2020高考理科数学二月月考试题

08高考理科数学二月月考试题
数学试题（理科）
考试时间：120分钟 满分：150 考试内容：全部
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.) 1．复数
1i
i
+在复平面中所对应的点到原点的距离为
A ．12
B C ．1 D 2．设集合222{|1},{|1},{(,)|1}.A x y x B y y x C x y y x ==-==-==-，则下列关系中不正确的是
A ．A C =∅I
B ．B
C =∅I
C ．B A ⊆
D ．A B C =U
3．给出两个命题：p : |x |=x 的充要条件是x 为正实数；q : 存在反函数的函数一定是单调函数.则下列复合命题中的真命题是 A ．p 且q
B ．p 或q
C ．┓p 且q
D ．┓p 或q
4．设向量a r 与b r
的模分别为6和5，夹角为120°，则||a b +r r 等于
A ．23
B ．2
3
-
C D 5．若5(1)ax -的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值为
A ．-2
B ．
C
D ．2
6．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，1()3x
f x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，那么11(0)(9)f f --+-的
值为 A ．3
B ．-3
C ．2
D ．-2
7．若国际研究小组由来自3个国家的20人组成，其中A 国10人，B 国6人，C 国4人，按
分层抽样法从中选10人组成联络小组，则不同的选法有（ ）种.
S E F
A
B
C
A ．1020
6
A
B ．5321064
6A A A
C ．5321064
6
C C C
D ．532
1064C C C
8．二次函数2(1)(21)1y n n x n x =+-++，当n 依次取1，2，3，4，…，n ，…时，图象在x
轴上截得的线段的长度的总和为 A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9．平面α、β、γ两两互相垂直，点A α∈，点A 到β、γ的距离都是3，P 是α上的动点，P 到β的距离是到点A 距离的2倍，则点P 的轨迹上的点到γ的距离的最小值是
A ．3
B ．3-
C ．6
D
10．如图，在正四面体S —ABC 中，E 为SA 的中点，F 为∆ABC 的 中心，则异面直线EF 与AB 所成的角是
A ．30︒
B ．45︒
C ．60︒
D ．90︒
11．已知函数()21log 3x
f x x ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，若实数x o 是方程()0f x =的解，且10x x <<o ，则
()1f x 的值为
A ．恒为正值
B ．等于0
C ．恒为负值
D ．不大于0
12．设椭圆21
)0,0(12222=>>=+e b a b
y a x 的离心率，右焦点F （c,0），方程0
2=-+c bx ax 的两个根分别为x 1,x 2，则点P （x 1,x 2）在 A ．圆22
2
=+y x 内 B ．圆22
2=+y x 上
C ．圆22
2
=+y x 外
D ．以上三种情况都有可能
答题纸
一、选择题 （将正确答案的代号填入下表内）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置上.) 13．不等式(
0x -的解集为________________.
14．点P 是双曲线2
222222221:)0,0(1:b a
y x C b a b
y a x C +=+>>=-和圆的一个交点，
且2∠PF 1F 2=∠PF 2F 1，其中F 1、F 2是双曲线C 1的两个焦点，则双曲线C 1的离心率为
.
15．湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下一个直径为12cm ，深2cm 的
空穴，则该球的表面积为_____________cm 2.（24S R
π=球）
16．直线l ：(0)x my n n =+>过点(4,A ，
若可行域00
x my n y y +⎧-⎩
≤≥≥，则实数n 的值为________________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 17．(本小题满分10分)已知向量(1tan ,1),(1sin 2cos 2,3)x x x =-=++-b a ，记().f x =⋅b a （1）求f (x )的值域及最小正周期；（2）若224f f ααπ⎛⎫
⎛⎫-
+= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭其中0,2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭，求角.α
18．(本小题满分12分)设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次任取一个，并且取出不再放回，若以ξ表示取出次品的个数. 求ξ的分布列，期望及方差.
19．（本小题满分12分）如图，正三棱柱111ABC A B C -所有棱长都是2，D 是棱AC 的中点，E 是棱1CC 的中点，AE 交1A D 于点.H （1）求证：1AE A BD ⊥平面；
（2）求二面角1D BA A --的大小（用反三角函数表示）；
（3）求点1B 到平面1A BD 的距离.
E H D
B
C
A
C 1
A 1
B 1
20．(本小题满分12分)设函数3
2
2
()21f x x mx m x m =---+-(其中2m >-)的图象在
2x =处的切线与直线125+-=x y 平行.
(1)求m 的值；
(2)求函数)(x f 在区间[0,1]的最小值；
(3)若0a ≥,0b ≥,0c ≥ ,且1a b c ++=,
试根据上述(Ⅰ)、(Ⅱ)的结论证明:222
9
11110a b c a b c ++≤+++.
21．（本小题满分12分）已知曲线C 上任意一点M 到点F （0，1）的距离比它到直线2:-=y l 的距离小1.
（1）求曲线C 的方程；
（2）过点.,,)2,2(B A C m P λ=设两点交于与曲线的直线当△AOB 的面积为
24时（O 为坐标原点），求λ的值.
22．（本小题满分
12
分）在直角坐标平面上有一点列
,),,(,),,(),,(222111ΛΛn n n y x P y x P y x P 对一切正整数n ，点P n 在函数4
13
3+
=x y 的图象上，且P n 的横坐标构成以2
5
-
为首项，－1为公差的等差数列{x n }. （1）求点P n 的坐标；
（2）设抛物线列C 1，C 2，C 3，…，C n ，…中的每一条的对称轴都垂直于x 轴，抛物线
C n 的顶点为P n ，且过点
D n （0，12
+n ）.记与抛物线C n 相切于点D n 的直线的斜率为k n ，求
;11113221n
n k k k k k k -+++Λ （3）设*},,4|{*},,2|{N n y y y T N n x x x S n n ∈==∈==等差数列}{n a 的任一项
T S a n I ∈，其中1a 是T S I 中的最大数，12526510-<<-a ，求数列}{n a 的
通项公式.
参考答案
1.B
2.D
3.D
4.D
5.D
6.C
7.D
8.A
9.A 10.C 11.A 12 A 13.(2,3)(3,)+∞U 14.
13+ 15．400π 16．8
17
．
（
1
）
根
据
条
件
可
知
：
()(1tan )(1sin 2cos2)3f x x x x =-++-2cos sin (2cos 2sin cos )3cos x x
x x x x
-=
+-
222(cos sin )3x x =--2cos23x =- 因为f (x )的定义域为{|,},2
x x k k π
π≠+
∈Z
∴f (x )的值域为(5,1]--，f (x )的最小正周期为.π （2）2cos 2cos 2(cos sin )22sin 6.22424f f ααπππααααα⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛
⎫-
+=-+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
所以，3sin 4πα⎛
⎫
+= ⎪⎝
⎭，又因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2,4343ππππαα+=+=或 所以5.12
12
π
παα=
=
或 18．ξ的可能值为0，1，2. 若ξ=0表示没有取出次品，其概率为03210312
6
(0)11C C P C ξ===；
同理()1211
2102103391
1,(2).2222C C C C P P C C ξξ====== ∴ξ的分布为
ξ 0
1
2
p
6
11
922
122
∴69110131122222E ξ=++=g g g ，16191115012.21122222244D ξ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭g g g
19．（1）证明：建立如图所示， )0,2,1( )0,1,2(1-=--=D A AE
)3,0,0(-=BD
∵0221+-=⋅D A AE 0)3(000=-++=⋅BD AE
∴BD AE D A AE ⊥⊥,1 即AE ⊥A 1D ， AE ⊥BD ∴AE ⊥面A 1BD （2）设面DA 1B 的法向量为),,(1111z y x n =
由⎩⎨⎧=++-=-⇒=⋅=⋅0
20
)3(0 0111111y x z BD n D A n ∴取)0,1,2(1=n
设面AA 1B 的法向量为 0,0),,(12122222=⋅=⋅=A A n B A n z y x n ，则由
)3,0,3( 0
203222222=∴⎩⎨⎧==++-⇒n y z y x 取， 515
1256,21=⋅>=<n n 由图可知二面角D —BA 1—A 为锐角，∴它的大小为arcos
5
15
（3）)0,2,0(1=B B ，平面A 1BD 的法向量取)0,1,2(1=n 则B 1到平面A 1BD 的距离d=5
5
25
2||
||
111=
=
n 20. (1)因为2
2
()34f x x mx m '=---, 所以2
(2)1285f m m '=---=- 解得m=－1或m=－7(舍),即m=－1
(2)
由
2()3410
f x x x '=-+-=,
解
得
121
1,3
x x ==
所以函数)(x f 在区间[0,1]的最小值为()327
f =
(3)因为3
2
2
()22(1)(2)f x x x x x x =-+-+=+-
由(2)知,当x ∈[0,1]时, 2
50(1)(2)27x x +-≥,所以2127(2)150
x x ≤-+, 所以
22
27
(2)150
x x x x ≤-+ 当0a ≥,0b ≥,0c ≥,且1a b c ++=时, 01a ≤≤,01b ≤≤,01c ≤≤,所以
］－［］－［)c b (a 2)c b (a c)b (a c c b b a a 2222
22++=++++≤+++++50
27250271112
22 又因为2
2
2
2
2
2
2
()2223()a b c a b c ab bc ca a b c ++=+++++≤++, 所以2
2
213
a b c ++≥
故109
)31(2c c b b a a =
≤+++++－5027111222(当且仅当1
3
a b c ===时取等号)
21．（1）2:)0,1(-=y l F M 的距离比它到直线到点点Θ的距离小于1，
∴点M 在直线l 的上方，点M 到F （1，0）的距离与它到直线1:-='y l 的距离相等
为准线的抛物线为焦点是以的轨迹点l F C M '∴,，所以曲线C 的方程为y x 42=
（2）当直线m 的斜率不存在时，它与曲线C 只有一个交点，不合题意，
设直线m 的方程为)22(),2(2k kx y x k y -+=-=-即， 代入0)1(8442
2
=-+-=k kx x y x 得 （x ）
m R k k k 直线所以恒成立对,,0)22(162∈>+-=∆与曲线C 恒有两个不同的交点
设交点A ，B 的坐标分别为),(),,(2211y x B y x A ， 则)1(8,42121-==+k x x k x x
)22)(1(4]4))[(1()()(||22122122212212+-+=-++=-+-=k k k x x x x k y y x x AB Θ
点O 到直线m 的距离2
1|22|k
k d +-=
，
242)1()1(422|1|4||2
1
-+-=+--=⋅=
∴∆k k k k k d AB S ABO
24)1()1(4,2424=-+-∴=∆k k S ABO Θ，
2)1(1)1(,02)1()1(2224-=-=-=--+-∴k k k k 或（舍去） 20==∴k k 或
当
,
0时=k 方程（x ）的解为
2
2± 若
2231
22222,22,2221-=---=
-==λ则x x
若2232
22222,22,2221+=-+=
=-=λ则x x 当,2时=k 方程（☆）的解为
224±
若2232
22222,224,22421+=---=
-=+=λ则x x
若
2
232
22222,224,22421-=++-=
+=-=λ则x x 所以，
223223-=+=λλ或
22
．
（
1
）
2
3
)1()1(25-
-=-⨯-+-=n n x n Θ，
.4534133--=+=∴n x y n n ).4
53,23(----∴n n P n （2）n C Θ的对称轴垂直于x 轴，且顶点为P n ，∴设n C 的方程为.4
512)232(2+-++=n n x a y 把1,)1,0(2=+a n D n 得代入上式，∴n C 的方程为.1)32(22++++=n x n x y ∵,32|0+='==n y k x n ∴],)
32(1)12(1[21)32)(12(11
1+-+=++=-n n n n k k n n ∴n n k k k k k k 13221111-++Λ)]321121()9171()7151[(21+-+++-+-=n n Λ =.6
41101)32151(21+-=+-n n （3）*}),32(|{N n n x x S ∈+-==， *}),512(|{N n n y y T ∈+-==*},3)16(2|{N n n y y ∈-+-==，∴S T T T ,=I 中最大数a 1=－17.
设}{n a 公差为d ，则a 10=.)125,265(917--∈+-d 由此得.129248-<<-d 又∵.T a n ∈
∴*)(12N m m d ∈-= ∴24-=d ，∴*).(247N n n a n ∈-=。