【专业资料】新版高中数学人教A版必修5习题：第二章数列 2.2.2 含解析

第2课时等差数列的性质
课时过关·能力提升
基础巩固
1已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,则m和n的等差中项是().
A.2
B.3
C.6
D.9
解析:∵由已知可得m+2n=8,2m+n=10,
∴3(m+n)=18,∴m+n=6.∴m和n的等差中项是3.故选B.
答案:B
2若等差数列{a n}的公差为d,则数列{ca n}(c为常数,且c≠0)是().
A.公差为d的等差数列
B.公差为cd的等差数列
C.不是等差数列
D.以上都不对
解析:设b n=ca n,则b n+1-b n=ca n+1-ca n=c(a n+1-a n)=cd.
答案:B
3已知等差数列{a n}的公差为d(d≠0),且a3+a6+a10+a13=32,若a m=8,则m等于().
A.12
B.8
C.6
D.4
解析:∵a3+a6+a10+a13=(a3+a13)+(a6+a10)=2a8+2a8=4a8=32,∴a8=8.∴m=8.
答案:B
4若数列{a n}是等差数列,a15=8,a60=20,则a75的值为().
A.12
B.16
C.24
D.48
解析:∵{a n}是等差数列,
∴a15,a30,a45,a60,a75成等差数列.
设其公差为D,则a60=a15+3D,即D=4,
故a75=a15+4D=8+4×4=24.
答案:C
5已知数列{a n}是等差数列,若a1-a5+a9-a13+a17=117,则a3+a15=.
解析:a1-a5+a9-a13+a17=(a1+a17)-(a5+a13)+a9=a9=117,a3+a15=2a9=2×117=234.
答案:234
6在数列{a n}中,a1,a12是方程x2−√2x−5=0的两根,若{an}是等差数列,则a5+
a8=.
解析:由题意得a 1+a 12=√2,
故a 5+a 8=a 1+a 12=√2.
答案:√2
7已知在数列{a n }中,a 5=10,a 12=31,则其公差d= .
解析:d =a 12-a 512-5=31-107=3.
答案:3
8在等差数列{a n }中,已知a 5=10,a 12>31,求公差d 的取值范围.
解设首项为a 1,由题意,可知{a 1+4d =10,a 1+11d >31,
解得d>3.所以d 的取值范围是(3,+∞).
9已知三个数成等差数列,其和为15,首末两项的积为9,求这三个数.
解由题意,可设这三个数分别为a-d ,a ,a+d ,
则{(a -d )+a +(a +d )=15,(a -d )(a +d )=9,
解得{a =5,d =4或{a =5,d =-4.
所以,当d=4时,这三个数为1,5,9;
当d=-4时,这三个数为9,5,1.
所以这三个数为1,5,9或9,5,1.
10已知数列{a n },a n =2n-1,b n =a 2n-1.
(1)求{b n }的通项公式;
(2)数列{b n }是否为等差数列?说明理由.
解(1)∵a n =2n-1,b n =a 2n-1,
∴b n =a 2n-1=2(2n-1)-1=4n-3.
(2){b n }是等差数列.理由如下:由b n =4n-3,知当n ≥2时,b n-1=4(n-1)-3=4n-7.
∴b n -b n-1=(4n-3)-(4n-7)=4.
又b 1=a 1=2×1-1=1,
∴{b n }是首项b 1=1,公差为4的等差数列.
能力提升
1设数列{a n },{b n }都是等差数列,且a 1=25,b 1=75,a 2+b 2=100,则a 37+b 37等于( ).
A.0
B.37
C.100
D.-37
解析:∵{a n},{b n}都是等差数列,
∴数列{a n+b n}也是等差数列,设其公差为d,
则d=(a2+b2)-(a1+b1)=0.
∴数列{a n+b n}为常数列.
∴a37+b37=a1+b1=100.
答案:C
2在如图所示的表格里,每格填上一个数
字后使每一横行和竖列都成等差数列,
则a等于().
A.3
B.-3
C.0
D.6
=4.又第二列成等差数列,则4+a=2×2,∴a=0.解析:由于第一行成等差数列,则第一行中间数为2+6
2
答案:C
3如果在等差数列{a n}中,a5+a6+a7=15,那么a3+a4+…+a9等于().
A.21
B.30
C.35
D.40
解析:a5+a6+a7=(a5+a7)+a6=2a6+a6=3a6=15,
所以a6=5.所以a3+a4+…+a9=(a3+a9)+(a4+a8)+(a5+a7)+a6=7a6=35.
答案:C
4在等差数列{a n}中,a3+a7-a10=8,a11-a4=4,则a6+a7+a8等于().
A.34
B.35
C.36
D.37
解析:由题意得(a3+a7-a10)+(a11-a4)=12,
∴(a3+a11)+a7-(a10+a4)=12.
∵a3+a11=a10+a4,∴a7=12.
∴a6+a7+a8=3a7=36.
答案:C
5若等差数列{a n}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n=时,{a n}的前n项和最大.
答案:8
6若a,b,c成等差数列,则二次函数y=ax2-2bx+c的图象与x轴的交点的个数为.
解析:∵a,b,c成等差数列,∴2b=a+c.
∴Δ=4b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2≥0.
∴二次函数y=ax2-2bx+c的图象与x轴的交点个数为1或2.
答案:1或2
}是等差数列,则an=.
★7已知在数列{a n}中,a3=3,a7=1,又数列{1
a n+1
解析:∵{1a n +1}是等差数列,设b n =1a n +1
, 则b 3=13+1=14,b7=11+1=12.
∴公差d =b 7-b 3=12-14=1.
∴b n =b 3+116(n −3)=14+n 16−316=n+116. ∴1a n +1=n +116
. ∴a n +1=16n+1,an =16n+1−1=15-n n+1. 答案:15-n n+1
8已知1a ,1b ,1c 成等差数列,且a +c,a −c,a +c −2b 均为正数,求证:lg(a +c),lg(a −c),lg(a +c −2b)也成等差数列.
证明∵1a ,1b ,1c 成等差数列,∴2b =1a +1
c , ∴2ac=ab+bc.∴-2ac=2ac-2b (a+c ), ∴-2ac+a 2+c 2=2ac-2b (a+c )+a 2+c 2, ∴(a-c )2=(a+c )(a+c-2b ).
∵a-c ,a+c ,a+c-2b 都是正数, ∴2lg(a-c )=lg(a+c )+lg(a+c-2b ). ∴lg(a+c ),lg(a-c ),lg(a+c-2b )成等差数列. ★9设数列{a n }是等差数列,b n =
(12)a n ,且b1+b2+b3=218,b1b2b3=18,求通项公式an. 解∵b 1b 2b 3=18,又b n =(12)a n ,
∴(12)a 1·(12)a 2·(12)a 3=18
. ∴(12)a 1+a 2+a 3=18
. ∴a 1+a 2+a 3=3.
又{a n }成等差数列,
∴a 2=1,a 1+a 3=2.
∴b 1b 3=14,b1+b3=178
.
∴{b 1=2,b 3=18
或{b 1=18,b 3=2. ∴{a 1=-1,a 3=3或{a 1=3,a 3=-1.
设等差数列{a n }的公差为d , 当a 1=-1,a 3=3时,d=2, ∴a n =-1+2(n-1)=2n-3; 当a 1=3,a 3=-1时,d=-2, ∴a n =3-2(n-1)=-2n+5. 综上所述,a n =2n-3或a n =-2n+5.。