《数学模型》淋雨模型-数学模型淋雨模型

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6、意志坚强的人能把世界放在手中像 泥块一 样任意 揉捏。 2020年 12月12 日星期 六上午 11时13 分8秒1 1:13:08 20.12.1 2
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7、最具挑战性的挑战莫过于提升自我 。。20 20年12 月上午 11时13 分20.1 2.1211: 13Dece mber 12, 2020
情形1、不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以 最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量;
情形2、雨从迎面吹来，雨线与跑步方 向在同一平面内，且与人体的夹角为θ， 如图1.建立总淋雨量与速度v及参数a，b， c，d，u，ω，θ之间的关系，问速度v多 大，总淋雨里最少。计算θ=0，θ=30°的 总淋雨量.
情形3、雨从背面吹来，雨线方向跑步方 向在同一平面内，且与人体的夹角为α， 如图2.建立总淋雨量与速度v及参数a，b， c，d，u，ω，α之间的关系，问速度v多大， 总淋雨量最小。计算α=30°的总淋雨量.
为 d / v ，于是顶部淋雨量为：
②
V1 b c d cos / v
由①②可算得总淋雨量 :
V V1 V2 bc d cos / v a bd u sin v/u v
代入数据求得： V cos 7.5sin 1.875v
1800 v
由V（v)函数可知：总淋雨量（V）与人跑步的速度 （v）以及雨线入相关数据化简得：
V 0.2cos 1.5sin / v 0.375/ 360，v u sin V 0.2cos 1.5sin / v 0.375/ 360，v u sin ⑤
由V（v)函数可知：总淋雨量（V）与人跑步的速度（v）以
及雨线与人的夹角（）两者有关。
（Ⅰ）、 当时，且0°＜ ﹤90°，可得：c cosα＋a sinα>0 对⑤式求导，易知 V <0；所以，总淋雨量（V）随着速度（v） 的增加而减少， 因此， 总淋雨量最小。
模型 建立 求解
情形1建立及求解： 设不考虑雨的方向，降雨淋遍全身，则淋雨面积：
S＝2ab+2ac+bc 雨中奔跑所用时间为：t=d/v 总降雨量 V＝ω×S×d/v
ω＝2cm/h=2×10-2/3600 (m/s) 将相关数据代入模型中，可解得：
S＝2.2（㎡） V＝0.00244446 (cm³)=2.44446 (L)
• 13、无论才能知识多么卓著，如果缺乏热情，则无异 纸上画饼充饥，无补于事。Saturday, December 12, 2020
12-Dec-2020.12.12
• 14、我只是自己不放过自己而已，现在我不会再逼自 己眷恋了。20.12.1211:13:0812 December 202011:13
淋雨量是指人在雨中行走时全身所接收到得 雨的体积，可表示为单位时间单位面积上淋雨的多 少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积。 可得： 淋雨量（V）=降雨量（ω）×人体淋雨面积（S） ×淋浴时间（t） ①
时间（t）=跑步距离（d）÷人跑步速度（v） ②
由①② 得： 淋雨量（V）=ω×S×d/v
模型 假设
（Ⅱ）、当v >u sinα时，且0°＜α﹤90°，对⑤式求导，
解得：
V
1.5sin
（180
0.2cos
v）2
(ⅰ)、当1.5sinα－0.2 cosα<0时，即 ：tanα<2/15,即V`<0； 从而推出，总淋雨量（V）随着速度（v）的增加而减少， 所以，速度v=vm ，总淋雨量最小。 （ⅱ）、当1.5sinα－0.2 cosα>0时，即 ：tanα>2/15,即V`>0； 从而推出，总淋雨量（V）随着速度（v）的增加而增加， 所以，当速度（v）取最小， 即v=u sinα 总淋雨量最小。 当α＝30°，tanα>2/15 ，由模型⑶分析的，当v=u sinα=4×1/2=2（m/s） 总淋雨量最小，且V=0.0002405（m³）=0.2405(L)
情形2建立及求解： 若雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面
内，且与人体的夹角为θ.，则淋雨量只有两部分： 顶部淋雨量和前部淋雨量. （如图1）设雨从迎面吹 来时与人体夹角为. ，且 0°<<90°，建立a，b，c，
d，u，，之间的关系为：
（1）、考虑前部淋雨量：（由图可知）雨速的水
平分量为 u sin 且方向与v相反，故人相对于雨的
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1、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。20.1 2.1220. 12.12Sa turday, December 12, 2020
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2、阅读一切好书如同和过去最杰出的 人谈话 。11:1 3:0811: 13:0811 :1312/ 12/2020 11:13:08 AM
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3、越是没有本领的就越加自命不凡。 20.12.1 211:13: 0811:1 3Dec-20 12-Dec-20
（1）、将人体简化成一个长方体，高a=1.5m（颈部以 下），宽b=0.5m，厚c=0.2m.设跑步距离d=1000m，跑步最 大速度vm=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量ω=2cm/h，记跑步速 度为v；
（2）、假设降雨量到一定时间时，应为定值； （3）、此人在雨中跑步应为直线跑步； （4）、降雨地区是地面是平面且不考虑分的因素； （5）、降雨时，雨在空中是均匀分布的。
可得人背部淋雨量为： V3 a b d u sin v/ u ，v u sin V3 a b d v u sin / u ，v u sin
而总淋雨量：V=V1＋ V3 从而有：
V b c d cos / v a b d (u sin v) / u ，v u sin
情形3建立及求解： 若雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且 与人体的夹角为α则淋雨量只有两部分：顶部淋雨量和后 部淋雨量.设雨从背部吹来时与人体夹角为， 且0°＜
﹤90°,建立a，b，c，d，u，，之间的关系为：
（1）、先考虑顶部淋雨量：当雨从背面吹来，而对于人 顶部的淋雨量 V1 ，它与模型①中一样，雨速在垂直方向 只有向下的分量，同理可得：
淋雨量模型
问题 提出
要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常
数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快 淋雨量越少。
问题 分析
将人体简化成一个长方体，高a=1.5m（颈部以 下），宽b=0.5m，厚c=0.2m，设跑步的距离 d=1000m，跑步的最大速度vm=5m/s，雨速u=4m/s， 降雨量ω=2cm/h，及跑步速度为v，
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8、业余生活要有意义，不要越轨。20 20年12 月12日 星期六 11时13 分8秒1 1:13:08 12 December 2020
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9、一个人即使已登上顶峰，也仍要自 强不息 。上午 11时13 分8秒 上午11 时13分1 1:13:08 20.12.1 2
• 10、你要做多大的事情，就该承受多大的压力。12/12/
2020 11:13:08 AM11:13:082020/12/12
• 11、自己要先看得起自己，别人才会看得起你。12/12/
谢 谢 大 家 2020 11:13 AM12/12/2020 11:13 AM20.12.1220.12.12
• 12、这一秒不放弃，下一秒就会有希望。12-Dec-2012 December 202020.12.12
对函数V（v）求导，得：
V
cos 7.5sin
1800 v2
显然：V<0， 所以V为v的减函数，V随v增大而减小。 因此，速度v=vm=5m/s ，总淋雨量最小。
（Ⅰ）当θ=0，代入数据，解得： V＝0.0011527778（m³）≈1.153（L）
（Ⅱ）当θ=30°，代入数据，解得： V＝0.0014025(m³)≈1.403（L）
V1 b c cos d / v b c d cos/v
（2）、后部淋雨量：人相对于雨的水平速度为：
u sin v，v u sin v u sin ，v u sin
从而可得，人背部单位时间单位面积淋雨量为：
u sin v/ u ，v u sin v u sin / u ，v u sin
模型 解释
（1）在该模型中考虑到雨的方向问题，这个模型跟模型 二相似，将模型二与模型三综合起来跟实际的生活就差不 多很相似了 。 由这三个模型可以得出在一定的速度下人 跑的越快淋雨量就越少。 （2）若雨迎面吹来时，跑得越快越好 （ 3）若雨从背面吹来时，分为两种情况：
当tanα>c/a时，跑步速度v=u sinα时V最小； 当tanα<c/a时，跑得越快越好。
水平速度为：u sin v
则前部单位时间单位面积淋雨量为：
（ u sin v）/ u
又因为前部的淋雨面积为：a b ，时间为： d/v 于是前部淋雨量V2为 ：
V2 a b u sin v/ ud / v
即：
V2 a b d u sin v/u v ①
（2）、考虑顶部淋雨量：（由图可知）雨速在垂直方 向只有向下的分量， 且与v无关，所以顶部单位时间单位 面积淋雨量为 cos ，顶部面积为 b c，淋雨时间
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4、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的 错儿。 11:13:0 811:13: 0811:1 3Saturday, December 12, 2020
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5、知人者智，自知者明。胜人者有力 ，自胜 者强。 20.12.1 220.12. 1211:1 3:0811: 13:08D ecembe r 12, 2020
V b c d cos / v a b d (v u sin ) / u ，v u sin ③
化简③式得：
V b d c cos a sin / v a / u，v u sin V b d c cos a sin / v a / u，v u sin