高考数学第七章立体几何第二节空间几何体的表面积与体积教案高三全册数学教案

第二节 空间几何体的表面积与体积
1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式
S 圆柱侧＝2πrl S 圆锥侧＝πrl S 圆台侧＝π(r ＋r ′)l
名称
几何体 表面积
体积
柱体(棱柱和圆
柱) S 表面积＝S 侧＋2S 底
V ＝Sh
锥体(棱锥和圆
锥) S 表面积＝S 侧＋S 底
V ＝13
Sh
台体(棱台和圆
台) S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下
V ＝13
(S 上＋S 下＋S 上S 下)h
球
S ＝4πR 2 V ＝43
πR 3
1．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
A ．20π
B ．24π
C ．28π
D ．32π
解析：选C 由三视图知该几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r ，周长为c ，圆锥母线长为l ，圆柱高为h .由
图得r ＝2，c ＝2πr ＝4π，h ＝4，由勾股定理得：l ＝22＋232
＝4，S 表＝πr 2
＋ch ＋1
2
cl ＝4π＋16π＋8π＝28π.
2．(教材习题改编)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．
解析：由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱，其底面为侧视图，该侧视图是底边为2，高为3的三角形，正视图的长为三棱柱的高，故h ＝3，所以该几何体的体积V ＝S ·h ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
2×2×
3×3＝3 3.
答案：33
3．若球O 的表面积为4π，则该球的体积为________． 解析：由题可得，设该球的半径为r ，则其表面积为S ＝4πr 2
＝4π，解得r ＝1.所以其体积为V ＝43πr 3
＝43
π.
答案：4
3
π
1．求组合体的表面积时，组合体的衔接部分的面积问题易出错．
2．由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误．
3．易混侧面积与表面积的概念． [小题纠偏]
1．(教材习题改编)圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱体积之比为________，球的表面积与圆柱的侧面积之比为________．
答案：2∶3 1∶1
2．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是________．
解析：由三视图可知，该几何体由一个正四棱柱和一个棱台组
成，其表面积S＝3×4×2＋2×2×2＋4×22×2＋4×6＋1
2
×(2
＋6)×2×2＝72＋16 2.
答案：72＋162
考点一空间几何体的表面积
基础送分型考点——自主练透
[题组练透]
1.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( )
A．8＋22
B．11＋22
C．14＋22
D．15
解析：选B 由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示．直角梯形
斜腰长为12＋12
＝2，所以底面周长为4＋2，侧面积为2×(4＋2)＝8＋22，两底面的面积和为2×1
2×1×(1＋2)＝3，所以
该几何体的表面积为8＋22＋3＝11＋2 2.
2．(2018·浙江新高考联盟高三期初联考)如图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于( )
A ．34＋6 5
B ．44＋125
C ．34＋6 3
D ．32＋65
解析：选A 由三视图知几何体底面是一个长为6，宽为2的矩形，高为4的四棱锥，所以该几何体的表面积为12×6×25＋
1
2×6×4＋2×1
2
×2×5＋6×2＝34＋65，故选A.
3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则该棱锥的表面积为( )
A ．6＋42＋2 3
B ．8＋42
C ．6＋6 2
D ．6＋22＋43
解析：选A 由三视图可知该棱锥为如图所示的四棱锥P ­ABCD ，S △PAB ＝S △PAD ＝S △PDC ＝1
2
×2×2＝2，S
△PBC ＝1
2×22×2
2×sin 60°＝23，S 四边形ABCD ＝22×2＝42，故该棱锥的表面积为6＋42＋2 3.
[谨记通法]
几何体的表面积的求法
(1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点．
(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得几何体的表面积．注意衔接部分的处理．
考点二 空间几何体的体积重点保分型考点——师生共研
[典例引领]
1．(2018·金华高三期末考试)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.223
B.233
C.423
D.433
解析：选D 由三视图可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其直观图如图所示．底面ABCD 的面积为2×2＝4，高PO ＝3，故该几何体的体积V ＝13×4×3＝43
3
.
2．(2018·宁波十校联考)某几何体的三视图如图所示，则该
几何体的体积等于________，表面积等于________．
解析：如图，由三视图可知该几何体是底面半径为2，高为3的圆柱的一半，故该几何体的体积为12×π×22
×3
＝6π，
表面积为2×12×π×22
＋4×3＋π×2×3＝10π＋12.
答案：6π 12＋10π
[由题悟法]
有关几何体体积的类型及解题策略
常见类型
解题策略
球的体积问题
直接利用球的体积公式求解，在实际问题中要根据题
意作出图形，构造直角三角形确定球的半径 锥体、柱体的体积问题
根据题设条件求出所给几何体的底面积和高，直接套
用公式求解
以三视图为载体的几何体体积问题
将三视图还原为几何体，利用空间几何体的体积公式
求解
不规则几何体的体积问题
常用分割或补形的思想，若几何体的底不规则，也需
采用同样的方法，将不规则的几何体或平面图形转化为规则的几何体或平面图形，易于求解
[即时应用]
1．(2018·杭州高级中学模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A ．1
B.3
2
C.12
D.34
解析：选C 由题可得，该几何体是一个四棱锥，底面是上下底边分别为1和2，高为1的直角梯形，又四棱锥的高为1.所以该几何体的体积为V ＝13×12×(1＋2)×1×1＝1
2
.
2．(2019·台州高三适考)如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为________，几何体中最长棱的长是________．
解析：由三视图可知，该几何体是棱长为2的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中的三棱锥M ­A 1B 1N ，如图所示，M 是棱AB 上靠近点A 的一个三等分点，N 是棱C 1D 1的中点，
所以VM ­A 1B 1N ＝13×12×2×2×2＝4
3.又A 1B 1＝2，A 1N ＝B 1N ＝22＋12＝
5，A 1M ＝
2
2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫232＝2
10
3
，B 1M ＝2
2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫432＝213
3
，MN ＝22＋2
2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫132
＝ 733，所以该几何体中最长棱的长是733. 答案：43
733
3.(2018·温州高三一模)如图，一个简单几何体的三视图的正视图与侧视图都是边长为1的正三角形，其俯视图的轮廓为正方形，则该几何体的体积为
________，表面积为________．
解析：如图，还原三视图为正四棱锥，易得正四棱锥的高为32，底面积为1，体积V ＝13×1×
3
2＝3
6；易得正四棱锥侧面的高为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫322＋⎝ ⎛
⎭
⎪⎫122＝1，所以表面积S ＝4×1
2
×1×1＋1＝3.
答案：3
6
3
考点三 与球有关的切、接问题题点多变型考点——多角探明
[锁定考向]
与球相关的切、接问题是高考命题的热点，也是考生的难点、易失分点，命题角度多变．
常见的命题角度有：
(1)球与柱体的切、接问题； (2)球与锥体的切、接问题．
[题点全练]
角度一：球与柱体的切、接问题
1.如图，已知球O 是棱长为1的正方体
ABCD ­A 1B 1C 1D 1的内切球，则平面ACD 1截球O 的截面
面积为( )
A.66π
B.π3
C.π6
D.33
π
解析：选C 平面ACD 1截球O 的截面为△ACD 1的内切圆．因为正方体的棱长为1，所以AC ＝CD 1＝AD 1＝2，所以内切圆的半径r ＝22×tan 30°＝66
，
所以S ＝πr 2
＝π×16＝1
6
π.
2．(2018·金华一模)一个圆柱的轴截面是正方形，在圆柱内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记球O 的体
积为V 1，圆柱内除了球之外的几何体体积为V 2，则V 1
V 2
的值为
________．
解析：如图，设圆柱的底面半径为r ，则圆柱的高为2r ，球O 的半径为r ，∴球O 的体积V 1＝43πr 3
，圆柱内除
了球之外的几何体体积 V 2＝πr 2
×2r －43πr 3＝23
πr 3
，
∴V 1V 2＝43πr 3
23πr 3
＝2. 答案：2
角度二：球与锥体的切、接问题
3．(2018·绍兴质检)四棱锥P ­ABCD 的底面ABCD 是边长为6的正方形，且PA ＝PB ＝PC ＝PD ，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是( )
A ．6
B ．5 C.92
D.94
解析：选D 过点P 作PH ⊥平面ABCD 于点H .由题知，四棱锥P ­ABCD 是正四棱锥，内切球的球心O 应在四棱锥的高PH 上．过正四棱锥的高作组合体的轴
截面如图，其中PE ，PF 是斜高，M 为球面与侧面的一个切点．设
PH ＝h ，易知Rt △PMO ∽Rt △PHF ，所以OM FH ＝PO PF ，即13＝h －1
h 2＋3
2，解
得h ＝9
4
.
4．(2018·嘉兴一模)如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为( )
A.20π3
B ．8π
C ．9π
D.19π3
解析：选D 如图，该几何体为三棱锥A ­BCD ，设三棱锥外接球的球心为O ，O 1，O 2分别为△BCD ，△ABD
的外心，依题意得，OO 1＝36AB ＝33，O 1D ＝12CD ＝52
，∴球的半径R ＝OO 2
1＋O 1D 2＝ 1912
，∴该几何体外接球的表面积S ＝4πR 2＝19π3
. [通法在握]
解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是：
[演练冲关]
1．一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为( )
A ．20π B.205π3
C ．5π D.55π6 解析：选
D 由题意知六棱柱的底面正六边形的外接圆半径r ＝1，其高h ＝1，∴球半径为R ＝r 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫h 22＝1＋14＝52
，∴该球的体积V ＝43πR 3＝43×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫523π＝55π6
. 2．(2018·镇海期中)一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，若正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体体积的最大值为________．
解析：由题可得，要使正方体可以在纸盒内任意转动，则只需该正方体在正四面体的内接球内即可．因为正四面体的棱长为6，所以其底面正三角形的高为33，正四面体的高为26，则该正四
面体的内球的半径为62
，设该正方体的边长为a ，要满足条件，则3a ≤6，即a ≤ 2.所以正方体的最大体积为V ＝a 3≤2 2. 答案：22
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．(2018·浙江名校联考)“某几何体的三视图完全相同”是“该几何体为球”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 解析：选B 由题可得，球的三个视图都是圆，所以三视图完全相同；三视图完全相同的几何体除了球，还有正方体，所以是必要不充分条件．
2．(2018·长兴中学适应性测试)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A ．64
B ．72
C ．80
D ．112
解析：选C 由题可得，该几何体是一个棱长为4的正方体与一个底面是边长为4的正方形，高为3的四棱锥的组合体，所以其
体积为V ＝43
＋13×42×3＝80.
3．(2019·杭二月考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A ．π＋33
B ．2π＋33
C ．2π＋ 3
D ．π＋3
解析：选A 由三视图知，该几何体的上半部分是一个三棱锥，下半部分是一个圆柱．由题图中的数据知V 圆柱＝π×12
×1＝π，三棱锥垂直于底面的侧面是边长为2的等边三角形，故其高即为三棱锥的高，故三棱锥的高为3，由于三棱锥底面为一等腰直角三角形，且斜边长为2，因此两直角边长都是2，则底面三角形的面积是12×2×2＝1，故V 三棱锥＝13×1×3＝33
，故该几何体的体积为π＋33
. 4．(2018·嘉兴模拟)如图是一个几何体的三视图，若它的体积是33，则a ＝________，该几何体的表面积为________．
解析：由题可得，该几何体是一个水平放置的三棱柱，其底面是一个底边长为2、高为a 的等腰三角形，高为3.因为其体积为
33，所以V ＝12
×2a ×3＝3a ＝33，解得a ＝ 3.所以该几何体的表面积为S ＝2×12
×2×3＋2×3×3＝23＋18. 答案： 3 23＋18
5．(2018·丽水模拟)若三棱锥P ­ABC 的最长的棱PA ＝2，且各面均为直角三角形，则此三棱锥的外接球的体积是________，表面积是________．
解析：如图，根据题意，可把该三棱锥补成长方
体，则该三棱锥的外接球即该长方体的外接球，易
得外接球的半径R ＝12PA ＝1，所以该三棱锥的外接球的体积V ＝43×π×13＝43
π，表面积S ＝4πR 2＝4π. 答案：43
π 4π 二保高考，全练题型做到高考达标
1．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )
A ．7
B ．6
C ．5
D ．3
解析：选A 设圆台较小底面半径为r ，
则另一底面半径为3r .
由S ＝π(r ＋3r )·3＝84π，解得r ＝7.
2．(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )
A ．122π
B ．12π
C ．82π
D ．10π 解析：选B 设圆柱的轴截面的边长为x ，
则x 2＝8，得x ＝22，
∴S 圆柱表＝2S 底＋S 侧＝2×π×(2)2＋2π×2×22
＝12π.故选B.
3．(2018·温州十校联考)已知某个几何
体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，
可得这个几何体的体积是( )
A ．4 B.163
C ．8
D.323 解析：选B 由题可得，该几何体是一个底面为长方形的四棱
锥，所以其体积为V ＝13×4×2×2＝163
. 4．(2018·兰州实战考试)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为( )
A.32
π B.32 C ．3π D ．3
解析：选A 由题意得，该几何体为四棱锥，且该四棱锥的外
接球即为棱长为1的正方体的外接球，其半径为32，故体积为43
π⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫323＝32π，故选A. 5．(2018·宁波十校联考)如图，某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )
A ．2 2
B.10 C ．2 3 D.13
解析：选C 由题可得，该几何体是水平放置的四棱锥，其底面是一个直角梯形．所以其最长的棱的长度为22＋22＋22
＝2 3.
6.(2018·宁波一模)某空间几何体的三视图
如图所示，则该几何体的体积为( )
A.73
B.8－π3
C.83
D.7－π3
解析：选B 由三视图得，该几何体是从四棱锥P ­ABCD 中挖去半个圆锥后剩余的部分，四棱锥的底
面是以2为边长的正方形、高是2，圆锥的底面半径
是1、高是2，则所求的体积V ＝13×2×2×2－12×13
π×12×2＝8－π3
. 7．(2018·衢州调研)已知某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是________；表面积是________．
解析：该几何体是一个三棱锥，其高为2，其底面是一个等腰直角三角形，腰长为2，所以其体积为V ＝13×12×(2)2×2＝23
，表面积为S ＝12×2×2＋12×(2)2＋12×2×2＋12×2×6＝3＋3＋ 2.
答案：23
3＋3＋2 8．(2018·杭州模拟)已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且AB ＝3，BC ＝2，则棱锥O ­ABCD 的体积为________．
解析：依题意得，球心O 在底面ABCD 上的射影是矩形ABCD 的中心，因此棱锥O ­ABCD 的高等于42－⎝ ⎛⎭⎪⎫1232＋222＝512
， 所以棱锥O ­ABCD 的体积等于13×3×2×512
＝51. 答案：51
9．(2019·舟山六校联考)某四面体的三视图如图所示，其中侧视图与俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，正视图是边长为
2的正方形，则此四面体的体积为________．
解析：由三视图可知，该四面体是四面体ABCD ，如图，其中，
BE ⊥底面ACD ，AD ＝DC ＝BE ＝2，则该四面体的体积为13×12×2×2×2＝43
. 答案：43
10．(2018·武汉调研)已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为4，底面边长为22，则该球的表面积为________． 解析：如图，正四棱锥P ­ABCD 的外接球的球心
O 在它的高PO 1上，设球的半径为R ，为底面边长为
22，所以AC ＝4.在Rt △AOO 1中，R 2＝(4－R )2＋22
，
所以R ＝52
，所以球的表面积S ＝4πR 2＝25π. 答案：25π
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．(2018·广西质检)高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积与原直三棱柱的体积的比值为( )
A.34
B.14
C.12
D.38
解析：选C 由侧视图、俯视图知该几何体是高为2、底面积为12×2×(2＋4)＝6的四棱锥，其体积为4.易知直三棱柱的体积为8，则该几何体的体积与原直三棱柱的体积的比值为12，故选C. 2．(2018·温州一模)三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的体积为( )
A ．43π
B ．23π
C ．42π
D ．22π
解析：选A 三棱锥的直观图如图，设H 为三棱
锥P ­ABC 外接球的球心，O 1为△PAC 外接圆的圆心，
O 2为△ABC 外接圆的圆心，取AC 的中点O ，连接PO ，
HO 1，O 2H ，HB ，结合三视图易知OO 1＝13PO ＝12，O 2B ＝12AB ＝12
×32＋222＝112
.∵平面PAC ⊥平面ABC ，HO 2⊥平面ABC ，HO 2⊄平面PAC ，∴HO 2∥平面PAC ，∵PO ⊥平面ABC ，∴OO 1∥HO 2，连接OO 2，易知OO 2∥HO 1，∴四边形HO 1OO 2为平行四边形，∴HO 2＝
OO 1＝12
.在Rt △HO 2B 中，HB ＝HO 22＋O 2B 2＝3，即三棱锥P ­ABC 外接球的半径为3，故所求体积为43
×π×(3)3＝43π. 3．已知A ，B ，C 是球O 的球面上三点，且AB ＝AC ＝3，BC ＝33，D 为该球面上的动点，球心O 到平面ABC 的距离为球半径的
一半，求三棱锥D ­ABC 体积的最大值．
解：如图，在△ABC 中，
∵AB ＝AC ＝3，BC ＝33， ∴由余弦定理可得 cos A ＝32＋32－3322×3×3
＝－12， ∴sin A ＝32
. 设△ABC 外接圆O ′的半径为r ，
则333
2
＝2r ，得r ＝3. 设球的半径为R ，连接OO ′，BO ′，OB ，则R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫R 22＋32，解得R ＝2 3.
由图可知，当点D 到平面ABC 的距离为32
R 时，三棱锥D ­ABC 的体积最大，
∵S △ABC ＝12×3×3×32＝934
， ∴三棱锥D ­ABC 体积的最大值为13×934×33＝274.。