高二数学北师大版必修同步训练：第一章《用函数观点看数列问题》

用函数观点看数列问题
新教材将数列安排在函数之后学习，强调了数列与函数知识的密切联系．从函数的观点出发，变动地、直观地研究数列的一些问题，一方面有利于认识数列的本质，另一方面有利于加深对函数概念的理解．本文拟用函数的观点来认识一些数列问题．
1 数列的本质
数列可看作一个定义域为N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函数，用图象表示是一群孤立的点．例如，对于公差不为零的等差数列{a n}来说，它的通项是关于n的一次函数，从图象上看，表示这个数列各点均匀地分布在一次函数y=ax+b(a≠0)的图象上；它的前n项和S n是关于n的无常数项的二次函数，因此S n/n也是关于n的一次函数．
式是________．
考虑到a n是关于n的一次函数，故pn＋q与(n－1)或(2n－1)是同类因式．由待定系数法知：
p＋q=0(舍去)或p＋2q=0．
例2等差数列{a n}中，a p=q，a q=p(p≠q)求a p+q．
解由于等差数列的通项a n是关于n的一次函数，故三点(p，q)，(q，p)，(p＋q，ap＋q)共线．
解由题设知：公差a≠0．
例4已知｛a n｝是等差数列．
(1)2a5=a3＋a7是否成立？2a5=a1＋a9是否成立？
(2)2a n=a n-2＋a n+2(n＞2)是否成立？2a n=a n-k＋a n+k(n＞k＞0)是否成立？
(新教材第一册(上)第119页习题10)
解表示数列{a n}的各点，均匀地分布在一条直线上．不妨设公差d＞0．
(1)如图1，画出点(3，a3)，(5，a5)，(7，a7)．
由中位线定理得 2a5=a3＋a7．
如图2，画出点(1，a1)，(5，a5)，(9，a9)．
作辅助线AC，同样有2a5=a1＋a9．故(1)中两式全成立．
(2)画出图3，图4．
类似(1)，有2a n=a n-2＋a n+2(n＞2)，2a n=a n-k＋a n+k(n＞k＞0)．故(2)中两式全成立．
说明在例4中运用图象直观地刻划了等差数列的有关性质，同样还可直观地刻划等差数列的其它性质，如
(i)a n=a m＋(n－m)d (m，n，∈N*)；
(ii)若m＋n=p＋q，则a m＋a n=a p＋a q(m，n，p，q∈N*)．
2 数列的单调性
在数列｛a n｝中，如果a n＜a n+1对n∈N*都成立，那么称{a n}是单调递增数列；如果a n＞a n+1对n∈N*都成立，那么称{a n}是单调递减数列．数列的单调性可以用函数的单调性来刻划．例如，公差不为零的等差数列的单调性与一次函数的单调性相同；公比大于零且不等于1的等比数列的单调性与指数型函数y=ka x(a＞0且a≠1)的单调性相同．
例5已知数列的通项公式为a n=n2－10n＋10．这个数列从第几项起各项的数值逐渐增大？从第几项起各项的数值均为正值？数列中是否还存在数值与首项相同的项？
解表示数列{a n}的各点都在函数y=x2－10x＋10的图象上．
由图5可得，这个数列从第5项起各项的数值逐渐增大，从第9项起各项的数值均为正值，第9项是与首项相同的项．
说明以函数的观点认识、理解数列，才能自觉地用函数的单调性去研究数列的单调性．
∴数列{a n}为递减数列，
∴数列｛a n｝中的最大项为
即 log(a－1)a－2log a(a－1)＞1成立．
解此不等式可得
3 数列的最值
运用函数观点求数列的最值，可以更深刻地认识数列的本质，同时又能深化对函数概念的理解．
例7若数列{a n}的通项公式为a n=－n2＋7n(n∈N*)，求a n的最大值，并与函数y=－x2＋7x(x∈R)的最大值作比较．
解作出函数y=－x2＋7x(x∈R)的图象．
从图象上看，表示数列{a n}的各点都在抛物线y=－x2＋7x(x∈R)上，由图象得
说明经比较发现数列{a n}与函数y=－x2＋7x(x∈R)在不同的地方取到
不同的最大值，这是由于两者的定义域不同所造成的．
例8等差数列｛a n｝前n项和为S n，已知a1＞0，S9=S16，问n为何值时，Sn最大？
解由题意知：{a n}是单调递减数列，故点(n，S n)在开口向下的抛物线上，又点
∴当n=12或n=13时，S n最大．
函数是高中数学的重要知识，它象一根主线贯穿于高中数学的各个章节中．新教材在数列这一章中大量渗透了函数思想，这正是新教材“新”之所在，它不仅有助于学生认识数列的本质，而且也使学生对函数概念的理解逐步升华．。