2012年高考数学 最新密破仿真模拟卷 第2周测试(教师解析版)

2012年高考数学 最新密破仿真模拟卷
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
注意事项：
1. 答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的某某、座号、某某号、县区和科类填写在自己的答题卡和试卷规定的位置上.
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答案不能答在试卷上。

3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：
柱体的体积公式：v sh =，其中s 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高. 圆柱的侧面积公式：s cl =，其中c 是圆柱的底面周长，l 是圆柱的母线长. 球的体积公式V=3
4
R 3
π, 其中R 是球的半径. 球的表面积公式：S=4π
R 2
,其中R 是球的半径.
用最小二乘法求线性回归方程系数公式12
21
ˆˆˆ,n
i i
i n i i x y nx y
b
a
y bx x nx
==-⋅==--∑∑ . 如果事件A B 、互斥，那么()()()P A B P A P B +=+.
第1卷（共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（将4题答案拆开，保留第一个答案）
1．(2011·)已知集合P ＝{x |x 2
≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值X 围是( )． A ．(－∞，－1] B ．[1，＋∞)
C ．[－1,1]
D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
1.解析 由P ∪M ＝P ，有M ⊆P ，∴a 2
≤1，∴－1≤a ≤1. 答案 C
2对任意复数()i ,R z x y x y =+∈，i 为虚数单位，则下列结论正确的是 （A ）2z z y -=（B ）2
2
2
z x y =+ （C ）2z z x -≥（D ）z x y ≤+
2.解析：可对选项逐个检查，A 项，y z z 2≥-，故A 错，B 项，xyi y x z 22
2
2
+-=，故B 错，C 项，y z z 2≥-，故C 错，D 项正确。

本题主要考察了复数的四则运算、共轭复数及其几何意义，属中档题
3．函数f (x )的定义域为(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )的图象如图所示，则函数f (x )在区间(a ，b )上有极小值点的个数为( )．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3.解析 由图象知f (x )在[a ，b ]上的单调性为：增→减→增→减．故只有一个极小值． 答案 A
4．已知α是锐角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝34，则sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α2＋π的值等于( ) A.
24B ．－24C.144D ．－14
4
5．“1a =-”是“函数2
()21f x ax x =+-只有一个零点”的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．非充分非必要条件
5.Ｂ解析函数2
()21f x ax x =+-只有一个零点，当0a =时符合，当440a ∆=+=，也符合，即0a =或1a =-故选B ．
6．若cos α＝－45，α是第三象限角，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝( )． A ．－17B.1
7
C ．7
D ．－7
6.解析 ∵cos α＝－4
5，α是第三象限角，
∴sin α＝－35，∴tan α＝3
4，
∴tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α＝1＋3
41－34＝7.
答案 C
7．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：
①a ＋b ＞1；②a ＋b ＝2；③a ＋b ＞2；④a 2＋b 2
＞2；⑤ab ＞1. 其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是( ) A ．②③ B．①②③ C ．③ D．③④⑤
8．点P (x ，y )在直线4x ＋3y ＝0上，且x ，y 满足－14≤x －y ≤7，则点P 到坐标原点距 离的取值X 围是( )
A.[0,5]
B.[0,10]
C.[5,10]
D.[5,15] 8.B 解析：因x ，y 满足－14≤x －y ≤7， 则点P(x ，y)在14x y x y -⎧⎨
--⎩
≤7
≥
所确定的区域内， 且原点也在这个区域内. 又点0在直线4x ＋3y ＝0上，
430,14
x y x y -=⎧⎨
-=-⎩
解得430
(6,8).,(3,4).14x y A B x y -=⎧-⎨-=-⎩
解得
P 到坐标原点的距离的最小值为0，
又|AO |＝10，|BO |＝5，
故最大值为10.∴其取值X 围是[0,10].
9．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴相切，则该圆的标准方程是（ ）
A ．2
27(3)13x y ⎛
⎫-+-= ⎪⎝⎭
B ．22
(2)(1)1x y -+-=
C ．2
2
(1)(3)1x y -+-=
D ．2
23(1)12x y ⎛
⎫-+-= ⎪⎝
⎭
9.B ．解析：设圆心坐标为(),a b ，则1b =且4315
a b
-=.又0b >，故1b =，由435a -=得1
2
a =-
（圆心在第一象限、舍去）或2a =，故所求圆的标准方程是()()2
2
211x y -+-=。

10．已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则( )
A ．(25)(11)(80)f f f -<<
B ．(80)(11)(25)f f f <<-
C ．(11)(80)(25)f f f <<-
D ．(25)(80)(11)f f f -<<
10.答案：D 解析：因为)(x f 满足(4)()f x f x -=-，所以(8)()f x f x -=，所以函数是以8为周期的周期函数，则)1()25(-=-f f ，)0()80(f f =，)3()11(f f =，又因为)(x f 在R 上是奇函数，(0)0f =，得0)0()80(==f f ，)1()1()25(f f f -=-=-，而由
(4)()f x f x -=-得)1()41()3()3()11(f f f f f =--=--==，又因为)(x f 在区间
[0,2]上是增函数，所以0)0()1(=>f f ，所以0)1(<-f ，即(25)(80)(11)f f f -<< 11.如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的侧面积为( )
A.32π
B.54π
C.π
D.π4
11.C 解析：由三视图知该几何体为圆柱，其底面半径为r ＝1
2，高h ＝1，∴S 侧＝2πrh
＝π.
12．设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，
满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )．
A ．3x ±4y ＝0
B ．3x ±5y ＝0
C ．4x ±3y ＝0
D ．5x ±4y ＝0
12.解析 如图，由题意得
|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ， |F 2M |＝2a .
在△PF 2M 中，|PF 2|2
＝|F 2M |2
＋|PM |2
， 而|PM |＝1
2|PF 1|，
又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，
∴|PF 1|＝2a ＋2c ，即|PM |＝a ＋c . ∴|PF 2|2
＝(2c )2
＝(2a )2
＋(a ＋c )2
.
又c 2＝a 2＋b 2
，∴b a ＝43
，
∴双曲线的渐近线方程为y ＝±4
3x ，
即4x ±3y ＝0. 答案 C
第II 卷（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
13.某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示：
队员i 1
2
3
4
5
6
三分球个数
a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6
下图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填________，输出的s ＝________.
i ＜7(或i ≤6)a 1+a 2+…+a 6
13.解析：由题意该程序框图实际上是求该6名队员在最近三场比赛中投进三分球总数，故判断框应填i ≤6？或i ＜7？，输出s 为a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6.
14．一条直线型街道的A ，B 两盏路灯之间的距离为120 m ，由于光线较暗，想在中间再随意安装两盏路灯C ，D ，路灯次序依次为A ，C ，D ，B ，则A 与C ，B 与D 之间的距离都不小于40 m 的概率为．
14.解:设AC 长为x ，DB 长为y ，
则CD 长为120－(x ＋y )且满足⎩⎪⎨⎪
⎧
0≤x ≤120，0≤y ≤120，
120－x ＋y ≥0.
设AC ，BD 之间都不小于40的事件为M ， 则⎩⎪⎨⎪
⎧
40≤x ≤120，40≤y ≤120，x ＋y ≤120，
满足条件的点P (x ，y )构成如图所示的阴影区域，
∴P (M )＝
S 阴影S △OEF ＝1
9
. 15.过双曲线
22
1916
x y -=的右顶点为A ，右焦点为F 。

过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为______________
15.解析：双曲线右顶点()3,0A ，右焦点()5,0F ，双曲线一条渐近线的斜率是4
3
，直线FB 的方程是()453y x =
-，与双曲线方程联立解得点B 的纵坐标为32
15
-，故△AFB 的面积为113232
2221515
B AF y ⨯=⨯⨯=
16.设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1
2对称，则f (1)＋f (2)
＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝______. 16.解析 由已知得：f (1)＝f (0)＝0，
f (2)＝f (－1)＝－f (1)＝0，f (3)＝f (－2)＝－f (2)＝0， f (4)＝f (－3)＝－f (3)＝0，f (5)＝f (－4)＝－f (4)＝0.
∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝0. 答案:0
三、解答题：本大题共6小题，共74分. 17．（本小题满分12分）
已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx ·sin(ωx ＋π2)＋2cos 2
ωx ，x ∈R(ω>0)，在y 轴右侧
的第一个最高点的横坐标为π
6
. (1)求ω；
(2)若将函数f (x )的图象向右平移π
6个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的
4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )的最大值及单调递减区间． 17.解：(1)f (x )＝
32sin2ωx ＋12cos2ωx ＋32
＝sin(2ωx ＋π6)＋3
2
.
令2ωx ＋π6＝π2，将x ＝π
6代入可得：ω＝1.
(2)由(1)得f (x )＝sin(2x ＋
π6)＋3
2
. 经过题设的变化得到的函数
g (x )＝sin(12x －π6)＋32
.
当x ＝4k π＋43π，k ∈Z 时，函数取得最大值5
2.
令2k π＋π2≤12x －π6≤2k π＋3
2
π，
即x ∈[4k π＋4π3，4k π＋10
3π]，k ∈Z 为函数的单调递减区间．
18.（文）（本小题满分12分）.
为选拔学生做亚运会志愿者，对某班50名学生进行了一次体育测试，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组：每一组[50,60)，第二组[60,70) ，
……，第五组[90,100]．下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图. （I ）若成绩大于或等于60且小于80，认为合格，求该班这次数学测试中成绩合格的人数； （II ）从测试成绩在[50,60)
[90,100]内的所有学生中随
机抽取两名同学，设其测试成绩分别为m 、n ，求事件“||10m n ->”的概率.
18.（文）解：（I ）由直方图知，成绩在[60,80)内的人数为：
5010(0.0180.040)29⨯⨯+=.
所以该班在这次数学测试中成绩合格的有29人.
（II ）由直方图知，成绩在[50,60)的人数为50100.0042⨯⨯=，设为x 、y ， 成绩在[90,100] 的人数为50100.0063⨯⨯=，设为a b c 、、， 若,[50,60)m n ∈时，只有xy 1种情况， 若,[90,100]m n ∈时，有,,ab bc ac 3种情况， 若n m ,分别在[50,60)和[90,100]内时，有
共有6种情况.所以基本事件总数为10种， 事件“||10m n ->”所包含的基本事件个数有6种
∴P （||10m n ->）63105=
=
18.（理）（本小题满分12分）
乒乓球男子单打比赛中，选手马天、王林、王尤涛包揽了三块奖牌，通过对以往队内战绩的统计，三人实力相当，即在一局比赛中，每人战胜对手的概率均为0.5. (1)若王林和王尤涛之间进行三局比赛，求王尤涛恰好胜两局的概率． (2)若马天和王尤涛之间进行一场比赛(7局4胜制)，设所需局数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．
∴随机变量ξ的分布列为：
ξ
4 5 6
7 P 18 14
516
516
∴Eξ＝4×18＋5×14＋6×516＋7×516＝93
16
.
19.（文）（本小题满分12分）
多面体ABCDE 中，1====AE AC BC AB ，2=CD ，ABC AE 面⊥，CD AE //。

（1）求证：BCD AE 面//；
（2）求证：BCD BED 面面⊥ 19.（文）证明：（1）∵CD AE //
BCD AE 面⊄
∴BCD AE 面//
（2）令BC 中点为N ，BD 中点为M ，连结MN 、EN ∵MN 是BCD ∆的中位线 ∴CD MN // 又∵CD AE // ∴MN AE //
∴ABC MN 面⊥∴AN MN ⊥ ∵ABC ∆为正∆ ∴BC AN ⊥ ∴BCD AN 面⊥
又∵1==MN AE ，MN AE // ∴四边形ANME 为平行四边形 ∴BCD EN 面⊥ ∴BCD BED 面面⊥
19.（理）（本小题满分12分）
如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD, AD//BC//FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF=AB=BC=FE=
12
AD (I) 求异面直线BF 与DE 所成的角的大小； (II) 证明平面AMD ⊥平面CDE ； （III ）求二面角A-CD-E 的余弦值。

19.（理）解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系，
点A 为坐标原点。

设，1=AB 依题意得()，，，001B ()，，，011C ()，，，020D ()，，，110E ()，，，100F .21121M ⎪⎭⎫ ⎝
⎛，，
（I ）()，，，解：101B F -=()，
，，110DE -= .2
1
221
00DE
BF DE BF DE cos =•++=
•=
，于是BF
所以异面直线B F 与DE 所成的角的大小为0
60.
（II ）证明：，，，由⎪⎭
⎫ ⎝⎛=21121AM ()，，，101CE -=()0AM CE 020AD =•=，可得，，，
.AMD CE A AD AM .AD CE AM CE .0AD CE 平面，故又，因此，⊥=⊥⊥=• .CDE AMD CDE CE 平面，所以平面平面而⊥⊂
（III ）⎪⎩⎪⎨⎧=•=•=.
0D 0)(CDE E u CE u z y x u ，，则，，的法向量为解：设平面
.111(1.00），，，可得令，于是==⎩⎨⎧=+-=+-u x z y z x
又由题设，平面ACD 的一个法向量为).100(，，=v
.331
3100cos =•++=•=v u v u v u ，所以， 20.（本小题满分12分）
设数列{}n a 满足3*010,1,,n n a a ca c c N c +==+-∈其中为实数．
（Ⅰ）证明：[0,1]n a ∈对任意*
n N ∈成立的充分必要条件是[0,1]c ∈； （Ⅱ）设103
c <<
，证明：1*1(3),n n a c n N -≥-∈； （Ⅲ）设103c <<，证明：222*1221,13n a a a n n N c ++>+-∈-． 20.解析：(1)必要性：120,1a a c ==-∵∴ ，又2[0,1],011a c ∈≤-≤∵∴ ，即[0,1]c ∈．
充分性 ：设[0,1]c ∈，对*n N ∈用数学归纳法证明[0,1]
n a ∈， 当1n =时，10[0,1]a =∈．假设[0,1](1)k a k ∈≥，
则31111k k a ca c c c +=+-≤+-=，且31110
k k a ca c c +=+-≥-=≥， 1[0,1]k a +∈∴，由数学归纳法知[0,1]n a ∈对所有*n N ∈成立．
(2) 设 103
c <<，当1n =时，10a =，结论成立． 当2n ≥ 时，3211111,1(1)(1)
n n n n n n a ca c a c a a a ----=+--=-++∵∴， 103
C <<∵,由（1）知1[0,1]n a -∈，所以 21113n n a a --++≤ 且 110n a --≥， 113(1)n n a c a --≤-∴，
211
12113(1)(3)(1)(3)(1)(3)n n n n n a c a c a c a c -----≤-≤-≤≤-=∴，
1*1(3)()
n n a c n N -≥-∈∴． (3) 设 103c <<，当1n =时，2120213a c
=>--，结论成立， 当2n ≥时，由（2）知11(3)0n n a c -≥->，
21212(1)1
(1(3))12(3)(3)12(3)n n n n n a c c c c ----≥-=-+>-∴，
222222112212[3(3)(3)]
n n n a a a a a n c c c -+++=++>--+++∴2(1(3))2
111313n c n n c c -=+->+---．
21．（本小题满分12分）
设a >0，函数f (x )＝1
2x 2－(a ＋1)x ＋a ln x .
(1)若曲线y ＝f (x )在(2，f (2))处切线的斜率为－1，求a 的值；
(2)求函数f (x )的极值点．
21．解:(1)由已知得x >0，f ′(x )＝x －(a ＋1)＋a
x .
因为曲线y ＝f (x )在(2，f (2))处切线的斜率为－1，
所以f ′(2)＝－1，
即2－(a ＋1)＋a
2＝－1，所以a ＝4.
(2)f ′(x )＝x －(a ＋1)＋a
x
＝x 2－a ＋1x ＋a x ＝x －1x －a
x .
①当0<a <1时，
当x ∈(0，a )时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；
当x ∈(a,1)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；
当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． 此时x ＝a 是f (x )的极大值点，x ＝1是f (x )的极小值点． ②当a ＝1时，
当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0；
当x ＝1时，f ′(x )＝0；
当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0.
所以函数f (x )在定义域内单调递增，此时f (x )没有极值点．
③当a >1时，
当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；
当x ∈(1，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；
当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． 此时x ＝1是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点． 综上，当0<a <1时，x ＝a 是f (x )的极大值点，
x ＝1是f (x )的极小值点；
当a ＝1时，f (x )没有极值点；
当a >1时，x ＝1是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点．
22.（本小题满分14分）已知直线l ：y ＝kx ＋2(k 为常数)过椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的上顶点B 和左焦点F ，直线l 被圆x 2＋y 2
＝4截得的弦长为d .
(1)若d ＝23，求k 的值；
(2)若d ≥45
5，求椭圆离心率e 的取值X 围． 22.解：(1)取弦的中点为M ，连结OM 由平面几何知识，OM ＝1，
OM 21k +解得k 2=3，k =3∵直线过F 、B ，∴k ＞0，
则k 3(2)设弦的中点为M ，连结OM ，
则OM 2=24
1k +，
d 2=4(4-241k +)≥(455)2
， 解得k 2
≥14.
e2=
2
2
22
2
2
()14
215
4()
c k
a k
k
==≤
+
+
，
∴0＜e
≤
5
.。