自考线性代数第六章实二次型习题

第六章 实二次型
一、单项选择题
1．二次型f （x 1，x 2）=2
22135x x +的规范形是（ ） A ．2221y y - B ．2
221y y -- C ．22
21y y +- D ．22
21y y + 2．设实对称矩阵A =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--12024000
2，则3元二次型f (x 1,x 2,x 3)=x T Ax 的规范形为（ ） A ．2
32221z z z ++ B ．2
32221z z z -+ C ．22
21z z + D ．22
21z z - 3．若3阶实对称矩阵A =（ij a ）是正定矩阵，则A 的正惯性指数为（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
4.二次型正定的充要条件是为实对称阵)(A Ax x T =f （ ） A.A 可逆
B.|A |>0
C.A 的特征值之和大于0
D.A 的特征值全部大于0
5.设矩阵A =⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--4202000
k k 正定，则（ ）
A.k>0
B.k ≥0
C.k>1
D.k ≥1
6．4元二次型4332412143212222),,,(x x x x x x x x x x x x f +++=的秩为（ ） A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
7．设矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=001010100A ，则二次型Ax x T 的规范形为（ ）
A ．2
32221z z z ++ B ．2
32221z z z --- C ．23
2221z z z -- D ．23
2221z z z -+ 8. 三元二次型f （x 1，x 2，x 3）=2
3
3222312121912464x x x x x x x x x +++++的矩阵为（ ）
A.⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡963642321 B.⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡963640341 C.⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡960642621
D.⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡9123042321
9. 二次型f （x 1,x 2,x 3）=212
322212x x x x x +++的正惯性指数为（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3
10.设3阶实对称矩阵A 的特征值分别为2,1,0，则( ) A.A 正定 B.A 半正定 C.A 负定 D.A 半负定
二、填空题
1．二次型f (x 1,x 2,x 3,x 4)=2
4
23222123x x x x -++的正惯性指数为_________. 2．若f (x 1,x 2,x 3)=32312123222142244x x x x x x x x x +-+++λ为正定二次型，则λ的取值应满足
_________.
3.二次型f (x 1,x 2,x 3)=(x 1-x 2)2+(x 2-x 3)2的矩阵A =_____________.
4.二次型31212
32221321332),,(x x x x x x x x x x f -+-+=对应的对称矩阵是_____________。

5．已知3元二次型23
2221321)3()1(),,(x a x x a x x x f +++-=正定，则数a 的最大取值范围是______.
6.二次型323121232232184434),,(x x x x x x x x x x x f +-+-=的秩为_________.
7.二次型f （x 1, x 2, x 3）=-4x 1x 2+2x 1x 3+6x 2x 3的矩阵是_______________________________。

8.实对称矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛--1 1 0 1 0 10 1 2 所对应的二次型f (x 1, x 2, x 3)=________________.
三、计算题
1.设3元二次型3221232221
321222),,(x x x x x x x x x x f --++=,求正交变换x =Py ,将二次型化为标准形.
2.用配方法求二次型32312
32221321424),,(x x x x x x x x x x f +-++=的标准形，
并写出相应的线性
变换。

3．已知二次型323121321222),,(x x x x x x x x x f ++=，求一正交变换Py x =，将此二次型化
为标准形．
四、证明题。