辽宁省沈阳市2013届高考数学领航预测（一）试题 文 新人教A版

2013届省重点中学协作体领航高考预测试卷1
文科数学
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分
1.若条件41:≤+x p ，条件32:<<x q ，则q ⌝是p ⌝的（ ）
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件
（C ）充要条件 （D ）既非充分条件也非必要条件 2.若tan 2α=,则
a a a
a cos 2sin cos sin 2+-的值为
（A ）0 (B) 34 (C)1 (D) 5
4
3.某单位共有老、中、青职工430人,其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍。

为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为
（A ）9
（B ）18
（C ）27
(D) 36
4．已知向量i =（1，0），j =（0，1），a =i -2j,b=i +λj,且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围（ ）
（A ）（-∞，-2）∪（-2，21） （B ）（-∞， 2
1
） （C ）（-2，
2
1
） （D ）（-∞，-2） 5．设m,n 是异面直线，则（1）一定存在平面α，使m ⊂α，且n ∥α；（2）一定存在平
面α，使m ⊂α，且n ⊥α；（3）一定存在平面γ，使得m,n 到平面γ距离相等；（4）一定存在无数对平面α和β，使m ⊂α，n ⊂β且α⊥β。

上述4个命题中正确命题的序号是（ ）
（A ）（1）（2）（3）(B) （1）（2）（4）(C) （1）（3）（4） (D) （1）（4）
6. 函数x x
x x
e e y e e
--+=-的图像大致为( ).
D
7．x
x x
x x x f cos 22)4cos(2)(2
2++++=π
，最大值M,最小值N ，则（ ） (A).M-N=4 (B).M+N=4 (C). M-N=2 (D). M+N=2
8.在区间[,]22ππ
-
上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到2
1
之间的概率为( ). A.31 B.π
2 C.21 D.32 9.已知△ABP 的顶点A 、B 分别为双曲线C ：19
1622
22=-y x 的左右焦点，顶点P 在双曲线C
上，则
P
B A sin sin sin -得值等于（ ）
（A ）
54 (B) 4
7
(C) 45 (D) 7 10．设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉且1k A +∉，那么k 是A 的一个“孤立元”，给定{1,2,3,4,5,6,7,8,}S =，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个.
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
11.一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：2
cm ）为 （A ）48122+（B ）48242+ （C ）36122+（D ）36242+12.函数,1
1
)(+-=
x x x f 设),()(1x f x f =)],([)(12x f f x f =﹒﹒﹒)],([)(1x f f x f n n -=（+∈N x ，N ≥2），令集合M={x ∣
R x x x f ∈=,)(22008}
则集合M 为（ ）
（A ）φ (B) 实数集 (C)单元素集 (D) 二元素集 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在等差数列}{n a 中,6,7253+==a a a ,则____________6=a . 14.若函数f(x)=a x
-x-a(a>0且a ≠1)有两个零点，
则实数a 的取值范围是 .
15．设点P 是双曲线122
22=-b
y a x 上除顶点外的任意一点，F 1，F 2分别为左、右焦点，c 为
半焦距，
PF 1F 2的内切圆与边F 1F 2切于点M ，求|F 1M|·|F 2M|=
16．观察下表：
1
2 3 4
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8 9 10 …………
则第__________行的各数之和等于2
2009
17．（此题满分10分）已知向量(sin ,cos 2sin ),(1,2).a b θθθ=-= （Ⅰ）若//a b ，求tan θ的值； （Ⅱ）若||||,0,a b θπ=<<求θ的值。

18．（本小题满分12分）某公司欲招聘员工，从1000名报名者中筛选200名参加笔试，按
笔试成绩择优取50名面试，再从面试对象中聘用20名员工． （1）求每个报名者能被聘用的概率；
（2）随机调查了24名笔试者的成绩如下表所示：
分数段 [60，65) [65，70) [70，75) [75，80) [80，85) [85，90)
人数
1 2 6 9 5 1
请你预测面试的分数线大约是多少？
（3）公司从聘用的四男a 、b 、c 、d 和二女e 、f 中选派两人参加某项培训，则选派结果为一男一女的概率是多少？ 19．（本小题满分12分）
如图，在三棱锥D －ABC 中，已知△BCD 是正三角形，AB ⊥平面BCD ，AB ＝BC ＝a ，E 为BC 的中点，F 在棱AC 上，且AF ＝3FC ． （1）求三棱锥D －ABC 的表面积； （2）求证AC ⊥平面DEF ； （3）若M 为BD 的中点，问AC 上是否存在一点N ，使MN ∥
平面DEF ？若存在，说明点N 的位置；若不存在，试说明理由．
20.（本小题满分12分）
等比数列{n a }的前n 项和为n S ， 已知对任意的
n N +∈ ，点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且
E
C
B
D A
F N
M
1,,b b r ≠均为常数)的图像上.
（1）求r 的值； （2）当b=2时，记 1
()4n n
n b n N a ++=
∈ 求数列{}n b 的前n 项和n T 21.（本小题满分12分）己知函数2
1()(1)ln(1)2
f x x x =+-+
（1）求()f x 的单调区间；
（2）若11,1x e e ⎡⎤∈--⎢⎥⎣
⎦
时，()f x m <恒成立，求m 的取值范围；
（3）若设函数2
11()22
g x x x a =++，若()g x 的图象与()f x 的图象在区间[]0,2上有两个
交点，求a 的取值范围。

22. （本小题满分12分）已知直线220x y -+=经过椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>
的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 和椭 圆C 上位于x 轴上方的动点，直线，,AS BS 与直线10:3
l x = 分别交于,M N 两点。

（I ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）求线段MN 的长度的最小值；
（Ⅲ）当线段MN 的长度最小时，在椭圆C 上是否存在这
样的点T ，使得TSB ∆的面积为1
5
？若存在，确定点T 的个数，若不存在，说明理由
2013届省重点中学协作体领航高考预测试卷1
1 B
2 B
3 B
4 A
5 C
6 D 7A 8A 9 A 10 D 11A 12 A (13) 13 (14) a>1 (15) 2
b (16) 1005
17解：（Ⅰ） 因为//a b ，所以2sin cos 2sin ,θθθ=-
于是4sin cos θθ=，故1
tan .4
θ=
（Ⅱ）由||||a b =知，22sin (cos 2sin )5,θθθ+-=
所以2
12sin 24sin 5.θθ-+=
从而2sin 22(1cos 2)4θθ-+-=，即sin 2cos 21θθ+=-，
于是sin(2)4
π
θ+=又由0θπ<<知，92444πππθ<+<，
所以5244π
πθ+
=
，或7244ππ
θ+=.
因此2
πθ=，或3.4π
θ= 18.解：（1）设每个报名者能被聘用的概率为p ，依题意有：
200.021000
P ==.
答：每个报名者能被聘用的概率为0.02.
（2）设24名笔试者中有x 名可以进入面试，依样本估计总体可得：
5020024
x
=，解得：6x =，从表中可知面试的切线分数大约为80分. 答：可以预测面试的切线分数大约为80分.
（3）从聘用的四男、二女中选派两人的基本事件有：（,a b ）,(,a c ) , (,a d ) ,( ,a e ) ,( ,a f ) ,( ,b c ) ,（,b d ）,( ,b e ) ,( ,b f ) ,( ,c d ) ,（,c e ）,( ,c f ) ,( ,d e ) ,( ,d f ) ,（,e f ）,共15种.选派一男一女参加某项培训的种数有( ,a e ) , ( ,a f ) , ( ,b e ) ,( ,b f ) , （,c e ）,( ,c f ) , ( ,d e ) ,( ,d f )，共8种,所以选派结果为一男一女的概率为
8
15
. 答：选派结果为一男一女的概率为8
15
.
19解：（1）∵AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥BC ，AB ⊥BD ．
∵△BCD 是正三角形，且AB ＝BC ＝a ，∴AD ＝AC
． 设G 为CD 的中点，则CG ＝1
2
a ，AG
． ∴21
2ABC ABD S S a ∆∆==
，2BCD S ∆=
，2ACD S ∆=． 三棱锥D －ABC
的表面积为2
ACD S ∆=
． （2）取AC 的中点H ，∵AB ＝BC ，∴BH ⊥AC ．
∵AF ＝3FC ，∴F 为CH 的中点．
∵E 为BC 的中点，∴EF ∥BH ．则EF ⊥AC ． ∵△BCD 是正三角形，∴DE ⊥BC ． ∵AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥DE ．
∵AB ∩BC ＝B ，∴DE ⊥平面ABC ．∴DE ⊥AC ． ∵DE ∩EF ＝E ，∴AC ⊥平面DEF ．
（3）存在这样的点N ，当CN ＝3
8CA 时，MN ∥平面DEF ．
连CM ，设CM ∩DE ＝O ，连OF ．由条件知，O 为△BCD 的重心，CO ＝2
3
CM ． ∴当CF ＝
23CN 时，MN ∥OF ．∴CN ＝313248
CA CA ⋅= 20解:因为对任意的n N +
∈,点(,)n n S ，均在函数(0x
y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.所以得n n S b r =+, 当1n =时,11a S b r ==+,
当2n ≥时,1111()(1)n n n n n n n n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-, 又因为{n a }为等比数列, 所以1r =-, 公比为b , 所以1(1)n n a b b -=- （2）当b=2时，11(1)2n n n a b b --=-=, 11
111
4422
n n n n n n n b a -++++===⨯ 则23412341
2222n n n T ++=
++++ 3451212341222222
n n n n n T +++=+++++ 相减,得2345121211111
2222222
n n n n T +++=+++++-
E C
B
D
A
F
N
M
G H
O
31211(1)112212212
n n n -+⨯-++--12311422n n n +++=--
所以1131133
22222
n n n n n n T ++++=--=-
21解（1）2
1()(1)ln(1)2
f x x x =+-+
'(2)
1()(1)(1)11x x f x x x x x
+∴=+-=>-++
()f x ∴在（0，＋∞）单调递增，在（-1，0）上单调递减
（2）令'()0f x =，即0x = ，则
∴
211(1)12f e e -=+，
2211(1)1122f e e e
-=->+，又()f x m <在11,1x e e ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦恒成立。

2
112m e ∴>-
（3）由22
111(1)ln(1)222
x x x x a +-+=++
得：2(1)2ln(1)a x x =+-+ ()(1)2ln(1)x x x ϕ=+-+，'
21()111
x x x x ϕ-=-=++
∴ []()x ϕ在0，1单调递减， []()x ϕ在1，2上单调递增
(0)1,(1)22ln 2,(2)32ln3ϕϕϕ==-=-，且(0)(2)(1)ϕϕϕ>>
∴ 当 2(22ln 2,32ln 3)a ∈--，即3(1ln 2,ln3)2
a ∈--时，()g x 的图象与()f x 的图
象在区间[]0,2上有两个交点
22 （I ）由已知得，椭圆C 的左顶点为(2,0),A -上顶点为(0,1),2,1D a b ∴==
故椭圆C 的方程为2
214
x y += （Ⅱ）直线AS 的斜率k 显然存在，且0k >，故可设直线AS 的方程为(2)y k x =+，从而
1016(
,)33
k M 由22
(2)14
y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(14)16164k x k x k +++-=0
设11(,),S x y 则212164(2),14k x k --=+得2
1
2
2814k x k -=+，从而12414k y k =+ 即222284(
,),1414k k
S k k -++又(2,0)B 由1(2)4103y x k x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得10313x y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 101(,)33N k
∴-
故161
||33k MN k
=
+
又1618
0,||333
k k MN k >∴=+≥= 当且仅当
16133k k =，即14k =时等号成立 14k ∴=时，线段MN 的长度取最小值83
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当MN 取最小值时，1
4
k =
此时BS
的方程为64
20,(,),||555
x y s BS +-=∴=
要使椭圆C 上存在点T ，使得TSB ∆的面积等于
1
5
，只须T 到直线BS
的距离等于4，所以T 在平行于BS 且与BS
距离等于4
的直线l 上。

设直线':10l x y ++=
=解得32t =-或52t =-。