2018学年高中数学人教B版选修2-1课件：3-2-3+4 直线与平面的夹角 二面角及其度量 精品

D1B1＝ A1B21＋A1D12＝ 16＋9＝5， 又S△A1BB1＝12A1B·EB1＝12A1B1·BB1， A1B＝ 25＋16＝ 41， ∴EB1＝4×415＝ 2401，∴sin∠B1D1E＝44141.
1．作直线与平面夹角的一般方法：在直线上找一点，通过这个点作平面的 垂线，从而确定射影，找到要求的角．其中关键是作平面的垂线，此方法简称为 “一作，二证，三计算”．
则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)， 又AN＝14AB，M，S分别为PB，BC的中点， ∴N12，0，0，M1，0，12，S1，12，0，
(1)C→M＝1，－1，12，S→N＝－12，－12，0， ∴C→M·S→N＝1，－1，12·－12，－12，0＝0， 因此CM⊥SN.
(2) N→C ＝ －12，1，0 ，设a＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，∴ C→M ·a＝ 0，N→C·a＝0.
阶
阶
段
段
一
三
3.2.3 直线与平面的夹角
3.2.4 二面角及其度量 学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1．理解直线与平面所成角的概念．(重点) 2．会用向量法求线线、线面、面面的夹角．(重点、难点) 3．正确区分向量夹角与所求线线角、面面角的关系．(易错点)
[基础·初探] 教材整理1 直线与平面的夹角 阅读教材P106～P107“例”以上部分内容，完成下列问题． 1．直线与平面所成的角
求二面角
[探究共研型]
探究1 如何利用向量求二面角的大小？ 【提示】 当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时，用向量法求 解二面角无需作出二面角的平面角．只需求出平面的法向量，经过简单的运算即 可求出，有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补)， 但我们可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是 明显的．
【精彩点拨】 (1)怎样建立坐标系？ (2)向量C→M与S→N满足什么关系时有CM⊥SN成立？ (3) S→N 的坐标是多少？平面CMN的一个法向量怎么求？ S→N 与平面CMN的法向 量的夹角就是SN与平面CMN所成的角吗？
【自主解答】 设PA＝1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x轴，y轴，z轴正向建立空间 直角坐标系(如图)．
∴所求二面角A-VB-C的余弦值为－13.
利用空间向量求线面角 如图3-2-25所示，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝ AC＝12AB，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点． (1)证明：CM⊥SN； (2)求SN与平面CMN所成角的大小．
图31D1中，二面角A1-BC-A的余弦值为( )
A.12
B．23
C．
2 2
D．
3 3
【解析】 易知∠A1BA为二面角A1-BC-A的平面角，
cos∠A1BA＝AA1BB＝
2 2.
【答案】 C
2．已知△ABC和△BCD均为边长为a的等边三角形，且AD＝
3 2
a，则二面角
2．用定义求二面角的步骤： (1)作(找)出二面角的平面角(作二面角时多用三垂线定理)； (2)证明所作平面角即为所求二面角的平面角； (3)解三角形求角．
[再练一题] 1．如图3-2-24，ABCD是正方形，V是平面ABCD外一点，且VA＝VB＝VC＝ AB，求二面角A-VB-C的余弦值．
图3-2-24
可取n＝(1，－1，－1)．
同理，设m＝(x2，y2，z2)是平面A1 CE的法向量，
m·C→E＝0， 则m·C→A1＝0，
即22xy22＋＋2z2z＝2＝0， 0.
可取m＝(2,1，－2)．
从而cos〈n，m〉＝|nn|·|mm|＝
33，故sin〈n，m〉＝
6 3.
即二面角D-A1C-E的正弦值为
2．若直线l与平面α的夹角为θ，利用法向量计算θ的步骤如下：
[再练一题] 2．设在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，E，F依 次为C1C，BC的中点．试求A1B与平面AEF的夹角的正弦值．
图3-2-26
【解】 以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，B(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,1,0)，所以 A→1B ＝(2,0，－2)， A→E＝(0,2,1)，A→F＝(1,1,0)．
2．最小角定理
1．已知向量m，n分别是直线l与平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉
＝－ 23，则l与α所成的角为_______________． 【解析】 设l与α所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈m，n〉|＝ 23，∴θ＝60°. 【答案】 60°
2．PA，PB，PC是由点P出发的三条射线，两两夹角为60°，则PC与平面PAB
【解】 取VB的中点为E， 连接AE，CE. ∵VA＝AB＝BC＝VC， ∴AE⊥VB，CE⊥VB. ∴∠AEC是二面角A-VB-C的平面角．
设AB＝a，连接AC，在△AEC中，AE＝EC＝
3 2
a，AC＝
2 a，由余弦定理可
知
cos∠AEC＝
23a2＋ 23a2－
2×
23a×
3 2a
2a2＝－13，
A-BC-D的大小为( )
【导学号：15460077】
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
【解析】 如图，取BC的中点为E，连接AE，DE，
由题意得AE⊥BC，DE⊥BC， 且AE＝DE＝ 23a，又AD＝ 23a， ∴∠AED＝60°，即二面角A-BC-D的大小为60°. 【答案】 C
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问2：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问3：________________________________________________________
所成角的余弦值为________．
【解析】 设PC与平面PAB所成的角为θ，则cos 60°＝cos θcos 30°，得cos θ
＝ 33.
【答案】
3 3
教材整理2 二面角及其度量
阅读教材P108～P109“例1”以上部分内容，完成下列问题． 1．二面角的相关概念
(1)二面角及其平面角
半平面
平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分 都 叫做半平面
则x－－12yx＋＋12yz＝＝00，， ∴zx＝＝－2y2，y. 取y＝1，得a＝(2,1，－2)．
因为cos<a，S→N>＝－3×1－2212＝－
2 2.
∴〈a，S→N〉＝34π.
所以SN与平面CMN所成的角为34π－π2＝π4.
1．本题中直线的方向向量S→N与平面的法向量a的夹角并不是所求线面角θ， 它们的关系是sin θ＝|cos〈S→N，a〉|.
从 一条直线出发的两个半平面 所组成的图形叫做二面角，
二面角
叫做这二条面直角线的棱，
叫每做个二半面平角面的面．棱为l，两
个面分别为α，β的二面角，记作αlβ，若A∈α，B∈β，则二
面角也可以记作________
AlB
平面角
在二面角αlβ的棱上 OA⊥l，OB⊥l，则
任取一，点在O两半平面内分别作射线 ∠A叫O做B 二面角αlβ的平面角
【自主解答】 作B1E⊥A1B，垂足为E，又因为A1D1⊥平面ABB1A1， ∴A1D1⊥B1E. 由B1E⊥A1B及B1E⊥A1D1得B1E⊥平面A1BCD1，
所以，D1E就是D1B1在平面A1BCD1内的射影， 从而∠B1D1E就是D1B1与平面A1BCD1所成的角． 在Rt△B1D1E中，有sin∠B1D1E＝DE1BB11.
∴D(b，－a,0)，P(0,0，a)， ∴Eb2，－a2，a2，Ob2，0，0， O→E＝0，－a2，a2，A→C＝(b,0,0)． ∵O→E·A→C＝0，∴O→E⊥A→C， O→F＝12B→A＝0，－a2，0，O→F·A→C＝0.
∴O→F⊥A→C. ∴∠EOF为平面EAC与平面ABCD的夹角(或补角)． cos〈O→E，O→F〉＝|OO→→EE|·|OO→→FF|＝ 22. ∴平面EAC与平面ABCD的夹角为45°.
图3-2-27
【精彩点拨】 (1)能否运用线面平行的判定定理求解？ (2)如何建立空间直角坐标系，能确定平面DA1C和平面A1CE的法向量，进而 利用公式求出二面角的正弦值？
【自主解答】 (1)证明：连接AC1，交A1C于点F，则F为AC1的中点． 又D是AB的中点，连接DF，则BC1∥DF. 因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD， 所以BC1∥平面A1CD.
6 3.
用向量法求二面角的大小，可以避免作出二面角的平面角这一难点，转化为 计算两半平面法向量的夹角问题，具体求解步骤如下：
(1)建立空间直角坐标系； (2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量； (3)求两个法向量的夹角； (4)判断所求二面角的平面角是锐角还是钝角； (5)确定二面角的大小．
(2)由AC＝CB＝ 22AB， 得AC⊥BC. 以C为坐标原点，C→A，C→B，C→C1的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立 如图所示的空间直角坐标系Cxyz.设CA＝2，则D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)， C→D ＝(1,1,0)，C→E＝(0,2,1)，C→A1＝(2,0,2)． 设n＝(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量， 则nn··CC→→DA1＝＝00，， 即x21x＋1＋y12＝z1＝0，0.
探究2 在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面 ABCD，且PA＝AB，E是PD的中点，求平面EAC与平面ABCD的夹角．
【提示】 法一 如图，以A为原点，分别以AC，AB，AP所在直线为x，y， z轴建立空间直角坐标系．
设PA＝AB＝a，AC＝b，连接BD与AC交于点O，取AD中点F，则C(b,0,0)， B(0，a,0)，B→A＝C→D.
(2)二面角的范围 设二面角为α，则0°≤α≤180°. 2．直二面角 平面角是 直角 的二面角叫做直二面角． 3．二面角的度量 (1)分别在二面角α-l-β的面α，β内，作向量n1⊥l，n2⊥l，则可以用〈n1，n2〉 来度量二面角α-l-β. (2)设m1⊥α，m2⊥β，则〈m1，m2〉与二面角α-l-β大小 相等 或 互补 ．
cos〈m，A→P〉＝|mm|·|AA→→PP|＝
a＝ 2·a
2 2.
∴平面AEC与平面ABCD的夹角为45°.
如图3-2-27，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中
点，AA1＝AC＝CB＝
2 2 AB.
(1)证明：BC1∥平面A1CD； (2)求二面角D-A1C-E的正弦值．
解惑：________________________________________________________
[小组合作型] 利用空间角的定义求空间角
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，AA1＝5，试求B1D1与 平面A1BCD1所成角的正弦值．
【精彩点拨】 作出B1点在平面A1BCD1内的射影，从而得到B1D1在平面 A1BCD1内的射影．
设平面AEF的一个法向量为n＝(a，b，c)，
n·A→E＝0， 由n·A→F＝0，
得a2＋b＋b＝c＝00，，
令a＝1，可得n＝(1，－1,2)．
设A1B与平面AEF的夹角为θ， 所以sin θ＝|cos〈n，A→1B〉|＝||nn|·|AA→→11BB||＝ 63，即A1B与平面AEF的夹角的正弦值 为 63.
法二 建系如方法一，∵PA⊥平面ABCD， ∴A→P＝(0,0，a)为平面ABCD的法向量，
A→E＝b2，－a2，a2，A→C＝(b,0,0)． 设平面AEC的法向量为m＝(x，y，z)．
由mm··AA→→EC＝＝00，，
得b2x－a2y＋a2z＝0， bx＝0.
∴x＝0，y＝z.∴取m＝(0,1,1)，