新高三数学下期中第一次模拟试题含答案

新高三数学下期中第一次模拟试题含答案
一、选择题
1．下列结论正确的是（ ） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若22a b >，则a b > C ．若,0a b c ><，则a c b c +<+
D ．若a b <
，则a b <
2．已知数列{}n a 的前n 项和2
n S n =，()1n
n n b a =-则数列{}n b 的前n 项和n T 满足
（ ） A ．()1n
n T n =-⨯ B ．n T n = C ．n T n =-
D ．,2,.n n n T n n ⎧=⎨
-⎩
为偶数，
为奇数
3．在ABC ∆中,,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边,若 2?a bcos C =,则此三角形一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰三角形或直角
三角形
4．设,x y 满足约束条件330
280440x y x y x y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪+-≥⎩
，则3z x y =+的最大值是（ ）
A ．9
B ．8
C ．3
D ．4
5．在等差数列 {}n a 中， n S 表示 {}n a 的前 n 项和，若 363a a += ，则 8S 的值为（ ）
A ．3
B ．8
C ．12
D ．24
6．已知变量x , y 满足约束条件13230x x y x y ≥⎧⎪
+≤⎨⎪--≤⎩
，则2z x y =+的最小值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．6
7．两个等差数列{}n a 和{}n b ，其前n 项和分别为n S ，n T ，且
723
n n S n T n +=+，则220
715
a a
b b +=+（ ）
A ．
49
B ．
378
C ．
7914
D ．
149
24
8．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ）
A ．一尺五寸
B ．二尺五寸
C ．三尺五寸
D ．四尺五寸
9
)63a -≤≤的最大值为（ ）
A ．9
B ．
92
C ．
3 D 10．20
,{0,0x y z x y x y x y y k
+≥=+-≤≤≤设其中实数、满足若z 的最大值为6，z 的最小值为（ ）
A ．0
B ．-1
C ．-2
D ．-3
11．已知4
2
1
3332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<
D ．c a b <<
12．已知正数x 、y 满足1x y +=，则14
1x y
++的最小值为（ ）
A ．2
B ．
92
C ．
143
D ．5
二、填空题
13．已知x y ，满足20030x y y x y -≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩
，，，，则22
2x y y ++的取值范围是__________.
14．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,
,a b c ，已知
)cos cos ,60a C c A b B -==︒，则A 的大小为__________．
15．已知等比数列{}n a 满足232,1a a ==，则
12231lim ()n n n a a a a a a +→+∞
+++=L ________________.
16．设122012(1)(1)(1)n n
n x x x a a x a x a x ++++++=++++L L ，其中n *∈N ，且
2n ≥，若0121022n a a a a ++++=L ，则n =_____
17．正项等比数列{}n a 满足2418-=a a ，6290-=a a ，则{}n a 前5项和为________. 18．已知在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2a b c +=，则C ∠的取值范围为________
19．我国古代数学名著《九章算术》里有问题：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：__________日相逢？
20．已知实数,x y 满足240{220330x y x y x y -+≥+-≥--≤，
，，
则22
x y +的取值范围是 .
三、解答题
21．等差数列{}n a 中，71994,2a a a ==. (1)求{}n a 的通项公式； (2)设1
n n
b na =
，求数列{}n b 的前n 项和n S . 22．设}{
n a 是等差数列，公差为d ，前n 项和为n S . （1）设140a =，638a =，求n S 的最大值.
（2）设11a =，*2()n
a n
b n N =∈，数列}{
n b 的前n 项和为n T ，且对任意的*n N ∈，都有
20n T ≤，求d 的取值范围.
23．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：2(1)n n S na n n =--，等比数列{}n b 的前n 项和为
n T ，公比为1a ，且5352T T b =+．
（1）求数列{}n a 的通项公式;
（2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n M ，求证：11
54n M ≤<．
24．已知数列{n a }的前n 项和1
*1()
2()2
n n n S a n N -=--+∈，数列{n b }满足n b =2n n a ．
(I)求证数列{n b }是等差数列，并求数列{n a }的通项公式； (Ⅱ)设2log n n n c a =，数列{
22n n c c +}的前n 项和为T n ，求满足*25
()21
n T n N <∈的n 的最大值.
25．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且211a =，7161S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若1
1
n n n b a a +=
，求数列{}n b 的前n 项和n T . 26．数列{}n a 对任意*n ∈N ，满足131,2n n a a a +=+=. （1）求数列{}n a 通项公式；
（2）若13n
a n
b n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求{}n b 的通项公式及前n 项和.
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一、选择题
1．D 解析：D 【解析】
选项A 中，当c=0时不符，所以A 错．选项B 中，当2,1a b =-=-时，符合22a b >，不满足a b >，B 错．选项C 中, a c b c +>+,所以C 错．选项D
中，因为0≤
<
，由不等式的平方法则，
2
2
<，即a b <．选D.
2．A
解析：A 【解析】 【分析】
先根据2
n S n =,求出数列{}n a 的通项公式,然后利用错位相减法求出{}n b 的前n 项和n T .
【详解】
解:∵2
n S n =,∴当1n =时,111a S ==;
当2n ≥时,()2
21121n n n a S S n n n -=-=--=-, 又当1n =时,11a =符合上式,∴21n a n =-, ∴()()
()1121n
n
n n b a n =-=--,
∴()()()()
()12
3
113151121n
n T n =⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+--①,
∴()()()()
()2
3
4
1
113151121n n T n +-=⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+--②,
①-②,得()()()()()()2341
2121111211n n n T n +⎡⎤=-+⨯-+-+-+⋅⋅⋅+---⨯-⎣
⎦
()
()()
()()()
2
11111122112111n n n n n -+⎡⎤---⎣⎦=-+⨯
--⨯-=---,
∴()1n
n T n =-,
∴数列{}n b 的前n 项和()1n
n T n =-.
故选:A . 【点睛】
本题考查了根据数列的前n 项和求通项公式和错位相减法求数列的前n 项和,考查了计算能力,属中档题.
3．C
解析：C 【解析】
在ABC ∆中，222222
cos ,2cos 222a b c a b c C a b C b ab ab
Q +-+-=∴==⋅
，
2222a a b c ∴=+-，,b c ∴=∴此三角形一定是等腰三角形，故选C.
【方法点睛】本题主要考查利用余弦定理判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.
4．A
解析：A 【解析】
绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标还是在点
()3,2C 处取得最大值，其最大值为max 33329z x y =+=+⨯=.
本题选择A 选项.
5．C
解析：C 【解析】 【分析】
由题意可知，利用等差数列的性质，得18363a a a a +=+=，在利用等差数列的前n 项和公式，即可求解，得到答案。

【详解】
由题意可知，数列{}n a 为等差数列，所以18363a a a a +=+=， ∴由等差数列的求和公式可得1888()83
1222
a a S +⨯=== ，故选C 。

【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质，及前n 项和公式的应用，其中解答中数列等差数列的性质和等差数列的前n 项和公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。

6．A
解析：A 【解析】 【分析】
画出可行域，平移基准直线20x y +=到可行域边界的点()1,1C -处，由此求得z 的最小值. 【详解】
画出可行域如下图所示，平移基准直线20x y +=到可行域边界的点()1,1C -处，此时z 取得最小值为()2111⨯+-=. 故选：A.
【点睛】
本小题主要考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
7．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据等差数列的性质前n 项和的性质进行求解即可. 【详解】
因为等差数列{}n a 和{}n b ,所以
2201111
7151111
22a a a a b b b b +==+,又211121S a =,211121T b =,
故令21n =有2121721214921324
S T ⨯+==+,即1111211492124a b =,所以1111149
24a b = 故选：D. 【点睛】
本题主要考查等差数列的等和性质：
若{}n a 是等差数列,且(,,,*)m n p q m n p q N +=+∈,则m n p q a a a a +=+ 与等差数列{}n a 前n 项和n S 的性质*
21(21),()n n S n a n N -=-∈
8．B
解析：B 【解析】 【分析】
从冬至日起各节气日影长设为{}n a ，可得{}n a 为等差数列，根据已知结合前n 项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解. 【详解】
由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，
n S 是其前n 项和，则()19959985.52
a a S a +=
==尺，
所以59.5a =尺，由题知1474331.5a a a a ++==， 所以410.5a =，所以公差541d a a =-=-， 所以1257 2.5a a d =+=尺。

故选:B . 【点睛】
本题考查等差数列应用问题，考查等差数列的前n 项和与通项公式的基本量运算，属于中档题.
9．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据369a a -++=是常数，可利用用均值不等式来求最大值. 【详解】 因为63a -≤≤， 所以30,60a a ->+> 由均值不等式可得：
369
(3)(6)22
a a a a -++-+≤
= 当且仅当36a a -=+，即3
2
a =-时，等号成立， 故选B. 【点睛】
本题主要考查了均值不等式，属于中档题.
10．D
解析：D 【解析】
作出不等式对应的平面区域， 由z=x+y,得y=−x+z,
平移直线y=−x+z ，由图象可知当直线y=−x+z 经过点A 时，直线y=−x+z 的截距最大， 此时z 最大为6.即x+y=6.经过点B 时，直线y=−x+z 的截距最小，此时z 最小． 由6
{
x y x y +=-=得A(3,3)，
∵直线y=k 过A ， ∴k=3. 由3{
20
y k x y ==+=,解得B(−6,3).
此时z 的最小值为z=−6+3=−3， 本题选择D 选项.
点睛：求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：
b z
y x a b =-
+，通过求直线的截距z b
的最值间接求出z 的最值．最优解在顶点或边界取得．
11．A
解析：A 【解析】
【分析】 【详解】
因为4
2
2
2
33332=4,3,5a b c ===，且幂函数2
3y x =在(0,)+∞ 上单调递增，所以b <a <c . 故选A.
点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.
12．B
解析：B 【解析】 【分析】
由1x y +=得(1)2x y ++=，再将代数式(1)x y ++与141x y
++相乘，利用基本不等式可求出
141x y
++的最小值． 【详解】
1x y +=Q ，所以，(1)2x y ++=，
则1414412()[(1)]()559111x y x y x y x y y x ++
=+++=++=+++…， 所以，
149
12
x y ++…， 当且仅当4111
x y y x x y +⎧=⎪+⎨⎪+=⎩，即当23
13x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
时，等号成立，
因此，
141x y ++的最小值为92
， 故选B ． 【点睛】
本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行合理配凑，是解决本题的关键，属于中等题．
二、填空题
13．；【解析】【分析】利用表示的几何意义画出不等式组表示的平面区域求出点到点的距离的最值即可求解的取值范围【详解】表示点到点的距离则三角
形为等腰三角形则点到点的距离的最小值为：1最大值为所以的最小值为：
解析：[]0,9； 【解析】 【分析】 利用
()()
22
01x y -++表示的几何意义，画出不等式组表示的平面区域，求出点
(0,1)A -到点(,)x y 的距离的最值，即可求解222x y y ++的取值范围.
【详解】
()()22
222011x y y x y ++=-++-
()()
22
01x y -++表示点(0,1)A -到点(,)x y 的距离
1AO =，1910,9110AD AC =+==+=ACD 为等腰三角形
则点(0,1)A -到点(,)x y 的距离的最小值为：110 所以2
2
2x y y ++的最小值为：2110-=，最大值为：101=9-
故2
2
2x y y ++的取值范围为[]09，
故答案为：[]09，
【点睛】
本题主要考查了求平方和型目标函数的最值，属于中档题.
14．【解析】由根据正弦定理得即又因为所以故答案为 解析：75︒
【解析】
)3acosC ccosA b -=)3sinAcosC sinCcosA sinB -=，即
()3
3A C -=
， ()1sin ,?3026
A C A C π
-=-==︒，
又因为180B 120A C +=︒-=︒，
所以2150,A 75A =︒=︒， 故答案为75︒．
15．【解析】【分析】求出数列的公比并得出等比数列的公比与首项然后利用等比数列求和公式求出即可计算出所求极限值【详解】由已知所以数列是首项为公比为的等比数列故答案为【点睛】本题考查等比数列基本量的计算同时 解析：
323
【解析】 【分析】
求出数列{}n a 的公比，并得出等比数列{}1n n a a +的公比与首项，然后利用等比数列求和公式求出12231n n a a a a a a ++++L ，即可计算出所求极限值. 【详解】 由已知321
2a q a =
=，23112()()22
n n n a --=⨯=，3225211111
()()()2()2224
n n n n n n a a ----+=⋅==⋅，所以数列{}1n n a a +是首项为128a a =，公
比为1
'4
q =
的等比数列， 11223118[(1()]
3214[1()]13414n n n n a a a a a a -+-+++==--L ，
1223132132
lim ()lim [1()]343
n n n n n a a a a a a +→+∞→∞+++=-=L . 故答案为323
. 【点睛】
本题考查等比数列基本量的计算，同时也考查了利用定义判定等比数列、等比数列求和以及数列极限的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
16．9【解析】【分析】记函数利用等比数列求和公式即可求解【详解】由题：记函数即故答案为：9【点睛】此题考查多项式系数之和问题常用赋值法整体代入求解体现出转化与化归思想
解析：9 【解析】 【分析】
记函数122012()(1)(1)(1)n n
n f x x x x a a x a x a x =++++++=++++L L ，
012222(1)2n n f a a a a =+++=++++L L ，利用等比数列求和公式即可求解.
【详解】
由题：记函数212012()(1)(1)(1)n n
n f x a a x a x a x x x x =++++=++++++L L ，
02
1222(12)
(21)212
n n
n f a a a a -=++++++=
-=+L L ， 即1221022n +-=，121024,9n n +== 故答案为：9 【点睛】
此题考查多项式系数之和问题，常用赋值法整体代入求解，体现出转化与化归思想.
17．93【解析】【分析】运用等比数列通项公式基本量的计算先求出首项和公比然后再运用等比数列前项和公式求出前项和【详解】正项等比数列满足即则有代入有又因为则故答案为【点睛】本题考查了求等比数列前项和等比数
解析：93 【解析】 【分析】
运用等比数列通项公式基本量的计算，先求出首项和公比，然后再运用等比数列前n 项和公式求出前5项和. 【详解】
正项等比数列{}n a 满足2418-=a a ，6290-=a a ，
即24
222218,90a q a a q a -=-=
则有(
)(
)(
)
2
2
2
22118,1190a q a q q -=-+= 代入有2
2
1=5,4q q +=
又因为0q >，则212,6,3q a a =∴==
()
553129312
S ⨯-∴=
=-
故答案为93 【点睛】
本题考查了求等比数列前n 项和等比数列通项公式的运用，需要熟记公式，并能灵活运用公式及等比数列的性质等进行解题，本题较为基础.
18．【解析】【分析】将已知条件平方后结合余弦定理及基本不等式求解出的范围得出角的范围【详解】解：在中即当且仅当是取等号由余弦定理知故答案为：【点睛】考查余弦定理与基本不等式三角函数范围问题切入点较难故属
解析：(0,]3
π
【解析】 【分析】
将已知条件平方后，结合余弦定理，及基本不等式求解出cos C 的范围.得出角C 的范围. 【详解】
解：在ABC V 中，2a b c +=Q ，
22()4a b c ∴+=，
222422a b c ab ab ∴+=-≥，
即2c ab ≥，
当且仅当a b =是，取等号， 由余弦定理知，
222223231
cos 12222
a b c c ab c C ab ab ab +--===-≥，
03
C π
∴<≤
.
故答案为：(0,]3
π
.
【点睛】
考查余弦定理与基本不等式，三角函数范围问题，切入点较难，故属于中档题.
19．9【解析】解：由题意可知：良马与驽马第天跑的路程都是等差数列设路程为由题意有：故：满足题意时数列的前n 项和为由等差数列前n 项和公式可得：解得：即二马相逢需9日相逢点睛：本题考查数列的实际应用题(1)
解析：9 【解析】
解：由题意可知：良马与驽马第n 天跑的路程都是等差数列，设路程为{}{},n n a b ， 由题意有：()()1111031131390,97197222n n a n n b n n ⎛⎫
=+-⨯=+=+-⨯-=-+ ⎪⎝⎭
， 故：11
187
1222
n n n c a b n =+=+ ， 满足题意时，数列{}n c 的前n 项和为112522250n S =⨯= ，
由等差数列前n 项和公式可得：1111187121871222222250
2
n n ⎛
⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⨯= ， 解得：9n = .
即二马相逢，需9日相逢 点睛：本题考查数列的实际应用题. (1)解决数列应用题的基本步骤是：
①根据实际问题的要求，识别是等差数列还是等比数列，用数列表示问题的已知； ②根据等差数列和等比数列的知识以及实际问题的要求建立数学模型； ③求出数学模型，根据求解结果对实际问题作出结论． (2)数列应用题常见模型：
①等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量，该模型是等差数列模型，增加(或减少)
的量就是公差；
②等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，该模型是等比数列模型，这个固定的数就是公比；
③递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是a n 与a n －1的递推关系，或前n 项和S n 与S n －1之间的递推关系．
20．【解析】【分析】【详解】画出不等式组表示的平面区域由图可知原点到直线距离的平方为的最小值为原点到直线与的交点距离的平方为的最大值为因此的取值范围为【考点】线性规划【名师点睛】线性规划问题首先明确可行 解析：4[,13]5
【解析】 【分析】 【详解】
画出不等式组表示的平面区域，
由图可知原点到直线220x y +-=距离的平方为2
2x y +的最小值，为24
55
=，原点
到直线24=0x y -+与33=0x y --的交点(2,3)距离的平方为2
2x y +的最大值为13，因
此2
2x
y +的取值范围为4
[,13].5
【考点】 线性规划 【名师点睛】
线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线（一般不涉及虚线），其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数最值或值域范围.
三、解答题
21．（1）12n n a +=（2）2222222()()()122311
n n
S n n n =-+-++-=++L
【解析】
【分析】 【详解】
(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d.
因为71994{2a a a ＝，＝，所以11164{1828a d a d a d +++＝，＝（）
. 解得a 1＝1，d ＝12.所以{a n }的通项公式为a n ＝1
2
n +. (2)b n ＝
1n na ＝222
11
n n n n -++＝（），
所以S n ＝2
222222()122311
n n n n ⎛⎫⎛⎫++⋯+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭
－－－＝＋ 22．（1）2020（2）29-,log 10⎛
⎤∞ ⎥⎝
⎦
【解析】 【分析】
（1）运用等差数列的通项公式可得公差d ，再由等差数列的求和公式，结合配方法和二次函数的最值求法，可得最大值；
（2）由题意可得数列{b n }为首项为2，公比为2d 的等比数列，讨论d ＝0，d ＞0，d ＜0，判断数列{b n }的单调性和求和公式，及范围，结合不等式恒成立问题解法，解不等式可得所求范围． 【详解】
（1）a 1＝40，a 6＝38，可得d 612
55
a a -=
=-， 可得S n ＝40n 12-n （n ﹣1）2155=-（n 2012-）22
20120
+，
由n 为正整数，可得n ＝100或101时，S n 取得最大值2020；
（2）设()*
11
2n
a n a
b n N ==∈，，数列{b n }的前n 项和为T n
，
可得a n ＝1+（n ﹣1）d ，数列{b n }为首项为2，公比为2d 的等比数列， 若d ＝0，可得b n ＝2；d ＞0，可得{b n }为递增数列，无最大值； 当d ＜0时，T n (
)21221212dn d
d
-=
--＜
，
对任意的n ∈N *，都有T n ≤20，可得202
12d
≥-，且d ＜0， 解得d ≤29
log 10
． 【点睛】
本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想，考查化简运算能力，属于中档题．
23．(1) 43n a n =-;(2)证明见解析. 【解析】 【分析】 【详解】
（1）∵2(1)n n S na n n =--①， ∴11(1)2(1)n n S n a n n ++=+-+②， ②-①，11(1)4n n n a n a na n ++=+--，
∴14n n a a +-=，又∵等比数列{}n b ，5352T T b =+， ∴535452T T b b b -=⇐=，1q =，
∴11a =，∴数列{}n a 是1为首项，4为公差的等差数列， ∴14(1)43n a n n =+-=-； （2）由（1）可得111111
()(43)(41)44341
n n a a n n n n +==--+-+， ∴11111111(1)(1)45594341441n M n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=--++，∴111(1)454
n M -≤<， 即
1154
n M ≤<． 考点：1．等差等比数列的运算；2．列项相消法求数列的和． 24．(I)(Ⅱ)
【解析】
试题分析：（1）由和项求通项，注意分类讨论：当2n ≥时，
1
111.2n n n n n n a S S a a ---⎛⎫=-=-+- ⎪
⎝⎭即
1
1111222 1.2n n n n n n n a a a a ----⎛⎫
=+⇒=+ ⎪
⎝⎭
1 1.n n b b -⇒=+根据等差数列定义可证，并求
出通项公式()111,n b n n =+-⨯=所以.2
n n n a = （2）因为,
n c n =2211
.2n n c c n n +=-+所以裂项相消法求和得1111212
n T n n =+--++，这是一个递增数列，而4
52525
2121
T T ，，因此n 的最大值为4. 试题解析：解：（1）：在1
122n n n s a -⎛⎫=--+ ⎪
⎝⎭中，令1,n =可得
11111
12,.2
a S a a ==--+=
当2n ≥时，1
1112,2n n n S a ---⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭所以1
111.2n n n n n n a S S a a ---⎛⎫
=-=-+- ⎪
⎝⎭
即1
11112,22 1.2n n n n n n n a a a a ----⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭
而12, 1.n n
n n n b a b b -=∴=+
即当12, 1.n n n b b -≥-=又1121,b a ==
所以，数列{}n b 是首项和公差均为1的等差数列． 于是()111,n b n n =+-⨯=所以.2n n
n a = （2）因为2
2log log 2,n n n n
c n a ===所以
()
22211.·22n n c c n n n n +==-++ 111111
1111111...132435112212n T n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+-=+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
-++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
由25,21n T <
得111251,21221n n +--<++即1113.1242
n n +>++ 又()1112f n n n =
+++单调递减，()()1113
4,5,3042
f f == n ∴的最大值为4.
考点：等差数列定义及通项公式，裂项相消法求和
【方法点睛】将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如（其中{a n }是各项均不为零的等差数列，c 为常数）的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和（如本例），还有一类隔一项的裂项求和，如（n≥2）或.
25．（1）61n a n =-；（2）1116565n T n ⎛⎫
=- ⎪+⎝⎭
【解析】 【分析】
（1）根据等差数列通项公式及前n 项和公式求得首项和公差，即可得到数列{}n a 的通项公式；
（2）将n b 化简后利用列项求和法即可求得数列{}n b 的前n 项和n T . 【详解】
(1)(方法一)由题意得217
111
721161a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，
解得15
6a d =⎧⎨
=⎩
， 故61n a n =-.
(方法二)由747161S a ==得423a =， 因为42
642
a a d -=
=-，从而15a =， 故61n a n =-. （2）因为111111(61)(65)66165n n n b a a n n n n +⎛⎫
=
==- ⎪-+-+⎝⎭
， 所以121111111651111176165n n T b b b n n ⎛⎫
=+++=
-+-++- ⎪-+⎝⎭
L L 1116565n ⎛⎫
=
- ⎪+⎝⎭
. 【点睛】
本题主要考查的是数列的通项公式的基本量求法，以及等差数列通项公式、前n 项和公式的求法，同时考查的是裂项求和，是中档题.
26．（1）1n a n =-（2）()()11111333122213
n
n
n n n n n S -⎛⎫
- ⎪++-⎝⎭=+=+- 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：解：（1）由已知得11n n a a +-=， 故数列{}n a 是等差数列，且公差1d =. 又32a =，得10a =，所以1n a n =-.
（2）由（１）得，1
13n n b n -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
，
所以()11111233n n S n -⎡⎤⎛⎫
⎛⎫=++++⋅⋅⋅++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
()21111
1123333n n -=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+.
()()11111333122213
n
n n n n n n S -⎛⎫- ⎪
++-⎝⎭=+=+-. 考点：等差数列和等比数列的求和
点评：主要是考查了等差数列和等比数列的求和的运用，属于基础题．。