襄汾县民族中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

襄汾县民族中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）
A ．1﹣
B ．﹣
C ．
D ．
2． 在等差数列{}n a 中，已知4816a a +=，则210a a +=（ ）
A ．12
B ．16
C ．20
D ．24
3． 已知向量=（1，2），=（m ，1），如果向量与平行，则m 的值为（ ）
A ．
B ．
C ．2
D ．﹣2
4． 12,e e 是平面内不共线的两向量，已知12AB e ke =-，123CD e e =-，若,,A B D 三点共线，则的值是（ ）
A ．1
B ．2
C ．-1
D ．-2 5． 将函数f （x ）=sin2x 的图象向右平移个单位，得到函数y=g （x ）的图象，则它的一个对称中心是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6． 已知正方体被过一面对角线和它对面两棱中点的平面截去一个三棱台后的几何体的主（正）视图和俯视图如下，则它的左（侧）视图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7． 已知两条直线ax+y ﹣2=0和3x+（a+2）y+1=0互相平行，则实数a 等于（ ）
A ．1或﹣3
B ．﹣1或3
C ．1或3
D ．﹣1或﹣3 8． 设a ，b ∈R 且a+b=3，b ＞0
，则当
+
取得最小值时，实数a 的值是（ ）
A
．
B
．
C
．
或 D ．3
9． 已知直线x ﹣y+a=0与圆心为C 的圆x 2+y 2
+2x ﹣
4y+7=0相交于A ，B
两点，且
•=4，则实数a
的值为（ ） A
．
或﹣
B
．
或
3
C
．
或
5
D ．
3
或
5
10．实数x ，y
满足不等式组，则下列点中不能使u=2x+y 取得最大值的是（ ）
A ．（1，1）
B ．（0，3） C
．（，2） D
．（，0）
11．设全集U=M ∪N=﹛1，2，3，4，5﹜，M ∩∁U N=﹛2，4﹜，则N=（ ） A ．{1，2，3} B ．{1，3，5}
C ．{1，4，5}
D ．{2，3，4}
12．数列﹣1，4，﹣7，10，…，（﹣1）n （3n ﹣2）的前n 项和为S n ，则S 11+S 20=（ ）
A ．﹣16
B ．14
C ．28
D ．30
二、填空题
13．已知△ABC 的面积为S ，三内角A ，B ，C 的对边分别为，，．若2
2
2
4S a b c +=+， 则sin cos()4
C B π
-+
取最大值时C = ．
14．若函数()ln f x a x x =-在区间(1,2)上单调递增，则实数的取值范围是__________.
15．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，2a n+1=a n ，若对于任意n ∈N *，当t ∈[﹣1，1]时，不等式x 2+tx+1＞S n 恒成立，则实数x 的取值范围为 ．
16．某校开设9门课程供学生选修，其中A ，B ，C3门课由于上课时间相同，至多选1门，若学校规定每位学生选修4门，则不同选修方案共有 种．
17．设是空间中给定的个不同的点，则使成立的点的个数有_________个．
18．若在圆C ：x 2+（y ﹣a ）2=4上有且仅有两个点到原点O 距离为1，则实数a 的取值范围是 ．
三、解答题
19．（本题满分15分） 若数列{}n x 满足：
111
n n
d x x +-=（d 为常数， *n N ∈），则称{}n x 为调和数列，已知数列{}n a 为调和数
列，且11a =，
12345
11111
15a a a a a ++++=. （1）求数列{}n a 的通项n a ；
（2）数列2{}n
n
a 的前n 项和为n S ，是否存在正整数n ，使得2015n S ≥？若存在，求出n 的取值集合；若不存
在，请说明理由.
【命题意图】本题考查数列的通项公式以及数列求和基础知识，意在考查运算求解能力.
20．在极坐标系内，已知曲线C 1的方程为ρ2﹣2ρ（cos θ﹣2sin θ）+4=0，以极点为原点，极轴方向为x 正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线C 2
的参数方程为（t 为参数）．
（Ⅰ）求曲线C 1的直角坐标方程以及曲线C 2的普通方程；
（Ⅱ）设点P 为曲线C 2上的动点，过点P 作曲线C 1的切线，求这条切线长的最小值．
21．已知{a n }为等比数列，a 1=1，a 6=243．S n 为等差数列{b n }的前n 项和，b 1=3，S 5=35． （1）求{a n }和{B n }的通项公式； （2）设T n =a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n ，求T n ．
22．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC=PD=2，E为PC的中点，．
求证：PC⊥BC；
（Ⅱ）求三棱锥C﹣DEG的体积；
（Ⅲ）AD边上是否存在一点M，使得PA∥平面MEG．若存在，求AM的长；否则，说明理由．
23．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动．
（1）证明：BC1∥平面ACD1．
（2）当时，求三棱锥E﹣ACD1的体积．
24．已知函数f（x）=ax2+bx+c，满足f（1）=﹣，且3a＞2c＞2b．（1）求证：a＞0时，的取值范围；
（2）证明函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点；
（3）设x1，x2是函数f（x）的两个零点，求|x1﹣x2|的取值范围．
襄汾县民族中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】A
【解析】解：设扇形的半径为r ，则扇形OAB 的面积为
，
连接OC ，把下面的阴影部分平均分成了2部分，然后利用位移割补的方法，分别平移到图中划线部分，则阴
影部分的面积为：
﹣
，
∴此点取自阴影部分的概率是．
故选A ．
2． 【答案】B 【解析】
试题分析：由等差数列的性质可知，16a 84102=+=+a a a . 考点：等差数列的性质. 3． 【答案】B
【解析】解：向量，向量与平行，
可得2m=﹣1．
解得m=﹣． 故选：B ．
4． 【答案】B 【解析】
考点：向量共线定理．
5．【答案】D
【解析】解：函数y=sin2x的图象向右平移个单位，则函数变为y=sin[2（x﹣）]=sin（2x﹣）；考察选项不难发现：
当x=时，sin（2×﹣）=0；
∴（，0）就是函数的一个对称中心坐标．
故选：D．
【点评】本题是基础题，考查三角函数图象的平移变换，函数的对称中心坐标问题，考查计算能力，逻辑推理能力，常考题型．
6．【答案】A
【解析】解：由题意可知截取三棱台后的几何体是7面体，左视图中前、后平面是线段，
上、下平面也是线段，轮廓是正方形，AP是虚线，左视图为：
故选A．
【点评】本题考查简单几何体的三视图的画法，三视图是常考题型，值得重视．
7．【答案】A
【解析】解：两条直线ax+y﹣2=0和3x+（a+2）y+1=0互相平行，
所以=≠，
解得a=﹣3，或a=1．
故选：A．
8．【答案】C
【解析】解：∵a+b=3，b＞0，
∴b=3﹣a＞0，∴a＜3，且a≠0．
①当0＜a＜3时，+==+=f（a），
f′（a）=+=，
当时，f′（a）＞0，此时函数f（a）单调递增；当时，f′（a）＜0，此时函数f（a）单调递减．
∴当a=时，+取得最小值．
②当a＜0时，+=﹣（）=﹣（+）=f（a），
f′（a）=﹣=﹣，
当时，f′（a）＞0，此时函数f（a）单调递增；当时，f′（a）＜0，此时函数f（a）单调递减．
∴当a=﹣时，+取得最小值．
综上可得：当a=或时，+取得最小值．
故选：C．
【点评】本题考查了导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
9．【答案】C
【解析】解：圆x2
+y2+2x﹣4y+7=0，可化为（x+）2+（y﹣2）2=8．
∵•=4，∴2•2cos∠ACB=4
∴cos∠ACB=，
∴∠ACB=60°
∴圆心到直线的距离为，
∴=，
∴a=或5．
故选：C．
10．【答案】D
【解析】解：由题意作出其平面区域，
将u=2x+y化为y=﹣2x+u，u相当于直线y=﹣2x+u的纵截距，故由图象可知，
使u=2x+y取得最大值的点在直线y=3﹣2x上且在阴影区域内，
故（1，1），（0，3），（，2）成立，
而点（，0）在直线y=3﹣2x上但不在阴影区域内，
故不成立；
故选D．
【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，注意点在阴影区域内；属于中档题．
11．【答案】B
【解析】解：∵全集U=M∪N=﹛1，2，3，4，5﹜，M∩C u N=﹛2，4﹜，
∴集合M，N对应的韦恩图为
所以N={1，3，5}
故选B
12．【答案】B
【解析】解：∵a n=（﹣1）n（3n﹣2），
∴S11=（）+（a2+a4+a6+a8+a10）
=﹣（1+7+13+19+25+31）+（4+10+16+22+28）
=﹣16，
S20=（a1+a3+…+a19）+（a2+a4+…+a20）
=﹣（1+7+...+55）+（4+10+ (58)
=﹣+
=30，
∴S11+S20=﹣16+30=14．
故选：B．
【点评】本题考查数列求和，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法和等差数列的性质的合理运用．二、填空题
13．【答案】
4
【解析】
考点：1、余弦定理及三角形面积公式；2、两角和的正弦、余弦公式及特殊角的三角函数.1
【方法点睛】本题主要考查余弦定理及三角形面积公式、两角和的正弦、余弦公式及特殊角的三角函数，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.一般来说,当条件中同时出现ab及2
b、2a时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为
正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答，解三角形时三角形面积公式往往根据不同情况选用下列
不同形式111sin ,,(),2224abc ab C ah a b c r R
++. 14．【答案】2a ≥
【解析】
试题分析：因为()ln f x a x x =-在区间(1,2)上单调递增，所以(1,2)x ∈时，()'10a
f x x
=
-≥恒成立，即a x ≥恒成立，可得2a ≥，故答案为2a ≥.1
考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题.
15．【答案】 （﹣∞，
]∪[
，+∞） ．
【解析】解：数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，2a n+1=a n ，
∴数列{a n }是以1为首项，以为公比的等比数列，
S n =
=2﹣（）n ﹣1，
对于任意n ∈N *，当t ∈[﹣1，1]时，不等式x 2
+tx+1＞S n 恒成立， ∴x 2
+tx+1≥2，
x 2+tx ﹣1≥0， 令f （t ）=tx+x 2
﹣1，
∴，
解得：x ≥
或x ≤
，
∴实数x 的取值范围（﹣∞，]∪[
，+∞）．
16．【答案】 75
【解析】计数原理的应用． 【专题】应用题；排列组合． 【分析】由题意分两类，可以从A 、B 、C 三门选一门，再从其它6门选3门，也可以从其他六门中选4门，根据分类计数加法得到结果．
【解答】解：由题意知本题需要分类来解，
第一类，若从A、B、C三门选一门，再从其它6门选3门，有C31C63=60，
第二类，若从其他六门中选4门有C64=15，
∴根据分类计数加法得到共有60+15=75种不同的方法．
故答案为：75．
【点评】本题考查分类计数问题，考查排列组合的实际应用，利用分类加法原理时，要注意按照同一范畴分类，分类做到不重不漏．
17．【答案】1
【解析】【知识点】平面向量坐标运算
【试题解析】设
设，则
因为，
所以，所以
因此，存在唯一的点M，使成立。

故答案为：
18．【答案】﹣3＜a＜﹣1或1＜a＜3．
【解析】解：根据题意知：圆x2+（y﹣a）2=4和以原点为圆心，1为半径的圆x2+y2=1相交，两圆圆心距d=|a|，∴2﹣1＜|a|＜2+1，
∴﹣3＜a＜﹣1或1＜a＜3．
故答案为：﹣3＜a＜﹣1或1＜a＜3．
【点评】本题体现了转化的数学思想，解题的关键在于将问题转化为：圆x2+（y﹣a）2=4和以原点为圆心，1为半径的圆x2+y2=1相交，属中档题．
三、解答题
19．【答案】（1）1
n a n
=
，（2）详见解析.
当
8n =时911872222015S =⨯+>>，…………13分
∴存在正整数n ，使得2015n S ≥的取值集合为{}
*
|8,n n n N ≥∈，…………15分
20．【答案】
【解析】
【专题】计算题；直线与圆；坐标系和参数方程．
【分析】（Ⅰ）运用x=ρcos θ，y=ρsin θ，x2+y2=ρ2，即可得到曲线C 1的直角坐标方程，再由代入法，即可化
简曲线C 2的参数方程为普通方程； （Ⅱ）可经过圆心（1，﹣2）作直线3x+4y ﹣15=0的垂线，此时切线长最小．再由点到直线的距离公式和勾
股定理，即可得到最小值．
【解答】解：（Ⅰ）对于曲线C 1的方程为ρ2
﹣2ρ（cos θ﹣2sin θ）+4=0，
可化为直角坐标方程x 2+y 2
﹣2x+4y+4=0， 即圆（x ﹣1）2+（y+2）2
=1；
曲线C 2的参数方程为
（t 为参数），
可化为普通方程为：3x+4y ﹣15=0．
（Ⅱ）可经过圆心（1，﹣2）作直线3x+4y﹣15=0的垂线，此时切线长最小．
则由点到直线的距离公式可得d==4，
则切线长为=．
故这条切线长的最小值为．
【点评】本题考查极坐标方程、参数方程和直角坐标方程、普通方程的互化，考查直线与圆相切的切线长问题，考查运算能力，属于中档题．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵{a n}为等比数列，a1=1，a6=243，
∴1×q5=243，解得q=3，
∴．
∵S n为等差数列{b n}的前n项和，b1=3，S5=35．
∴5×3+d=35，解得d=2，
b n=3+（n﹣1）×2=2n+1．
（Ⅱ）∵T n=a1b1+a2b2+…+a n b n，
∴
①
②
①﹣②得：
，
整理得：．
【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．
22．【答案】
【解析】解：（I）证明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，
又∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD，∵PDICE=D，
∴BC⊥平面PCD，又∵PC⊂面PBC，∴PC⊥BC．
（II）解：∵BC⊥平面PCD，
∴GC是三棱锥G﹣DEC的高．
∵E是PC的中点，∴．
∴．
（III）连接AC，取AC中点O，连接EO、GO，延长GO交AD于点M，则PA∥平面MEG．
下面证明之：
∵E为PC的中点，O是AC的中点，∴EO∥平面PA，
又∵EO⊂平面MEG，PA⊄平面MEG，∴PA∥平面MEG，
在正方形ABCD中，∵O是AC中点，∴△OCG≌△OAM，
∴，∴所求AM的长为．
【点评】本题主要考查线面平行与垂直关系、多面体体积计算等基础知识，考查空间想象能、逻辑思维能力、运算求解能力和探究能力、考查数形结合思想、化归与转化思想．
23．【答案】
【解析】（1）证明：∵AB∥C1D1，AB=C1D1，
∴四边形ABC1D1是平行四边形，
∴BC1∥AD1，
又∵AD1⊂平面ACD1，BC1⊄平面ACD1，
∴BC1∥平面ACD1．
（2）解：S△ACE=AEAD==．
∴V=V===．
【点评】本题考查了线面平行的判定，长方体的结构特征，棱锥的体积计算，属于中档题．
24．【答案】
【解析】解：（1）∵f（1）=a+b+c=﹣，
∴3a+2b+2c=0．
又3a＞2c＞2b，
故3a＞0，2b＜0，
从而a＞0，b＜0，
又2c=﹣3a﹣2b及3a＞2c＞2b知3a＞﹣3a﹣2b＞2b
∵a＞0，∴3＞﹣3﹣＞2，
即﹣3＜＜﹣．
（2）根据题意有f（0）=0，f（2）=4a+2b+c=（3a+2b+2c）+a﹣c=a﹣c．
下面对c的正负情况进行讨论：
①当c＞0时，∵a＞0，
∴f（0）=c＞0，f（1）=﹣＜0
所以函数f（x）在区间（0，1）内至少有一个零点；
②当c≤0时，∵a＞0，
∴f（1）=﹣＜0，f（2）=a﹣c＞0
所以函数f（x）在区间（1，2）内至少有一个零点；
综合①②得函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点；
（3）．∵x1，x2是函数f（x）的两个零点
∴x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两根．
故x1+x2=﹣，x1x2===
从而|x1﹣x2|===．
∵﹣3＜＜﹣，
∴|x1﹣x2|．
【点评】本题考查了二次函数的性质，对于二次函数要注意数形结合的应用，注意抓住二次函数的开口方向，对称轴，以及判别式的考虑；同时考查了函数的零点与方程根的关系，函数的零点等价于对应方程的根，等价于函数的图象与x轴交点的横坐标，解题时要注意根据题意合理的选择转化．属于中档题．。