【新编】【三维设计】湖南省农业大学附中年高考数学一轮复习 不等式单元训练 新人教A版

湖南农业大学附中三维设计2014年高考数学一轮复习单元训练：不
等式
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知点P (x ，y)的坐标满足⎪⎩
⎪⎨⎧≥+-≤-00230 y y x y x ，则(x －1)2＋y 2的取值范围是( )
A ．[21，9)
B ．[21，9]
C ．[1，9)
D ．[2
1，3) 【答案】A
2．设22,31,21,x R a x x b x x ∈=-+=+-且则a 与b 的大小关系为( )
A ．a b >
B ．a b =
C ．a b <
D ．不确定，与x 取值有关
【答案】A
3．不等式（x ＋5）（3－2x ）≥6的解集是( )
A ．{x | x ≤－1或x ≥
29} B ．{x |－1≤x ≤29} C ．{x | x ≤－29或x ≥1} D ．{x |－2
9≤x ≤1} 【答案】D
4．已知a 、b 、c 满足c b a
<<，且a c <0，下列选项中不一定成立的是( ) A ．a b a c
> B ． 0)(>-a b c C ． c b a b 22< D ． 0)(<-c a ac 【答案】C
5．以圆222210x y x y +---=内横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点的三角形的个数为
( )
A ．76
B ．78
C ．81
D ．84 【答案】A
6．如果01a <<，那么下列不等式中正确的是( )
A ．1132(1)(1)a a ->-
B ．(1)log (1)0a a -+>
C ．32(1)(1)a a ->+
D ．1(1)1a a +->
【答案】A
7．若,0<<b a 下列不等式成立的是( )
A ．22b a <
B ．ab a <2
C ．1<a b
D ．b
a 11< 【答案】C
8．若不等式
04)2(2)2(2<--+-x a x a ,对一切x R ∈恒成立,则a 的取值范围是( ) A ． ]2,(-∞
B ．(-2 ,2]
C ．(-2,2)
D ．()2,-∞-
【答案】B 9．满足线性约束条件23,23,0,
0,
x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩的目标函数z x y =+的最大值是( )
A ． 1
B ． 32
C ．2
D ． 3 【答案】C
10．若a>b ，则下列不等式中恒成立的是( )
A ． b a >1
B ． a 1>b 1
C ． a 2>b 2
D ． a 3>b 3
【答案】D
11．若A 是不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩
表示的平面区域，则当实数a 从－2连续变化到1时，动直
线x y a += 扫过A 中的那部分面积为( )
A ．34
B ．1
C ．74
D ．5
【答案】C
12．已知函数()y f x =与()y g x =的图像如图所示，则不等式()0()
f x
g x > 的解集是
( )
A ．[5,25]
B ．(5,25]-
C ．(15,5)
(5,25]--
D ．(15,5][5,25]-- 【答案】C
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．不等式1213
x x -≤+的解集是________________. 【答案】()2,3,3⎡⎫-∞-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭
14．已知x 和y 是实数，且满足约束条件y x z x y x y x 32,72210+=⎪⎩
⎪⎨⎧≥≤-≤+则的最小值是 【答案】2
23 15．已知实数y x ,满足⎪⎩
⎪⎨⎧≤+-≤+≥-2211y x y x x y ，若y x z -=3在()y x ,处取得最小值，则此时
()=y x ,____________。

【答案】（－1，0）
16．已知实数x ，y 满足⎪⎩
⎪⎨⎧≤--≥-≥+3213y x y x y x ，则x y z 1+=的最小值是 【答案】1
三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．已知函数f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d(a 、b 、c 、d ∈R)，且函数f(x)的图象关于原点对称，
其图象x ＝3处的切线方程为8x －y －18＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)是否存在区间[],a b ，使得函数f(x)的定义域和值域均为[],a b ？若存在，求出这样的一个区间[],a b ；若不存在，则说明理由；
(3)若数列｛a n ｝满足：a 1≥1，a n+1≥/(1)n f a +，试比较11＋a 1 ＋11＋a 2 ＋11＋a 3 ＋…＋11＋a n 与1的大小关系，并说明理由.
【答案】 (1)∵f(x)的图像关于原点对称，
∴f(－x)＋f(x)＝0恒成立， 即2bx 2＋2d ≡0，∴b ＝d ＝0
又f(x)的图像在x ＝3处的切线方程为8x －y －18＝0，即 y －6＝8(x －3)，
∴f '(3)＝8，且f(3)＝6, 而f(x)＝ax 3＋cx ，∴f '(x)＝3ax 2＋c
/(3)278(3)2736f a c f a c ⎧=+=⎨=+=⎩
解得 131
a c ⎧
=⎪⎨⎪=-⎩ 故所求的解析式为f(x)＝13 x 3－x
(2)解313
y x x y x
⎧
=-⎪⎨⎪=⎩ ，得x ＝0或x ＝± 6
又f '(x)＝x 2－1，由f '(x)＝0得x ＝±1，
且当x ∈[－ 6 ，－1]或x ∈[1， 6 ]时，f '(x)>0；
当x ∈[－1，1]时 f '(x)< 0
∴f(x)在[－ 6 ，－1]和[1， 6 ]上分别递增；在[—1,1]递减.
∴f(x)在[－ 6 ， 6 ]上的极大值和极小值分别为f(－1)＝ 23 ，f(1)＝－23 而－ 6 <－23 < 23 < 6
故存在这样的区间[],m n ，其中一个区间为[－ 6 ， 6 ]
(3)由(2)知f ' (x)＝x 2－1，∴a n+1≥(a n ＋1)2
－1
而函数y ＝(x ＋1)2—1＝x 2＋2x 在[1,+∞)单调递增，
∴由a l ≥1，可知，a 2≥(a l ＋1)2—1＝22—l ；进而可得a 3≥(a 2＋1)2—1≥23
—1；
由此猜想a n ≥2n
—1.
下面用数学归纳法证明：
①当n ＝1时，a l ≥1＝21
－1，结论成立
②假设n ＝k 时有a k ≥2k
－1，
则当n ＝k ＋1时，
由f(x)＝x 2＋2x 在[1,+∞)上递增可知，
a k+1≥(a k ＋1)2－1≥(a k －1＋1)2－1＝2k+1
－1，
即n=k+1时结论成立
∴对任意的n ∈N +都有a n ≥2n —1，即1+a n ≥2n
， ∴1
1＋a n ≤1
2n
∴1
1＋a 1 ＋11＋a 2 ＋1
1＋a 3 ＋…＋11＋a n ≤12 ＋122 ＋123 ＋…＋1
2n
＝12(1－1
2n
)
1－12
＝1－（12 ）n
<l
故 11＋a 1 ＋11＋a 2 ＋11＋a 3 ＋…＋1
1＋a n
<l
18．解关于x 的不等式04)1(22>++-x a ax
【答案】当0=a 时，原不等式化为2<x ；
当0≠a 时，原不等式化为0)2)(2(>--x ax ①
解得：a x 21=
，22=x ， 当22=a
，即1=a 时，不等式①的解为2≠x ， 当22>a 时，即10<<a 时，不等式①的解为2<x 或a
x 2>； 当22<a 时，即1>a 时，不等式①的解为a
x 2<或2>x ； 当0<a 时，不等式①的解为22<<x a
； 综上可得：当0<a 时，解集为}22|{<<x a
x ；当0=a 时，解集为}2|{<x x ； 当10<<a 时，解集为2|{<x x 或}2a
x >；当1=a 时，解集为}2|{≠x x ；当1>a 时，解集为a
x x 2|{<或}2>x ； 19．如下图，互相垂直的两条公路AP 、AQ 旁有一矩形花园ABCD ，现欲将其扩建成一
个更大的三角形花园AMN ，要求点M 在射线AP 上，点N 在射线AQ 上，且直线MN 过点C ，其中36AB =米，20=AD 米. 记三角形花园AMN 的面积为S .
(Ⅰ）问：DN 取何值时，S 取得最小值，并求出最小值；
(Ⅱ）若S 不超过1764平方米，求DN 长的取值范围.
【答案】（1）设DN x =米（0x >），则20AN x =+. 因为DN AN DC AM =,所以2036x x AM +=，即36(20)x AM x
+=. 所以2
118(20)2x S AM AN x
+=⨯⨯= 40018(40)1440x x
=++≥，当且仅当20x =时取等号. 所以，S 的最小值等于1440平方米.
(2）由2
18(20)1764x S x
+=≤得2584000x x -+≤. 解得850x ≤≤.
所以，DN 长的取值范围是[8, 50].
20．已知集合A ＝{y|y 2－(a 2＋a ＋1)y ＋a(a 2＋1)＞0}，B ＝{y|y ＝12x 2－x ＋52
，0≤x ≤3}． (1)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围；
(2)当a 取使不等式x 2＋1≥ax 恒成立的最小值时，求(∁RA)∩B.
【答案】A ＝{y|y ＜a 或y ＞a 2＋1}，B ＝{y|2≤y ≤4}．
(1)当A ∩B ＝∅时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋1≥4a ≤2， 所以a ≤－3或3≤a ≤2.
(2)由x 2＋1≥ax ，得x 2－ax ＋1≥0，
依题意知，Δ＝a 2－4≤0，则－2≤a ≤2，
即a 的最小值为－2.
当a ＝－2时，A ＝{y|y ＜－2或y ＞5}，
所以∁RA ＝{y|－2≤y ≤5}，
故(∁RA)∩B ＝{y|2≤y ≤4}．
21．已知b a ,为实数，证明：2332244)())((b a b a b a +≥++．
【答案】∵ b a ,为实数，∴ 0)(,0222≥-≥b a b a ．
∴ 左边－右边＝)2()(6336642246b b a a b b a b a a ++-+++
0)()2(2222222≥-=+-=b a b a b ab a b a ．
∴ 2332244)())((b a b a b a +≥++得证．
法二：根据柯西不等式，有2332222244)()())((b a b b a a b a b a +=⋅+⋅≥++． ∴ 2332244)())((b a b a b a +≥++得证．
22．解关于x 的不等式22(1)40ax a x -++>
【答案】原不等式等价与：0)2)(2(>--x ax
当0=a 时，2<x ；
当0<a 时，0)2)(2(<--x a x ，由202<<a 知，2
2<<x a ；
当0>a 时，0)2)(2(>--x a x ，考虑a a
a -=-12
22
当10<<a 时，22
>a ，故2<x 或a x 2
>；
当1=a 时，2
2
=a ，故2≠x ；
当1>a 时，22<a ，故
a x 2<或2>x 综上所述：当0<a 时，该不等式的解集为)
2,2(a ； 当0=a 时，该不等式的解集为)2,(-∞
当10<<a 时，该不等式的解集为)
,2()2,(+∞⋃-∞a ； 当1≥a 时，该不等式的解集为),2()2,(+∞⋃-∞a。