．直线与椭圆的位置关系．。