2020年高三一轮总复习理科数学课时跟踪检测：2-4二次函数与幂函数 Word版含解析

[课 时 跟 踪 检 测]
[基 础 达 标]
1．函数y ＝x 1
3的图象是( )
解析：由幂函数y ＝x α，若0＜α＜1，在第一象限内过(1,1)，排除A 、D ；又其图象上凸，则排除C ，故选B.
答案：B
2．函数y ＝x 2＋ax ＋6在⎣⎢⎡⎭⎪⎫
52，＋∞上是增函数，则a 的取值范围为( )
A ．(－∞，－5]
B ．(－∞，5]
C ．[－5，＋∞)
D ．[5，＋∞)
解析：∵y ＝x 2＋ax ＋6在⎣⎢⎡⎭⎪⎫
－a 2，＋∞上是增函数，
由题意得－a 2≤5
2. ∴a ≥－5，故选C. 答案：C
3．幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3，3)，则f (x )是( ) A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
解析：设幂函数f (x )＝x α，则f (3)＝3α＝3，解得α＝1
2，则f (x )＝＝x ，
是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．
答案：D
4．已知f (x )＝
，若0＜a ＜b ＜1，则下列各式中正确的是( )
A ．f (a )＜f (b )＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1b
B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1b ＜f (b )＜f (a )
C ．f (a )＜f (b )＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1a
D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＜f (a )＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1b ＜f (b )
解析：因为函数f (x )＝在(0，＋∞)上是增函数，又0＜a ＜b ＜1b ＜1
a ，故选
C.
答案：C
5．设abc ＞0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )
解析：由A 、C 、D 知，f (0)＝c ＜0. ∵abc ＞0，∴ab ＜0，
∴对称轴x ＝－b
2a ＞0，知A 、C 错误，D 符合要求． 由B 知f (0)＝c ＞0， ∴ab ＞0，
∴x ＝－b
2a ＜0，B 错误，故选D. 答案：D
6．若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－254，－4，则m 的取
值范围是( )
A ．[0,4]
B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤
32，4
C.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
32，＋∞ D ．⎣⎢⎡⎦
⎥⎤32，3
解析：二次函数图象的对称轴为x ＝32，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
32＝－254，f (3)＝f (0)＝－4，由
图得m ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
32，3.
答案：D
7．函数f (x )＝ax 2－(a －1)x －3在区间[－1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛
⎦⎥⎤－∞，13 B ．(－∞，0] C.⎝ ⎛
⎦
⎥⎤0，13 D ．⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤0，13
解析：由于函数f (x )＝ax 2－(a －1)x －3在区间[－1，＋∞)上是增函数， 所以实数a 应满足⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＞0，
a －1
2a ≤－1或a ＝0.
由此得0≤a ≤1
3.故选D. 答案：D
8．(2018届安徽皖江名校联考)定义在[－2,2]上的函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2，且f (a 2－a )＞f (2a －2)，则实数a 的取值范围为( )
A ．[－1,2)
B ．[0,2)
C ．[0,1)
D ．[－1,1)
解析：函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2，∴函数在[－2,2]上单调
递增，∴⎩⎨⎧
－2≤a 2－a ≤2，
－2≤2a －2≤2，
2a －2＜a 2－a .
∴⎩⎨⎧
－1≤a ≤2，0≤a ≤2，a ＜1或a ＞2，
∴0≤a ＜1，故选C.
答案：C
9．函数f(x)＝(m2－m－1)x2m－3是幂函数，且在(0，＋∞)上是减函数，则实数m＝()
A．2 B．－1
C．－1或2 D．5
解析：∵f(x)是幂函数，
∴m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，
解得m＝－1或2，
当m＝－1时，f(x)＝x－5，符合题意．
当m＝2时，f(x)＝x，是增函数，舍去，故选B.
答案：B
10．已知幂函数f(x)＝(m∈Z)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，且y＝f(x)的图象关于y轴对称，则f(－2)的值是()
A．16 B．8
C．－16 D．－8
解析：∵f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴－m2＋2m＋3>0，
∴－1<m<3，又∵m∈Z，
∴m＝0,1,2，
当m＝0时，f(x)＝x3，奇函数，不合题意．
当m＝1时，f(x)＝x4，偶函数，
此时f(－2)＝(－2)4＝16，
当m＝2时，f(x)＝x3，舍去，故选A.
答案：A
11．已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a的取值范围是________．
解析：函数f(x)＝x2－2ax－3的图象开口向上，对称轴为直线x＝a，画出草图如图所示．
由图象可知，函数在(－∞，a ]和[a ，＋∞)上都具有单调性，因此要使函数f (x )在区间[1,2]上具有单调性，只需a ≤1或a ≥2，从而a ∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．
答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)
12．已知关于x 的方程x 2－2mx ＋m －3＝0的两个实数根x 1，x 2满足x 1∈(－1,0)，x 2∈(3，＋∞)，则实数m 的取值范围是________．
解析：由题意可知⎩⎨⎧
f (0)＜0，f (3)＜0，
f (－1)＞0，
所以⎩⎨⎧
m －3＜0，
9－6m ＋m －3＜0，
1＋2m ＋m －3＞0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
m ＜3，
m ＞6
5，m ＞23，
所以6
5＜m ＜3. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫
65，3
13．已知f (x )＝
x
x －a
(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围． 解：(1)证明：任设x 1＜x 2＜－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝
x 1x 1＋2－x 2
x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2)
. ∵(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0， ∴f (x 1)＜f (x 2)，
∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增． (2)任设1＜x 1＜x 2，则
f (x 1)－f (x 2)＝
x 1x 1－a －x 2
x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a )
. ∵a ＞0，x 2－x 1＞0， ∴要使f (x 1)－f (x 2)＞0，
只需(x 1－a )(x 2－a )＞0在(1，＋∞)上恒成立，∴a ≤1. 综上所述知a 的取值范围是(0,1]． 14．已知函数f (x )＝a －1
|x |.
(1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；
(2)若f (x )＜2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)证明：当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝a －1
x ，
设0＜x 1＜x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫a －1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2，∵x 1x 2＞0，
x 2－x 1＞0，∴f (x 2)－f (x 1)>0，
所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)由题意a －1
x ＜2x 在(1，＋∞)上恒成立， 设h (x )＝2x ＋1
x ，
则a ＜h (x )在(1，＋∞)上恒成立． 任取x 1，x 2∈(1，＋∞)且x 1＜x 2， h (x 1)－h (x 2)＝(x 1－x 2)⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2－1x 1x 2.
因为1＜x 1＜x 2，所以x 1－x 2＜0，x 1x 2＞1，所以2－1
x 1x 2＞0，
所以h (x 1)＜h (x 2)，
所以h (x )在(1，＋∞)上单调递增． 故a ≤h (1)，即a ≤3，
所以实数a 的取值范围是(－∞，3]．
[能 力 提 升]
1．(2017届杭州模拟)已知x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2－ax ＋a
2＞0恒成立，则实
数a 的取值范围是( )
A ．(0,2)
B ．(2，＋∞)
C ．(0，＋∞)
D ．(0,4)
解析：二次函数图象开口向上，对称轴为x ＝a
2.又x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2－ax ＋a 2＞0恒成立，即f (x )min ＞0.①当a 2≤－1，即a ≤－2时，f (－1)＝1＋a ＋a
2＞0，解得a ＞－23，与a ≤－2矛盾；②当a 2≥1，即a ≥2时，f (1)＝1－a ＋a
2＞0，解得a ＜2，与a ≥2矛盾；③当－1＜a 2＜1，即－2＜a ＜2时，Δ＝(－a )2－4·
a
2＜0，解得0＜a ＜2.综上得实数a 的取值范围是(0,2)．故选A.
答案：A
2．(2017届河北秦皇岛模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且2是f (x )的一个零点，－1是f (x )的一个极小值点，那么不等式f (x )＞0的解集是( )
A ．(－4,2)
B ．(－2,4)
C ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)
D ．(－∞，－2)∪(4，＋∞)
解析：依题意，f (x )是二次函数，其图象是抛物线，开口向上，对称轴为x ＝－1，方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根是2，另一个根是－4，因此f (x )＝a (x ＋4)(x －2)(a ＞0)，于是f (x )＞0，即为(x ＋4)(x －2)＞0，解得x ＞2或x ＜－4.
答案：C
3．(2017届陕西汉中模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝－x 2＋ax －1－a ，若函数f (x )为R 上的单调减函数，则a 的取值范围是( )
A ．[－1，＋∞)
B ．[－1,0]
C ．(－∞，0]
D ．(－∞，－1]
解析：因为函数f (x )是奇函数，所以f (0)＝0.若函数f (x )为R 上的单调减函数，只需⎩⎪⎨⎪⎧
－a －2
＝a 2≤0，－1－a ≤0，
即⎩⎨⎧
a ≤0，
a ≥－1，
即－1≤a ≤0，故选B.
答案：B
4．(2017年山东卷)若函数e x f (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质．下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为________．
①f (x )＝2－x ；②f (x )＝3－x ；③f (x )＝x 3；④f (x )＝x 2＋2.
解析：①e x
f (x )＝e x
·2－x
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫e 2x 在R 上单调递增，故f (x )＝2－x 具有M 性质；②
e x
f (x )＝e x ·3－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
e 3x 在R 上单调递减，故
f (x )＝3－x 不具有M 性质；③e x f (x )＝e x ·x 3，
令g (x )＝e x ·x 3，则g ′(x )＝e x ·x 3＋e x ·3x 2＝x 2e x (x ＋3)，∴当x ＞－3时，g ′(x )＞0，
当x ＜－3时，g ′(x )＜0，∴e x f (x )＝e x ·x 3在(－∞，－3)上单调递减，在[－3，＋∞)上单调递增，故f (x )＝x 3不具有M 性质；④e x f (x )＝e x (x 2＋2)，令g (x )＝e x (x 2＋2)，则g ′(x )＝e x (x 2＋2)＋e x ·2x ＝e x [(x ＋1)2＋1]＞0，∴e x f (x )＝e x (x 2＋2)在R 上单调递增，故f (x )＝x 2＋2具有M 性质．
答案：①④。