2021高考江苏版(文)数学一轮复习： 第2章 第7课 课时分层训练7

课时分层训练(七)
A组根底达标
(建议用时：30分钟)
一、填空题
1．(2021·南通第一次学情检测)设幂函数f(x)＝kxα的图象经过点(4,2)，那么k＋α＝________.
3
2[由题意可知k＝1,4
a＝2，∴α＝12，∴k＋α＝1＋12＝32.]
2．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时，f(x)是增函数，当x∈(－∞，－2]时，f(x)是减函数，那么f(1)的值为________. 【导学号：62172038】
13[函数f(x)＝2x2－mx＋3图象的对称轴为直线x＝m
4
，由函数f(x)的增减
区间可知m
4
＝－2，∴m＝－8，即f(x)＝2x2＋8x＋3，∴f(1)＝2＋8＋3＝13.] 3．假设幂函数y＝(m2－3m＋3)·xm2－m－2的图象不过原点，那么m的取值是________．
1或2[由幂函数性质可知m2－3m＋3＝1，∴m＝2或m＝1.又幂函数图象不过原点，∴m2－m－2≤0，即－1≤m≤2，∴m＝2或m＝1.]
4．函数y＝x－x(x≥0)的最大值为________．
1
4[令t＝x，那么t≥0，所以y＝t－t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫
t－
1
2
2＋14，结合图象(略)知，
当t＝1
2，即x＝1
4
时，y max＝1
4.]
5．函数f(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a＞0)．假设f(x)在[2,3]上的最大值为4，最小值为1，那么a＝________，b＝________. 【导学号：62172039】10[因为函数f(x)的对称轴为x＝1，又a＞0，
所以f(x)在[2,3]上单调递增，所以{f(2)＝1，f(3)＝4，
即⎩⎪⎨⎪⎧ a ·22－2a ·2＋1＋b ＝1，a ·
32－2a ·3＋1＋b ＝4，解方程得a ＝1，b ＝0.]
6．P ＝2，Q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253，R ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫123，那么P ，Q ，R 的大小关系是________． P ＞R ＞Q [P ＝2
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫223，根据函数y ＝x 3是R 上的增函数且22＞12＞25， 得⎝ ⎛⎭⎪⎫223＞⎝ ⎛⎭⎪⎫123＞⎝ ⎛⎭
⎪⎫253，即P ＞R ＞Q .] 7．对于任意实数x ，函数f (x )＝(5－a )x 2－6x ＋a ＋5恒为正值，那么a 的取值范围是________．
(－4,4) [由题意可得{ 5－a >0，
Δ＝36－4(5－a )(a ＋5)<0， 解得－4<a <4.]
8．假设函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，那么实数a 等于________. 【导学号：62172040】
1 [∵函数f (x )＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线，
∴函数的最大值在区间的端点取得．
∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a ≥4－3a ，－a ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧
－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，
解得a ＝1.] 9．函数f (x )＝x 2－2ax ＋5在(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，那么实数a 的取值范围是________．
[2,3] [f (x )＝(x －a )2＋5－a 2，根据f (x )在区间(－∞，2]上是减函数知，a ≥2，那么f (1)≥f (a ＋1)，
从而|f (x 1)－f (x 2)|max ＝f (1)－f (a )＝a 2－2a ＋1，
由a 2－2a ＋1≤4，解得－1≤a ≤3，
又a ≥2，所以2≤a ≤3.]
10．假设函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，那么该函数的解析式f (x )＝________. 【导学号：62172041】
－2x 2＋4 [∵f (x )＝bx 2＋(ab ＋2a )x ＋2a 2，且f (x )为偶函数，
可知ab ＋2a ＝0，∴a ＝0或b ＝－2.
又f (x )的值域为(－∞，4]，所以b <0,2a 2＝4.
∴f (x )＝－2x 2＋4.]
二、解答题
11．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R .
(1)假设函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间；
(2)在(1)的条件下，f (x )＞x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的范围．
[解] (1)由题意知
⎩⎨⎧ －b 2a ＝－1，f (－1)＝a －b ＋1＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
b ＝2. 所以f (x )＝x 2＋2x ＋1， 由f (x )＝(x ＋1)2知，函数f (x )的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1]．
(2)由题意知，x 2＋2x ＋1＞x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，即k ＜x 2＋x ＋1在区间[－3，－1]上恒成立，
令g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，
由g (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋122＋34知g (x )在区间[－3，－1]上是减函数，那么g (x )min ＝g (－
1)＝1，所以k ＜1，
即k 的取值范围是(－∞，1)．
12．函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3，
(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域；
(2)假设函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值．
[解] (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]，
对称轴x ＝－32∈[－2,3]，
∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32＝94－92－3＝－214， f (x )max ＝f (3)＝15，
∴值域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－214，15. (2)对称轴为x ＝－2a －12.
①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，
f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，
∴6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意；
②当－2a －12＞1，即a ＜－12时，
f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，
∴－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意．
综上可知a ＝－13或－1.
B 组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，假设存在f (a )＝g (b )，那么实数b
的取值范围为________．
(2－2，2＋2) [由题可知f (x )＝e x －1＞－1，g (x )＝－x 2＋4x －3＝－(x －2)2＋1≤1，
假设f (a )＝g (b )，那么g (b )∈(－1,1]，
即－b 2＋4b －3＞－1，即b 2－4b ＋2＜0，
解得2－2＜b ＜2＋ 2.
所以实数b 的取值范围为(2－2，2＋2)．]
2．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，假设函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，那么称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数〞，区间[a ，b ]称为“关联区间〞．假设f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数〞，那么m 的取值范围为________．
⎝ ⎛⎦
⎥⎤－94，－2 [由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y
＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象如下图，结合图象可知，
当x ∈[2,3]时，
y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－94，－2， 故当m ∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象有两个交点．]
3．幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N ＋)经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足
条件f (2－a )＞f (a －1)的实数a 的取值范围．
[解] 幂函数f (x )经过点(2，2)，
∴2＝2(m 2＋m )－1，即2＝2(m 2＋m )－1，
∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2.
又∵m ∈N ＋，∴m ＝1.
∴f (x )＝x ，那么函数的定义域为[0，＋∞)，
并且在定义域上为增函数．
由f (2－a )＞f (a －1)，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2－a ≥0，a －1≥0，
2－a ＞a －1，
解得1≤a ＜32.
∴a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭
⎪⎫1，32. 4．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R )．
(1)假设函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，
F (x )＝⎩
⎨⎧ f (x )，x >0，－f (x )，x <0，求F (2)＋F (－2)的值； (2)假设a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围．
[解] (1)由c ＝1，a －b ＋c ＝0，
且－b 2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2，
∴f (x )＝(x ＋1)2.
∴F (x )＝{
(x ＋1)2，x >0，－(x ＋1)2，x <0. ∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.
(2)f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立，
即b ≤1x －x 且b ≥－1x －x 在(0,1]上恒成立．
又1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2，∴－2≤b ≤0.
故b 的取值范围是[－2,0]．。