22.3实际问题与二次函数-几何图形的最大面积

22.3实际问题与二次函数-几何图形的最大面积
姓名学号评价
（A组）
一．解答题（共3小题）
1．（2016•内江）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．
（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x；
（2）若平行与墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；
（3）当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围．
（B组）
2．（2015•泉州）某校在基地参加社会实践话动中，带队老师考问学生：基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙（墙足够长），另外三边用总长69米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为3米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的面积最大？下面是两位学生争议的情境：
请根据上面的信息，解决问题：
（1）设AB=x米（x＞0），试用含x的代数式表示BC的长；
（2）请你判断谁的说法正确，为什么？
（C组）
3．（2015•广西自主招生）如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底120米，下底180米，上下底相距80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．设甬道的宽为x米．（1）用含x的式子表示横向甬道的面积；
（2）当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；
（3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米．如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？
参考答案：
一．解答题（共3小题）
1．（2016•内江）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．
（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x；
（2）若平行与墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；
（3）当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围．
【解答】解：（1）根据题意得：（30﹣2x）x=72，
解得：x=3，x=12，
∵30﹣2x≤18，
∴x=12；
（2）设苗圃园的面积为y，
∴y=x（30﹣2x）=﹣2x2+30x，
∵a=﹣2＜0，
∴苗圃园的面积y有最大值，
∴当x=时，即平行于墙的一边长15＞8米，y最大=112.5平方米；
（3）由题意得：﹣2x2+30x≥100，
解得：5≤x≤10．
2．（2015•泉州）某校在基地参加社会实践话动中，带队老师考问学生：基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙（墙足够长），另外三边用总长69米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为3米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的面积最大？下面是两位学生争议的情境：
请根据上面的信息，解决问题：
（1）设AB=x米（x＞0），试用含x的代数式表示BC的长；
（2）请你判断谁的说法正确，为什么？
【解答】解：（1）设AB=x米，可得BC=69+3﹣2x=72﹣2x；
（2）小英说法正确；
矩形面积S=x（72﹣2x）=﹣2（x﹣18）2+648，
∵72﹣2x＞0，
∴x＜36，
∴0＜x＜36，
∴当x=18时，S取最大值，
此时x≠72﹣2x，
∴面积最大的不是正方形．
3．（2015•广西自主招生）如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底120米，下底180米，上下底相距80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．设甬道的宽为x米．（1）用含x的式子表示横向甬道的面积；
（2）当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；
（3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米．如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？
【解答】解：（1）横向甬道的面积为：x=150x（m2）；
（2）横向甬道的面积为：x=150x（m2）；
甬道总面积为150x+160x﹣2x2=310x﹣2x2，
依题意：310x﹣2x2=××80，
整理得：x2﹣155x+750=0，
x1=5，x2=150（不符合题意，舍去），
∴甬道的宽为5米；
（3）∵花坛上底120米，下底180米，上下底相距80米，∴等腰梯形的面积为：（120+180）×80=12000，
∵甬道总面积为S=310x﹣2x2，
绿化总面积为12000﹣S，
花坛总费用y=甬道总费用+绿化总费用：
∴y=5.7x+（12000﹣S）×0.02，
=5.7x﹣0.02S+240，
=5.7x﹣0.02（310x﹣2x2）+240，
=0.04x2﹣0.5x+240，
当x=﹣=6.25时，y的值最小．
∵根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米，
∴当x=6米时，总费用最少．
即最少费用为：0.04×62﹣3+240=238.44万元．。