高中数学讲义微专题53 求数列的通项公式

微专题53 求数列的通项公式
一、基础知识——求通项公式的方法 1、累加（累乘法）
（1）累加法：如果递推公式形式为：()1n n a a f n +-=，则可利用累加法求通项公式 ① 等号右边为关于n 的表达式，且能够进行求和 ② 1,n n a a +的系数相同，且为作差的形式
例：数列{}n a 满足：11a =，且121n n n a a +-=+，求n a
解：121n
n n a a +-=+
1121n n n a a ---=+
12121a a -=+
累加可得：()2
112221n n a a n --=++
++- ()122112321
n n n n --=
+-=+--
22n n a n ∴=+-
（2）累乘法：如果递推公式形式为：
()1
n n
a f n a +=，则可利用累加法求通项公式 例：已知数列{}n a 满足：11a =，且()11n n na n a +=+，求n a 解：()111
1n n n n a n na n a a n
+++=+⇒
= 1
212
112
12
1
n n n n a a a n n a a a n n ----∴
⋅⋅⋅
=⋅⋅⋅-- 1
n
a n a ⇒
= 1n a na n ∴== 2、构造辅助数列：通过对递推公式进行变形，变形为相邻项同构的特点，进而将相同的结构视为一个整体，即构造出辅助数列。

通过求出辅助数列的通项公式，便可算出原数列的通项
公式
（1）形如()11,0n n a pa q p q -=+≠≠的形式：通常可构造出等比数列，进而求出通项公式。

例：数列{}n a 中，11a =，132n n a a -=+，求数列{}n a 的通项公式
思路：观察到n a 与1n a -有近似3倍的关系，所以考虑向等比数列方向构造，通过对n a 与1n a -分别加上同一个常数λ，使之具备等比关系，考虑利用待定系数法求出λ 解：设()13n n a a λλ-+=+即132n n a a λ-=+ 对比132n n a a -=+，可得1λ=
()1131n n a a -∴+=+
{}1n a ∴+是公比为3的等比数列
()11113n n a a -∴+=+⋅ 1231n n a -∴=⋅-
（2）形如1n
n n a pa q -=+，此类问题可先处理n q ，两边同时除以n
q ，得
1
1n n n n a a p q q
-=+，进而构造成
111n n n n a p a q q q --=⋅+，设n n n
a b q =，从而变成11n
n p
b b q -=⋅+，从而将问题转化为第（1）个问题
例：在数列{}n a 中，11a =，1323n
n n a a -=+⋅ 解：1323n
n n a a -=+⋅
1
1233
n n n n a a --∴
=+ 3n n a ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭
是公差为2的等差数列 ()11
5
122333
n n a a n n ∴
=+-⋅=- 5233n n a n ⎛
⎫∴=-⋅ ⎪⎝
⎭
小结：对于以上两个问题，还有一个通用的方法：对于形如()1n n a pa f n -=+（其中()f n 为
关于n 的表达式），可两边同时除以n
p ，
()11n n n n n
f n a a p p p
--=+。

设n
n n a b p =，即()1n n n
f n b b p
--=
，进而只要
()n
f n p
可进行求和，便可用累加的方法求出n b ，进而求出n b 。

以（1）中的例题为例：
132n n a a -=+ 1112333n
n n n n a a --⎛⎫
∴=+⋅ ⎪⎝⎭
设3n n n a b =
，则11
3
b = 1123n
n n b b -⎛⎫∴-=⋅ ⎪⎝⎭
1
12
123n n n b b ---⎛⎫-=⋅ ⎪
⎝⎭
2
21123b b ⎛⎫
∴-=⋅ ⎪⎝⎭
1
223
11111331111122113333313
n n n n b b --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦∴-=++
+=⋅=-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-
1112133333n
n
n b ⎛⎫⎛⎫
∴=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
121231333n
n n n n a a -⎛⎫∴=-⇒=⋅- ⎪⎝⎭
（3）形如：11n n n n qa pa a a ---=，可以考虑两边同时除以1n n a a -，转化为
1
1n n q p
a a --=的形式，进而可设1
n n
b a =
，递推公式变为11n n qb pb --=，转变为上面的类型求解 例：已知在数列{}n a 中，10,2n a a ≠=，且112n n n n a a a a ++-= 解：1111122n n n n n n
a a a a a a +++-=⇒
-=-
1112n n a a -∴
-=- 12
112n n a a --∴-=- 21
11
2a a ∴
-=- ∴累加可得：
()1
11
21n n a a -=-- 11115
2222222
n n n n a a ∴
=-+=-+=- 12
5
5422
n a n
n ∴=
=
--
（4）形如()21n n n pa p q a qa k ++-++=，即中间项的系数与两边项的系数和互为相反数，则可根据两边项的系数对中间项进行拆分，构造为：()()211n n n n p a a q a a k +++---=的形式，将1n n n b a a +=-，进而可转化为上面所述类型进行求解
例：已知数列{}n a 中，121,3a a ==，且2124n n n a a a ++-+=，求n a 解：()()21211244n n n n n n n a a a a a a a +++++-+=⇒---= 设1n n n b a a +=-，则14n n b b +-=，且1212b a a =-=
{}n b ∴为公差是4的等差数列 ()11442n b b n n ∴=+-⋅=-
142n n a a n +∴-=-
()1412n n a a n --=--
21412a a -=⨯-
()()1412121n a a n n ∴-=++
+---⎡⎤⎣⎦
()()214212422
n n n n n -=⋅
--=-+
2243n a n n ∴=-+
4、题目中出现关于,n n S a 的等式：一方面可通过特殊值法（令1n =）求出首项，另一方面
可考虑将等式转化为纯n S 或纯n a 的递推式，然后再求出n a 的通项公式。

例：已知数列{}n a 各项均为正数，()1,2
n n n a a S n N ++=
∈，求n a
解：()()
11111,2
2n n n n n n a a a a S S ---++=
=
两式相减，可得：()()
()11111,22
2
n n n n n n a a a a S S n N n --*
-++-=
-
∈≥
222211
112
n n n n n n n n n a a a a a a a a a -----+-∴=⇒+=-
()()111n n n n n n a a a a a a ---∴+=+-
0n a > 11n n a a -∴-=
{}n a ∴是公差为1的等差数列
在()12
n n n a a S +=
中，令1n =，可得()1111112
a a S a +=
⇒=
()11n a a n d n ∴=+-=
5、构造相减：当所给递推公式无法直接进行变形，则可考虑根据递推公式的形式再构造出下一组相邻项的递推公式，通过两式相减可构造出新的递推公式，再尝试解决。

尤其是处理递推公式一侧有求和特征的问题，这种做法可构造出更为简单的递推公式。

（详见例5，例8）以上面的一个例子为例：数列{}n a 中，11a =，132n n a a -=+，求数列{}n a 的通项公式 解：
132n n a a -=+ ①
132n n a a +∴=+ ② ②-①可得：
()113n n n n a a a a +--=-
{}1n n a a +∴-是公比为3的等比数列 21325a a =+=
214a a ∴-=
()11121343n n n n a a a a --+∴-=-⋅=⋅
2143n n n a a --∴-=⋅ 31243n n n a a ----=⋅
02143a a -=⋅
累加后可得：(
)12
1131
4133
423231n n n n a a -----=++
+=⋅=⋅--
1231n n a -∴=⋅-
6、先通过数列前几项找到数列特点，从而猜出通项公式，再利用数学归纳法证明（详见数学归纳法）
例1：在数列{}n a 中，()2111,23,21
n n n n
a a a n n N n n --==+⨯∈≥-，求数列{}n a 的通项公式n a
思路：观察递推公式中111n a n n -⎛⎫
⋅ ⎪-⎝⎭
的特点，两边同时除以n 可得211231n n n a a n n --=+⨯-，
进而可将
n a n 视为一个整体，利用累加法即可得到n a
n 的表达式，从而求出n a 解：21231n n n n
a a n n --=+⨯-
211231n n n a a n n --∴=+⨯-即21231n n n a a n n ---=⨯- 则有21231n n n a a
n n ---=⨯-
3122312
n n n a a
n n ----=⨯--
21
221
a a -= 累加可得：()()121231213331
n n n a
a n
----=++
+=
-
即
111313n n n
a a n
--=+-= 13n n a n -∴=⋅
例2：已知在数列{}n a 中，11a =，2221
n
n n S a S =-，则{}n a 的通项公式为_________
思路：在本题中很难直接消去n S ，所以考虑n a 用1n n S S --进行表示，求出n S 之后再解出n a 解：
当2,n n N *
≥∈时，1n n n a S S -=-
222
111222221
n n n n n n n n n
n S S S S S S S S S S ---∴-=⇒--+=-，整理可得： 112n n n n S S S S ---=
1
11
2n n S S -∴-= 1n S ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭
为公差为2的等差数列 ()1111221n n n S S ∴
=+-⋅=- 1
21
n S n ∴=
- 1
1,22123
1,1
n n a n n n ⎧-≥⎪
=--⎨⎪=⎩ 点评：在,n n S a 同时存在的等式中，
例3：数列{}n a 满足110,2n n a a a n +=+=，则2015a =_________
思路：只从所给递推公式很难进行变形，所以考虑再构造一个递推公式并寻找关系：即
()()121,2,n n a a n n n N *-+=-≥∈，两式相减可得：()112,2,n n a a n n N *+--=≥∈，从而
可得在{}n a 中，奇数项和偶数项分别可构成公差为2的等差数列，所以
2015110072014a a d =+=
答案：2014
例4：已知数列{}n a 满足：13
2
a =，且()1132,21n n n na a n n N a n *--=≥∈+-，则数列{}n a 的通项公式为_________
思路：观察到递推公式的分子只有1n a -，所以考虑两边同取倒数，再进行变形：
111111
31212121
2133333n n n n n n n n n na a n n n n a a n a na n na a a ------+---=
⇒==+⇒=++-，从而找到同构特
点，并设为辅助数列：n n
n
b a =
，求出{}n b 通项公式后即可解出n a 解：11321n n n na a a n --=
+- 111
12121
333n n n n a n n a na n na ---+--∴==+
12133n n n n a a --∴
=+ 设n n n b a =，则112
33
n n b b -=+，11123b a ==
而()1112111333n n n n b b b b --=
+⇒-=- {}1n b ∴-为公比是1
3
的等比数列 ()1
11113n n b b -⎛⎫∴-=-⋅ ⎪
⎝⎭ 113n n b ⎛⎫
∴=- ⎪⎝⎭
即113n
n n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 331113n
n n
n n
n a ⋅∴==-⎛⎫
- ⎪⎝⎭
例5：已知数列{}n a 为正项数列，且
12
1244422
2
n
n n S S S S a a a +++
=+++，求n a
解：
12
12444222
n
n n S S S S a a a +++
=+++ ①
12
1
112144422
2
n n n S S S S a a a ---+++
=+++ ()2,n n N *≥∈ ②
①-②可得：
2
4422
n n n n n n S a S a a a =⇒=++，2n ≥
在已知等式中令1n =，可得：
()1
111114422
S S S a a a =⇒=++ ③，满足上式 2
42n n n S a a ∴=+ ④ 211142n n n S a a ---=+ ⑤
两式相减可得：22
11422n n n n n a a a a a --=+--
()2
2112n n n n a a a a --⇔+=-，
()()22111n n n n n n a a a a a a ----=+-
12n n a a -∴-=
{}n a ∴为公差是2的等差数列，由③可解得：12a = ()112n a a n d n ∴=+-=
例6：已知数列{}n a 的各项均为正数，且112n n n S a a ⎛⎫=
+ ⎪⎝⎭
，求n a 思路：所给为,n n S a 的关系，先会想到转为n a 递推公式，()1111122n n n S a n a ---⎛⎫
=
+≥ ⎪⎝⎭
，两式相减可得：1111
1111
2n n n n n n n n n a a a a a a a a a ----=+
--⇒+=-
，很难再往下进行。

从而考虑化为n S 的递推式：2n ≥时，221111112n n n n n n n S S S S S S S ---⎛⎫=-+⇒-= ⎪-⎝⎭
，
从而{}2
n S 为公差是1的等差数列，可求出n S ，进而求出n a 解：112n n n S a a ⎛⎫=
+ ⎪⎝⎭，当2n ≥，有1111
2n n n n n S S S S S --⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭
1111
11
2n n n n n n n n S S S S S S S S S ----∴=-+
⇒+=
-- 2211n n S S -∴-= {}
2
n S ∴为公差是1的等差数列
()2
21
1n
S S n ∴=+- 在112n n n S a a ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
中，
令1n =可得：111112S a a ⎛⎫=
+ ⎪⎝⎭
可解得11a = 2
n S n ∴=
n S ∴=
11,22
,11,1
n n n n S S n n a a S n n --≥⎧≥∴=⇒=⎨==⎪⎩⎩ 小炼有话说：在处理,n n S a 的式子时，两种处理方向如果一个没有进展，则立刻尝试另一个方向。

本题虽然表面来看消去n S 方便，但通过运算发现递推公式无法再进行处理。

所以立刻调转方向，去得到n S 的式子，迂回一下再求出n a
例7：已知数列}{n a 满足)(3)1)(1(11++-=--n n n n a a a a ，21=a ，求}{n a 的通项公式
解：()()11(1)(1)311n n n n a a a a ++--=---⎡⎤⎣⎦
()()()()111111*********
n n n n n n a a a a a a +++---∴
=⇒-=-⋅--- 11n a ⎧⎫∴⎨⎬-⎩⎭
是公差为13的等差数列
()111112
111333
n n n a a ∴
=+-=+-- 35
122
n n n a a n n +∴-=
⇒=
++ 例8：设数列{}n a 中，1122
2,,,11
n n n n n a a a b n N a a *++==
=∈+-，则数列{}n b 的通项公式为n b =_______
思路：题目中所给的是n a 的递推公式，若要求得n b ，则考虑以n a 作为桥梁得到关于{}n b 的递
推
公
式
：
11121
n n n a b a ++++=
-，代入
121
n n a a +=
+可得：
12
212422221111
n n n n n n n n a a a b b a a a +++++====---+，所以可得{}n b 为等比数列，且
1112
41
a b a +=
=-，从而可得：11122n n n b b -+=⋅= 答案：1
2n n b +=
例9：在数列{}n a 中，11=a ，)(21......321321*+∈+=++++N n a n na a a a n n ，求数列{}n a 的
通项n a
解：)(21......321321*+∈+=++++N n a n na a a a n n
()123123......1(2)2n n n
a a a n a a n *-∴++++-=≥
()112,22n n n n n
na a a n n N *++∴=
-≥∈
11313221n n n n n n a n a a a n +++∴=⇒=+
213122122313n n n n n a a a n n a a a n n ------∴
⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅- 2223n n a a n -∴=⋅ 211a a ==
()2
232,n n a n n N n -*⋅∴=≥∈
2
23,21,1n n n a n n -⎧⋅≥⎪∴=⎨⎪=⎩
例10：设数列{}n a 满足：121,2a a ==，且对于其中任意三个连续的项11,,n n n a a a -+，都有：()()11
112n n n n a n a a n -+-++=，求{}n a 通项公式
思路：由已知条件可得：()()11211n n n na n a n a -+=-++，观察发现11,n n a a -+的系数和与n a 相等，所以可将2n na 拆为()1n n a -和()1n n a +，从而与11,n n a a -+配对，将原递推公式转化为：1111
n n n n a a n a a n +---=-+，进而可将1n n a a +-视为一个整体，设为n b ，则符合累乘的特点。

累乘后可得：()
121n n a a n n +-=+，再进行累加即可得到通项公式 解：()()()()1111112112n n n n
n n n a n a a na n a n a n -+-+-++=⇒=-++ ()()()()1111n n n n n a a n a a +-∴+-=--
()()()()
1111n n n n a a n a a n +---∴=-+ 设1n n n b a a +=-，即111n n b n b n --=+ ()1212111212131n n n n n b b b n n b b b b n n b n n -----∴
⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⇒=++ ()121n b b n n ∴=
+ 1211b a a =-=
()1211211n n n a a b n n n n +⎛⎫∴-===- ⎪++⎝⎭
()()()1122111111211212n n n n a a a a a a n n n n ---⎛⎫∴-+-+
+-=-+-++- ⎪---⎝⎭ 121n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
即1121n a a n ⎛
⎫-=- ⎪⎝⎭ 23n a n
∴=- 思路二：本题还可以从递推公式中的“同构入手”，构造辅助数列，()()()()()11
11112112n n n n n n n a n a a na n a n a n -+-+-++=⇒=-++，此三项具备同构特点，
故设n n b na =，则递推公式变为：112n n n b b b +-=+，所以{}n b 为等差数列，其公差可由12,b b 计算，从而得到{}n b 通项公式以求得n a
解：()()11
112n n n n a n a a n -+-++=
()()()11211n n n na n a n a -+∴=-++
设n n b na =，则递推公式变为：112n n n b b b +-=+
{}n b ∴为等差数列
11221,24b a b a ==== 213d b b ∴=-=
()1132n b b n d n ∴=+-=- ，即32n na n =-
23n a n
∴=- 小炼有话说：两个思路对比可发现，求数列的通项公式关键在于寻找合适的模型，抓住递推公式的特点构造出辅助数列，选取角度的不同也会导致运算复杂程度的差异。