6B样条曲线3-CAD

第十三讲
第6章B样条曲线与曲面
张汉茹
航宇学院
本章内容提要
6.1 均匀B样条曲线
6.1.1 均匀B样条曲线的定义
6.1.2 均匀B样条曲线的几何性质6.2 双三次B样条曲面
3
16个顶点的位置矢量排成
一个4×4阶方阵，形成“顶点信息方阵”：
⎛⎫
⎪
⎪ ⎪
⎪
⎝⎭
00010203101112
032021222330
313233P P P P P P P P P =P P P P P P P P 方阵中的每一行元素作顶点连成特征多边形，相应地定义四条以u 为1. B 样条曲面的定义
P 00
P 30
P 20
P 10P 01
P 03P P 13
P 23
P 33
P 12P 22
P 32P 11
P 21P 31
u
v
6.2 双三次B 样条曲面
4
3
0i,4i,0
i=0
(u)=N (u)P ∑r 3
1i,4i,1
i=0
(u)=N (u)P ∑r 3
2i,4i,2
i=0
(u)=N (u)P ∑r 3
3i,4i,3
i=0
(u)=N (u)P ∑r ()()000102031011120301230,41,42,43,4202122
23P P P P P P P P (u)(u)(u)(u)=N (u)N (u)N (u)N (u)P P P P P P P P ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
r r r r P 00
P 30
P 20
P 10
P 01
P 03P P 13
P 23
P 33
P 12
P 22
P 32P 11
P 21
P 31
r 0(u)r 1(u)r 3(u)
r 2(u)
u
v
5
P 00
P 30
P 20
P 10P 01
P 03P P 13
P 23
P 33P 12
P 22P 32P 11
P 21
P 31
r 0(u*)
r 1(u*)
r 3(u*)
r 2(u*)
u
v
构成一条v 为参数三次B 样条曲线:
3
*j j,4S(v)=(u )N (v)
(0v 1)
≤≤∑r
6
P 00
P 30
P 20
P 10
P 01
P 03P P 13
P 23
P 33P 12
P 22P 32P 11
P 21
P 31
r 0(u*)
r 1(u*)
r 3(u*)
r 2(u*)
u
v
构造以u,v 为参数的三次B 样条曲面:
3
j j,4(u,v)=(u)N (v)
(0,1)
u v ≤≤∑r r
()0,431,4j j,40123j=0
2,43,4N (v)N (v)(u,v)=P (u)N (v)=P (u)P (u)P (u)P (u)N (v)N (v)0u,v 1
⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭≤≤∑r ()000102
0310*******,41,42,43,42021222330
31
3230,41,42,43,43P P P P P P P P N (u)N (u)N (u)N N (v)N (v)(u,v)=N (v)N (v)0u (u)P P P P P P P P ,v 1⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
≤≤r ()()000102031011120301230,41,42,43,4202122
2330
31
32
33P P P P P P P P (u)(u)(u)(u)=N (u)N (u)N (u)N (u)P P P P P P P P ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
r r r r
()()0,41,42,43,4
2
3141
0-30301=1u u u ,u [0,1]3-6306-13-3N (u)N (u)N 1(u)N (u)⎛⎫
⎪ ⎪
∈ ⎪
⎪⎝⎭
0,41,422,433,4N (v)1-33-11N (v)40-63v 1=N (v)133-3v 6N (v)0001v 0v 1
⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
≤≤()0001020310111203202122
2330
31
32
3232
33P P P P P P P P P P P P P 14101-33-11-303040-63v 11(u,v)=1u u
u 3-630133-3v 66-13-3
10001v 0u,v P 1
P P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪
⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
≤⎝⎭≤r
≤≤r 0u,v 1
T T
B B (u,v)V
=U P ()
2
31u u u 16⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭
141
0-30303-630-13-31⎛⎫
⎪
⎪ ⎪
⎪
⎝⎭
00010203101112032021222330313233P P P P P
P P P P P P P P P P P 16⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1-33-140-63133-3
0001231v v v ⎛⎫
⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
(u,v)=
r B
P
B T V
T
与Bézier曲面一样P
是对曲面r(u,v)的大致形状的勾
i,j
画,r(u,v)是对P
的逼近。

B样条曲面也具有局部调整性、
i,j
凸包性、几何不变性等，它的控制网格也是人机交互
的手段，也可以通过deBoor算法对其进行计算，这些
都与B样条曲线的情况类似。

B样条曲面与B样条曲线具有相同的性质。

双三次B 样条曲面片四个角点不在特征网格的角点上。

如果将网格向外扩展，曲面也相应延伸，而且由于三次B样条基函数是二阶连续的，所以双三次B样条曲面也达到二阶连续。

双三次B样条曲面片
三次B样条曲面
2. B样条曲面构造示例
例１：给定7×7=49个点构成一凸特征多边形，其中相邻3点共线且中间点在中点处，生成一片B样条曲面。

49个给定点的坐标如下：
(100,270),(102,225),(105,180),(107,170),(110,160),(132,130),(155,100), (140,235),(141,195),(147,155),(151,145),(155,135),(176,110),(197,85), (180,200),(185,165),(190,130),(195,120),(200,110),(220,90),(240,70), (245,200),(250,165),(255,130),(260,120),(265,110),(285,90),(305,70), (310,200),(315,165),(320,130),(325,120),(330,110),(350,90),(370,70), (365,235),(370,195),(375,155),(380,145),(385,135),(407,115),(430,95), (420,270),(425,225),(430,180),(435,170),(440,160),(465,140),(490,120)
三次B样条曲面绘制演示4
例２：给定7×7=49个点构成一凸特征多边形，其中边界上相邻3点相重，生成一片B样条曲面。

49个给定点的坐标如下：
(100,270),(100,270),(100,270),(107,170),(155,100),(155,100),(155,100), (100,270),(141,195),(147,155),(151,145),(155,135),(176,110),(155,100), (100,270),(185,165),(190,130),(195,120),(200,110),(220,90),(155,100), (245,200),(250,165),(255,130),(260,120),(265,110),(285,90),(305,70), (420,270),(315,165),(320,130),(325,120),(330,110),(350,90),(490,120), (420,270),(370,195),(375,155),(380,145),(385,135),(407,115),(490,120), (420,270),(420,270),(420,270),(435,170),(490,120),(490,120),(490,120)
三次B样条曲面绘制演示6
例３：给定7×7=49个点构成一凸特征多边形，其中边界顶点处相邻9点相重，生成一片B样条曲面。

49个给定点的坐标如下：
(100,270),(100,270),(100,270), (107,170),(155,100),(155,100),(155,100), (100,270),(100,270),(100,270),(151,145),(155,100),(155,100),(155,100), (100,270),(100,270),(100,270),(195,120),(155,100),(155,100),(155,100), (245,200),(250,165),(255,130),(260,120),(265,110),(285,90),(305,70), (420,270),(420,270),(420,270),(325,120),(490,120),(490,120),(490,120), (420,270),(420,270),(420,270),(380,145),(490,120),(490,120),(490,120), (420,270),(420,270),(420,270),(435,170),(490,120),(490,120),(490,120)。

三次B样条曲面绘制演示7
注意:
尽管有时使用“重顶点”和“重节点”技巧都可以达到相近的实际效果，但在概念上不应混淆。

重顶点技巧是为了加强某些顶点对所生成的曲线形态的影响；而重节点技巧则用来控制B样条基以达到控制整条曲线在结点处的连续性的目的。