2020届安徽省安庆七中高三下学期仿真模拟冲刺卷(二)数学(文)试题(解析版)

2020届安徽省安庆七中高三下学期仿真模拟冲刺卷（二）数
学（文）试题
一、单选题
1．已知集合{}2
320A x x x =-+≥，(){}
321B x log x =+<,则A B ⋂=( )
A ．{}
21x x -<< B ．{}12x x x 或≤≥ C ．{}
1x x <
D ．∅
【答案】A
【解析】分析：求出集合,A B ，即可得到A B ⋂. 详解：
{}
{}232012A x x x x x x 或，=-+≥=≤≥ (){}{}32121B x log x x x =+<=-<<，{}21.A B x x ∴⋂=-<<
选A.
点睛：本题考查集合的交集运算，属基础题.
2．设复数z 满足()()-12z i i i ⋅+=-，则z z （ ）
A ．1
B ．
1
2
C ．
2
D
【答案】B 【解析】由21i
z i i
-=++可得z ，从而得z ，进而可得z z . 【详解】
由()()12z i i i -⋅+=-，得()()()()
21223111111222i i i
i z i i i i i i i -----=
+=+=+=-++-. 所以1122z i =+.1111111
z ?2222442
z i i ⎛⎫⎛⎫=-+=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 故选B.
【点睛】
本题主要考查了复数的乘除运算，共轭复数的概念，属于基础题.
3．已知0p x ∃∈R :，03
03x x <，那么非p 为（ ）
A ．R x ∀∈，33x x <
B ．0R x ∀∈，03
03x
x > C ．R x ∀∈，33x x ≥
D ．0R x ∀∈，03
03x
x ≥
【答案】C
【解析】根据特称命题的否定是全称命题，可得选项. 【详解】
因为0p x ∃∈R :，03
03x x <，所以非p 为：R x ∀∈，33x x ≥.
故选：C. 【点睛】
本题考查特称命题和全称命题的关系，属于基础题. 4．已知函数()(
)1ln 11x
x
x
f x e e
x
--=+-+，若()1f a =，则()f a -=（ ） A ．1 B ．1-
C ．3
D ．3-
【答案】D
【解析】分析：先化简()1f a =得到1(ln 21a a
a
e e a
-++=--）
，再求()f a -的值. 详解：由题得
111(ln
11,(ln 2,(ln 2,111a a a a a a a a a
e e e e e e a a a
-----++-=∴+=∴-+=++-））） 1(ln 2.1a a a
e e a
-+∴+=--）
所以1()(ln 121 3.1a a
a f a e e a
-+-=+-=--=--）
故答案为D 点睛：（1）本题主要考查函数求值和指数对数运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和运算能力.（2）解答本题的关键是整体代入求值.
5．执行程序框图，假如输入两个数是1S =、2k =，那么输出的S =( )
A ．115
B 15
C ．4
D 17
【答案】C
【解析】分析：模拟执行程序框图可知程序框图的功能是求，
12132431615
S =+
+++++
详解：模拟执行程序框图，可得 是1S =、2k =，121
S =+
+， 满足条件16312132
k k S S ===++++＜
，， ， 满足条件1641213243
k k S S ===+++⋯+++＜
，，， 满足条件
161612132431615
k k S S ===+
+++⋯+++++＜，， 1213243161511614，=+-+-+-+⋯+-=+-= 不满足条件16k ＜ ，退出循环，输出S 的值为4． 故选C ．
点睛：本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了数列的求和，属于基础题． 6．某班全体学生某次测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[)20,40，[)40,60，[)60,80，[]80,100．若不低于80分的人数是15，则该班的学生人数是（ ）
A ．40
B ．45
C ．50
D ．60
【答案】C
【解析】根据给定的频率分布直方图，可得在[]80,100之间的频率为0.3，再根据高于
80分的人数是15，即可求解学生的人数，得到答案．
【详解】
由题意，根据给定的频率分布直方图，可得在[]80,100之间的频率为
200.00150.3⨯=，
又由高于80分的人数是15，则该班的学生人数是
15
500.3
=人，
故选：C ． 【点睛】
本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答中熟记频率分布直方图的性质是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 7．已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0>ω，||2
ϕπ
<
），其图象相邻两条对称轴之间的距离为
4π
，将函数()y f x =的图象向左平移316
π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数()y f x =的图象（ ）
A ．关于点,016π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
对称
B ．关于点,016π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称
C ．关于直线16
x π
=对称
D ．关于直线4
π
x =-
对称 【答案】B
【解析】先根据已知求出()sin 44f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，再令4,4x k k Z ππ-=∈,即得函数图
象的对称中心，令4,4
2
x k k Z π
π
π-=+
∈，即得函数图象的对称轴方程.
【详解】
因为函数()y f x =的图象相邻两条对称轴之间的距离为
4
π
， 所以函数的周期为
2
π， 24T
π
ω∴=
=，()sin(4)f x x ϕ∴=+， 将函数()y f x =的图象向左平移
316
π
个单位后， 得到函数3sin 416y x πϕ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
图象， 图象关于y 轴对称，
34,162k k Z ππϕπ∴⨯
+=+∈，即,4
k k Z π
ϕπ=-∈， 又||,2
4
π
π
ϕϕ<
∴=-
，()sin 44f x x π⎛
⎫
∴=-
⎪⎝
⎭
，
令4,4
x k k Z π
π-
=∈， 解得,416
k x k Z ππ
=
+∈， 0k =时，16
x π
=
，所以()f x 的图象关于点,016π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称. 令4,4
2
x k k Z π
π
π-
=+
∈，
所以函数的对称轴方程为3,416
k x k Z ππ
=+∈. 所以选项,C D 错误. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查三角函数的解析式的求法，考查三角函数的图象变换，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 8．已知ABC ∆的内角A , B , C 的对边分别是a , b , c ，且
222sin sin sin A B C
c
+-=
sin sin cos cos A B a B b A +，若4a b +=，则c 的取值范围为（） A ．()0,4 B ．[)2,4
C ．[)1,4
D ．(]2,4
【答案】B
【解析】∵222sin sin sin A B C
c
+-=
sin sin cos cos A B a B b A + ∴222
a b c
sinC +-=
()ab ab cos cos B sinC ab sinA B sinB A sin A ==++ ∴222a b c ab +-= ∴()2
23c a b ab +-=,
∴()2
2
2
c 32a b a b +⎛⎫≥+- ⎪
⎝⎭
∴c 2≥,又c ?4a b <+= ∴c 的取值范围为[
)2,4 故选B
9．已知x，y满足约束条件
10
0 x
x y
x y m
-≥
⎧
⎪
-≤
⎨
⎪+-≤⎩
若
1
y
x+
的最大值为2，则m的值为（）A．4 B．5 C．8 D．9
【答案】B
【解析】首先画出函数的可行域，再根据目标函数的几何意义确定最优解，建立方程求解m的值.
【详解】
不等式组对应的可行域如图所示：
由
1
x
x y m
=
⎧
⎨
+-=
⎩
得B(1，m－1).
1
y
x+
＝
(1)
y
x
-
--
表示动点(x，y)和点D(－1，0)连线的斜率，可行域中点B和点D连线的斜率最大，
∴
1
1(1)
m-
--
＝2，∴m＝5
故选：B
【点睛】
本题考查线性规划，重点考查数形结合分析问题，属于中档题型，本题的关键是理解目标函数的几何意义.
10．已知两点(),0
A a，()()
,00
B a a
->，若圆(()
22
311
x y
-+-=上存在点P，使得90
APB
∠=︒，则正实数a的取值范围为（）
A．(]
0,3B．[]
1,3C．[]
2,3D．[]
1,2
【答案】B
【解析】由90
APB︒
∠=可得点P在以AB为直径的圆上，然后条件等价于圆
222
x y a +=与圆()
()2
2
3
11x y -+-=有交点，然后建立不等式求解即可.
【详解】
因为90APB ︒∠=，所以点P 在以AB 为直径的圆上，所以条件等价于圆222x y a +=与圆()
()2
2
3
11x y -+-=有交点，
所以()
2
21311a a -≤+≤+，解得13a ≤≤，
故选：B. 【点睛】
本题考查的是两圆的位置关系，考查了学生的分析能力和转化能力，属于中档题.
11．已知,,A B C 是双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>上的三个点，AB 经过原点O ，AC 经
过右焦点F ，若BF AC ⊥且2AF CF =，则该双曲线的离心率是（ ）
A ．
5
3
B ．
173
C ．
172
D ．
94
【答案】B
【解析】根据题意，连接','AF CF ，构造矩形'FAF B ；根据双曲线定义表示出各个边长，由直角三角形勾股定理求得a c 、 的关系，进而求出离心率． 【详解】
设左焦点为'F ，AF m = ，连接','AF CF
则2FC m = ，'2AF a m =+ ，'22CF a m =+ ，'2FF c = 因为BF AC ⊥，且AB 经过原点O 所以四边形'FAF B 为矩形
在Rt △'AF C 中，222'+'AF AC F C = ，代入
()()()
222
2+3=22a m m a m ++
化简得23
a m =
所以在Rt △'AF F 中，222'+'AF AF F F =，代入
()22
2222233a a a c ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭ 化简得22179c a =
，即17
3
e = 所以选B 【点睛】
本题考查了双曲线的综合应用，根据条件理清各边的相互关系，属于中档题． 12．己知函数()x x f x e
=
，若关于的方程2
[()]()10f x mf x m ++-= 恰有3个不同的实数解，则实数m 的取值范围是( ） A ．()(),22,-∞⋃+∞ B ．11,e
⎛⎫-+∞ ⎪⎝
⎭
C ．11,1e ⎛⎫- ⎪
⎝⎭
D ．()1,e
【答案】C
【解析】先画出函数()f x 的图象，令()f x t =，由题意中的恰有3个不同的实数解，确定方程210t mt m ++-=的根的取值情况，继而求出m 的范围 【详解】
()x x
f x e
=，则()()
2
1x x
x x
e xe x
f x e e --=
'=
当()1x ∈-∞，
时，()0f x '>，()f x 单调递增 当()1
x ∈+∞，时，()0f x '<，()f x 单调递减 如图所示：
令()f x t =，则有210t mt m ++-= 即()()110t m t +-+= 解得1211t m t =-=-， 故101m e
<-< 即1
11m e
-
<< 故选C 【点睛】
本题考查了复合函数根的情况，在解答此类题目时需要运用换元法，根据原函数图像，结合实数点的个数，确定方程根的取值范围，从而进行转化为方程根的情况，然后求解，本题需要进行转化，有一定难度．
二、填空题
13．已知定义在R 上的偶函数()f x ，满足()()2f x f x +=，当[]0,1x ∈时，
()1x f x e =-，则()()20172018f f -+=__________．
【答案】e 1-
【解析】分析：由()()2f x f x +=可知，函数()f x 的周期为2，利用周期性与奇偶性把所给的两个自变量转化到区间[]
0,1上，代入求值即可.
详解：由()()2f x f x +=可知，函数()f x 的周期为2，又()f x 为偶函数 ∴
()()()()()()()()20172018f 20161f 01f 01f 0e 1f f f f -+=--+=-+=+=-
故答案为e 1-
点睛：本题重点考查了奇偶性与周期性的应用，考查了转化的思想方法，属于中档题.
14．等差数列{}n a 中，11a =，921a =，则3a 与7a 等差中项的值为_____ 【答案】11
【解析】由等差数列的性质可得：193722a a a a +=+=，代入等差中项的公式即可得答案. 【详解】
由等差数列的性质可得：193722a a a a +=+=，则3a 与7a 等差中项为
()371
112
a a +=； 故答案为：11． 【点睛】
本题考查等差中项，当{}n a 为等差数列时*
,,,,m n p q N m n p q ∈+=+，则
n n p q a a a a +=+是解题的关键，考查分析理解的能力，属基础题.
15．已知ABC 中，4AB =，5AC =，点O 为ABC 所在平面内一点，满足
OA OB OC ==，则OA BC ⋅=________．
【答案】
92
【解析】由足OA OB OC ==，明确点O 为ABC ∆的外心，取BC 的中点D ，连接OD ，AD ，则OD
BC ，()
++AO BC AD DO BC AD BC DO BC AD BC ⋅=⋅=⋅⋅=⋅，
运用向量的线性表示和向量数量积的运算求值即可． 【详解】
∵OA OB OC ==，∴点O 为ABC ∆的外心，取BC 的中点D ，连接OD ，AD ，则OD
BC ，
∴()
++AO BC AD DO BC AD BC DO BC AD BC ⋅=⋅=⋅⋅=⋅
()()
()
()221119
+25162222
AC AB AC AB AC AB =⋅-=-=-=， 故答案为：
9
2
.
【点睛】
本题考查平面向量数量积的运算及求法，以及向量的线性表示，属于中档题. (1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式cos a b a b θ⋅=⋅；二是坐标公式
1212a b x x y y ⋅=+；三是利用数量积的几何意义.
(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.
16．在三棱椎P ABC -中，底面ABC 是等边三角形，侧面PAB 是直角三角形，且
2PA PB ==，PA BC ⊥，则该三棱椎外接球的表面积为__________．
【答案】12π 【解析】【详解】
由于PA BC ⊥,PA ＝PB ，侧面PAB 是直角三角形，所以PA PB ⊥,所以PA ⊥面PBC 由2PA PB ==得2,2AB BC AC PC PB ===∴==. 所以,,PA PB PC 两两垂直,244423R =++=
所以24(3)12S ππ=⨯=．
点睛：多面体外接球，关键是确定球心位置，通常借助外接的性质—球心到各顶点的距离等于球的半径，寻求球心到底面中心的距离、半径、顶点到底面中心的距离构成直角三角形，利用勾股定理求出半径，如果图形中有直角三角形，则学借助于直角三角形的外心是斜边的中点来确定球心．
三、解答题
17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ()
3cos 23cos a C b c A =
(Ⅰ)求角A 的大小；
(Ⅱ)若2a =，求ABC 面积的最大值．
【答案】（Ⅰ）
6
π
；（Ⅱ）23. 【解析】分析：（13sin 2sin cos B B A =．
（2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-结合基本不等式进行求解． 详解：（Ⅰ）由正弦定理可得：3sin cos 2sin cos 3sin cos A C B A C A =- 从而可得：()3sin 2sin cos A C B A +=，即3sin 2sin cos B B A = 又B 为三角形内角，所以sin 0B ≠，于是3
cos A = 又A 为三角形内角，所以6
A π
=
．
（Ⅱ）由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-得：223
4223b c bc bc bc =+-≥-， 所以()
423bc ≤+，所以1
sin 232
S bc A =
=+. 点睛：本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式和基本不等式的应用，属于中档题．
18．某家电公司销售部门共有200名销售员，每年部门对每名销售员都有1400万元的年度销售任务.已知这200名销售员去年完成的销售额都在区间[2,22]（单位：百万元）内，现将其分成5组，第1组、第2组、第3组、第4组、第5组对应的区间分别为[2,6)，
[6,10)，[10,14)，[14,18)，[18,22]，并绘制出如下的频率分布直方图.
（1）求a 的值，并计算完成年度任务的人数；
（2）用分层抽样的方法从这200名销售员中抽取容量为25的样本，求这5组分别应抽取的人数；
（3）现从（2）中完成年度任务的销售员中随机选取2名，奖励海南三亚三日游，求获得此奖励的2名销售员在同一组的概率. 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
2
5
. 【解析】分析：(1)先根据所有小长方形面积和为1得a,(2)根据分层抽样确定比例，根据比例确定抽样人数，（3）先利用枚举法确定总事件数，再确定2名销售员在同一组的
事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.
详解：（1）∵ ()0.020.080.09241a +++⨯=， ∴ 0.03a =， 完成年度任务的人数为2420048a ⨯⨯=. （2）第1组应抽取的人数为0.024252⨯⨯=， 第2组应抽取的人数为0.084258⨯⨯=， 第3组应抽取的人数为0.094259⨯⨯=， 第4组应抽取的人数为0.034253⨯⨯=， 第5组应抽取的人数为0.034253⨯⨯=；
（3）在（2）中完成年度任务的销售员中，第4组有3人，记这3人分别为1A ，2A ，3A ；第5组有3人，记这3人分别为1B ，2B ，3B ； 从这6人中随机选取2名，所有的基本事件为
12A A ，13A A ，11A B ，12A B ，13A B ，23A A ，21A B ，22A B ，23A B ，31A B ，32A B ，33A B ，12B B ，13B B ，23B B ，共有15个基本事件.
获得此奖励的2名销售员在同一组的基本事件有6个， 故所求概率为
62
155
=. 点睛：频率分布直方图中小长方形面积等于对应区间的概率,所有小长方形面积之和为1; 频率分布直方图中组中值与对应区间概率乘积的和为平均数; 频率分布直方图中小长方形面积之比等于对应概率之比,也等于对应频数之比.
19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，平面PAD ⊥平面ABCD ，且2PA AD ==，120PAB PAD ∠=∠=︒，E 为PD 的中点，AE EC ⊥．
（1）求证：//PB 平面EAC ； （2）求三棱锥B ACE -的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）1
2
B ACE V -=
. 【解析】（1）连接BD ，交AC 于点O ，连接EO ，根据三角形中位线的性质可得//PB EO ，再根据线面平行的判定可得结论成立．
（2）在PAB ∆中由余弦定理得
23PB =，于是3EO =．在平面PAD 内，作PF AD ⊥，交DA 的延长线于F ，
由条件可得PF ⊥平面ABCD ，即PF 为点P 到平面ABCD 的距离，然后再结合
1
2
B ACE E ACB P AB
C V V V ---==求解可得所求．
【详解】
（1）证明：连接BD ，交AC 于点O ，连接EO ． ∵E 为PD 的中点，O 为BD 的中点， ∴EO 为PBD ∆的中位线， ∴//PB EO ，且1
2
EO PB =
． 又EO ⊂平面EAC ，PB ⊄平面EAC ， ∴//PB 平面EAC ．
（2）在PAB ∆中，2PA AB ==，120PAB ∠=︒， 由余弦定理得2222cos12012PB PA AB PA AB =+-⋅︒=， ∴3PB = ∴3EO =
∵AE EC ⊥，且O 为AC 的中点， ∴223AC EO == 在ABO ∆中，221BO AB AO -=．
在平面PAD 内，作PF AD ⊥，交DA 的延长线于F ． ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =, ∴PF ⊥平面ABCD ．
即PF 为点P 到平面ABCD 的距离． ∵点E 为PD 的中点，
∴点E 到平面ABCD 的距离h 是PF 长度的一半． 在PFA ∆中，3
sin60232
PF PA ︒==⨯
=，
∴1111(2232
B ACE E ACB P AB
C ABC V V V S ---∆===⨯⨯=． 【点睛】
在求空间几何体的体积时，要注意分清几何体的形状，对于形状规则的几何体可直接根据公式求其体积；对于形状不规则的几何体，可根据“分割”或“补形”的方法转化为形状规则的几何体再求其体积．
20．设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2
，圆22
:2O x y +=与x 轴正半
轴交于点A ，圆O 在点A 处的切线被椭圆C 截得的弦长为 （1）求椭圆C 的方程；
（2）设圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于点,M N ，试判断·
PM PN 是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．
【答案】（1）22
163
x y +=； （2）见解析.
【解析】（I ）结合离心率，得到a,b,c 的关系，计算A 的坐标，计算切线与椭圆交点坐标，代入椭圆方程，计算参数，即可．（II ）分切线斜率存在与不存在讨论，设出M,N 的坐标，设出切线方程，结合圆心到切线距离公式，得到m,k 的关系式，将直线方程代入椭圆方程，利用根与系数关系，表示OM ON ⋅，结合三角形相似，证明结论，即可． 【详解】
(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c 知，b c a ，==， ∴椭圆C 的方程可设为22
2212x y b b
+=.
易求得)
A
，∴点
在椭圆上，∴
2222
12b b
+=， 解得2263
a b ⎧=⎨=⎩，∴椭圆C 的方程为22
163x y +=.
(Ⅱ)当过点P 且与圆O 相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为x =
(Ⅰ)知，M
N
，，
(
)(
)
22220OM ON OM ON =
=
-⋅=，，，，，∴OM ON ⊥.
当过点P 且与圆O 相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为y kx m =+，
()()1122M x y N x y ，，，，
=()2221m k =+.
联立直线和椭圆的方程得()2
226x kx m ++=， ∴(
)2
2
2124260k
x
kmx m +++-=，得
()()()
222
1222122441226042126
21km k m km x x k m x x k ⎧∆=-+->⎪⎪
⎪
+=-⎨
+⎪
⎪-=⎪
+⎩
. ∵()()1122OM x y ON x y ==，，
，， ∴()()12121212OM ON x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++，
(
)()(
)
22
2
2
212
1222264112121
m km
k
x x
km x x m k
km m k k --=++++=+⋅+⋅+++ ()()(
)()
2
2
222222
2
2222
12642132266
366021
2121
k m k m m k k k m
k k k k +--+++----=
===+++，
∴OM ON ⊥.
综上所述，圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于点M N ，，都有OM ON ⊥. 在Rt OMN ∆中，由OMP ∆与NOP ∆相似得，2
2OP PM PN =⋅=为定值. 【点睛】
本道题考查了椭圆方程的求解，考查了直线与椭圆位置关系，考查了向量的坐标运算，难度偏难．
21．已知函数()()ln 1x
f x e x =-+(e 为自然对数的底数).
(Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；
(Ⅱ)若()()g x f x ax =-，a R ∈，试求函数()g x 极小值的最大值.
【答案】（1）单调递减区间是()1
0-，，单调递增区间是()0+∞，； （2）1. 【解析】（I ）计算()f x 导函数，构造函数()h x ，判定单调性，得到()f x 的单调性，
即可．（II ）得到()g x 的解析式，结合导函数判定()g x 单调性，得到极小值，构造函数()x ϕ，结合导函数，计算该函数的极值，即可． 【详解】
(Ⅰ)易知1x >-，且()11
x f x e x ='-
+. 令()11
x
h x e x =-+，则()()2101x h x e x +'=+>， ∴函数()1
1
x
h x e x =-
+在()1
x ∈-+∞，上单调递增，且()()000h f ='=. 可知，当()1
0x ∈-，时，()()0h x f x ='<，()()ln 1x
f x e x =-+单调递减； 当()0x ∈+∞，
时，()()0h x f x ='>，()()ln 1x
f x e x =-+单调递增. ∴函数()f x 的单调递减区间是()10
-，，单调递增区间是()0+∞，. (Ⅱ)∵()()()ln 1x
g x f x ax e x ax =-=-+-，∴()()g x f x a ''=-.
由(Ⅰ)知，()g x '在()1
x ∈-+∞，上单调递增， 当1x →-时，()g x '→-∞；当x →+∞时，()g x '→+∞，则()0g x '=有唯一解0x .
可知，当()01
x x ∈-，时，()0g x '<，()()ln 1x
g x e x ax =-+-单调递减； 当()0x x ∈+∞，
时，()0g x '>，()()ln 1x
g x e x ax =-+-单调递增， ∴函数()g x 在0x x =处取得极小值()()0000ln 1x
g x e x ax =-+-，且0x 满足
001
1
x e a x -
=+. ∴()()()0
00001
1ln 111
x
g x x e x x =--++-
+. 令()()()1
1ln 111x
x x e x x ϕ=--++-+，则()()211x
x x e x ϕ⎡⎤=-+⎢⎥+⎢⎣⎦
'⎥.
可知，当()1
0x ∈-，时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增； 当()0x ∈+∞，
时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减， ∴()()max 01x ϕϕ==.
∴函数()g x 极小值的最大值为1. 【点睛】
本道题考查了利用导函数判定原函数的单调性，考查了利用导函数计算极值，关键懂得构造新函数作为辅助条件，即可，难度偏难．
22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为cos sin x y α
α
=⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点O 为
极点，X 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=. （1）求1C ，2C 交点的直角坐标；
（2）设点A 的极坐标为4,3π⎛⎫
⎪⎝⎭
，点B 是曲线2C 上的点，求AOB 面积的最大值.
【答案】（1
）1
2⎛ ⎝⎭
，1 2⎛ ⎝⎭
， ；（2
）2. 【解析】（1）结合222,cos x y x ρρθ==+，得到曲线的普通方程，即可计算交点坐标.（2）结合三角形面积计算公式， 结合三角函数性质和辅助角公式，可计算最值. 【详解】
(1)2
2
1:1C x y +=，2:2cos C ρθ=，∴22cos ρρθ=，∴222x y x +=.
联立方程组得2222
12x y x y x ⎧+=⎨+=⎩
，解得1112x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，2212x y ⎧=⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
，
∴所求交点的坐标为12⎛ ⎝⎭
，1,2⎛ ⎝⎭
.
(2)设(,)B ρθ，则2cos ρθ=. ∴AOB 的面积
11||||sin 4sin 4cos sin 2233S OA OB AOB ππρθθθ⎛⎫⎛⎫
=⋅⋅⋅∠=⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2cos 26πθ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
∴当1112
π
θ=
时，max 2S =【点睛】
本题考查了参数方程化为普通方程，考查了极坐标方程化为普通方程，考查了三角函数
的辅助角公式，属于中档题. 23．选修4-5：不等式选讲 设函数()=|+1|f x x .
（1）若()+2>2f x x ，求实数x 的取值范围； （2）设()=()+()(>1)g x f x f ax a ，若()g x 的最小值为1
2
，求a 的值. 【答案】（1）1 3⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
，； （2）2a =. 【解析】(1)代入()f x 解析式,结合x 的不同范围，去绝对值，计算x 的范围，即可．（2）得到()g x 解析式，结合单调性，计算最小值，计算a ，即可． 【详解】
(Ⅰ)()22f x x +>，即1>22x x +- ⇔ 101>22x x x +≥⎧⎨
+-⎩或10
122x x x +<⎧⎨-->-⎩
1
3
x ⇔>
， ∴实数x 的取值范围是13
⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
，
. (Ⅱ)∵1a >，∴11a -<-，∴()()()()()121111112a x x g x a x x a a x x a ⎧
⎪-+-∈-∞-⎪⎪⎡⎤=-∈--⎨⎢⎥⎣⎦⎪
⎪⎛⎫
++∈-+∞⎪ ⎪⎝⎭⎩，，
，，，，， 易知函数()g x 在1x a ⎛
⎫∈-∞- ⎪
⎝⎭，
时单调递减，在1x a ⎛⎫
∈-+∞ ⎪⎝⎭
，时单调递增， ∴()min 111g x g a a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭
. ∴11
12
a -
=，解得2a =. 【点睛】
本道题考查了含绝对值不等式的解法，考查了结合单调性计算函数最值，关键得到函数解析式，难度中等．。