一元一次方程特殊解的三种考法(解析版)(北师大版)

z
一元一次方程特殊解的三种考法
类型一、整数解问题
【分析】方程整理后，根据方程的解为正整数确定出k 的值即可．
【详解】解：
，
方程去分母得： 方程去括号得：， 移项合并得：，
解得：
，
由x 为正整数，k 为非负整数， 得到，4，3，2，0， ∴，故C 正确． 故选：C ．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，关键是掌握解方程的基本步骤．
【分析】先将方程化简为，根据方程的解为整数，得到关于m 的方程，进而
得出答案． 【详解】去分母得：
，
去括号、移项、合并同类项得：，
方程的解为整数，
或，
解得，或3或或15，
符合条件的正整数m 的值之和为：，
2(2)43kx x -=
+6(2)12x kx -=+61212x kx -=+(
)624
k x -=624
=
-x k 5k =5432014++++=()213m x -=-()()2316x mx +--=-(
)213
m x -=-!\21m -=±13±1m =11-131519++=
z m 故选：A ．
【点睛】本题考查含参数的一元一次方程，解题的关键是得到关于参数的方程． 【分析】先根据解方程的一般步骤解方程，再根据非负数的定义将的值算出，最后相加即可得出答案．
【详解】解：
去分母，得
，
去括号，得， 移项、合并同类项，得，
将系数化为1，得
，
是非负整数解，
∴取，
或，时，的解都是非负整数，
则
，
故选D ．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键． 【变式训练2】已知关于的方程有整数解，则正整数的值为（ ）
A ．
B ．或
C ．或或
D ．或或或
【答案】A
【分析】先解关于x 的方程得到
，然后根据整数的整除性求解．
【详解】解：整理得，
∴，
∵x 为整数，m 为正整数，
a 2163ax x
x --
=-()6226
x ax x --=-6226x ax x -+=-(
)44
a x +=-4
4x a =-
+!
4
4x a =-
+4a +1,2,4---5a \=-6-8-x ()()56819-+-+-=-x 5x mx -=-m 440426402-6-5
1x m =
+(
)1=5m x +5
1x m =+
z c
o m
∴， 故选：A ．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解及解法，掌握解一元一次方程的解法是解题的关键．
【分析】先解方程，再依据解是整数求解即可． 【详解】去分母得
，
去括号得： 移项合并同类项得：，
系数化1得：
，
∵关于x 的方程的解是整数，
∴或，
∴或或或 ∵k 是正整数， ∴或，
故选：A ．
【点睛】本题考查一元一次方程的解法，先解方程再利用整数解求值是解题的关键． 类型二、含绝对值的方程
例1．如果|x |＝4，那么x ＝
，如果|x －2|＝8，那么x ＝ .
【答案】 ±4 －6或10 【详解】如果|x|＝4，那么x ＝±4；
如果|x －2|＝8，那么x-2=±8，所以x=10或x=-6， 故答案为±4，－6或10.
【分析】分两种情况：； ．依次解出即可解答． 【详解】当时，
，
，解得：，
4m =()()2234
kx x ---=2434kx x --+=(
)215
k x -=5
21x k =
-23
1
24kx x ---=211k -=±5±1k =0k =2k =-3k =1k =3k =2x >02x <£x 2x >|2||4|8x x -++=!248x x \-++=3x =
z 当是时，
，，
此时方程无解，综上，．故答案为：3.
【点睛】本题考查解绝对值方程，注意：要分类讨论．
【答案】或 【分析】由绝对值的性质可得出，从而可分类讨论：①当
时和②
当时，再根据方程有意义可得出x 的取值范围，最后再次根据绝对值的性质解方程即可． 【详解】解：∵
∴， ∴； 分类讨论：①当时，
∵方程有意义， ∴， 解得：， ∴， ∴ 解得，
，舍去；
②当时， ∵方程有意义， ∴， 解得：，
∴，即或， 解得：
或
． 故答案为：或． 【点睛】本题考查绝对值的性质，解一元一次方程．根据绝对值的性质去绝对值是解题关键．
02x <£|2||4|8x x -++=!248x x \-++=3x =1
2
4-
312x x +=±312
x x +=-312x x +=+312
x x -+=312x x -+=±312x x +=±312
x x +=-20x -³2x ³317x +³312x x +=-3
2x =-
312x x +=+20x +³2x ³-31(2)x x +=±+312x x +=+312x x +=--12x =
3
4x =-1
2
3
4-
【变式训练2】若｜x -2｜=2x -6，则x= ；
【答案】4
【分析】分x≤2和x>2两种情况求解方程即可．
【详解】解：当x≤2，即x-2≤0时，方程｜x -2｜=2x -6变形为： -(x-2)=2x-6
去括号整理得，-3x=-8
解得，
（不符合题意，舍去）
当x>2，即x-2>0时，方程｜x -2｜=2x -6变形为： x-2=2x-6
移项合并得，x=4． 故答案为：4．
【点睛】此题主要考查了绝对值方程的解法，正确去绝对值符号是解答此题的关键． 【变式训练3】解方程：．
【答案】时，
；时 【分析】令，，得，，根据这两个数进行分段，去绝对值符号
求值.
【详解】解：①当时，，
，不存在；
②当时，，
； ③当
时，，，
的解是时，
；时． 【点睛】本题主要考查了含绝对值符号的一元一次方程的解法，解题的方法是令每个绝对值部分为0，将的值分段去绝对值解方程． 类型三、整体思想求方程的解
8
3x =
|31||1|2x x +--=1
13-<x 12x =13x <-2x =-310x +=10x -=1
3x =-
1x =x 1x 3112x x ++-=0x =1
13-<x 3112x x ++-=12x =
1
3x <-
3112x x ---+=2x =-|31||1|2x x \+--=1
13-
<x 12x =13x <-2x =-x
z 【分析】观察两个一元一次方程可得即可求解．
【详解】解：由题意得：∴，
∵的解为，
∴，解得：， 故选：B ．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，正确找出两个式子之间的关系是解题关键．
【分析】根据一元一次方程的解的定义，可得
，关于的方程化简为
，解方程即可．
【详解】解：∵关于的一元一次方程的解是，
即的解是，
∴
∴，
∴
，
即 解得：， 故选：C ．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键．
【变式训练2】定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“集团方
程”，例如：方程和为“集团方程”．
(1)若关于x 的方程与方程是“集团方程”，求m 的值；
52018x -=()55202352023x x m --=--()5+520235+2023x
x m -=-520232023x
x m
+=+2018x =52018x -=2013x =-20222023a
b =+
y 20222022
22023y y --=
x 202220232023x a
x b
++=+2023x =202220232023x a x b
+-=
-2023x =20222023a b =+202220222024(2022)
20232023y a a
y +--=-+2022202222023y y --=
2023404620222022y y -=-2023y =48x =10x +=30x m +=418x x -=+
z
【答案】(1) (2)
(3)
【分析】（1）先表示两个方程的解，再求值． （2）根据条件建立关于n 的方程，再求值． （3）先求k ，再解方程． 【详解】（1）解：∵， ∴．
∵， ∴．
∵关于x 的方程与方程是“集团方程”，
∴， ∴；
（2）∵“集团方程”的两个解和为1， ∴另一个方程的解是，
∵两个解的差是6，且n 为较大的解， ∴，
∴
．
（3）∵，
∴．
∵关于x 的一元一次方程和是“集团方程”， ∴关于x 的一元一次方程的解为：．
72n =
2022y =30x m +=3m
x =-418x x -=+3x =30x m +=418x x -=+313m
-+=6m =1n -()16n n --=72n =
1
102022x +=2022x =-1322022x x k +=+1
10
2022x +=1
322022x x k +=+()120222023
x =--=
∵关于y 的一元一次方程可化为：，
令， ∴．
【点睛】本题考查一元一次方程的解，利用“集团方程”的定义找到方程解的关系是求解本题的关键． 课后训练
1．若关于的方程有正整数解，则整数的值为（ ） A ．或或或 B ．或
C ．
D ．
【答案】B
【分析】解一元一次方程，可得出原方程的解为，结合原方程有正整数解且为整数，
即可得出的值．
【详解】解：∵方程有解， ∴，
， ， ．
又原方程有正整数解，且为整数，
或．
故选：B ．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 2．如果关于x 的方程无解，那么m 的取值范围是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】A
【分析】只有当的系数为0时关于x 的方程无解，据此求解即可．
【详解】∵关于x 的方程无解，
∴，解得， 故选：A ．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，理解一元一次方程无解的定义是解题关键．
()113222022y y k ++=++()()113212022y y k ++=++12023y x +==2022y =x 30ax -=a 11-33-13133
x a =
a a 30ax -=0a ¹30ax -=!3ax \=3
x a \=
!a 1a \=3()28m x +=2m =-2m ¹-2m >-2m <-x ()28m x +=(
)28m x +=20m +=2m =-
z
【分析】先根据原方程推出，再由无论为何值，方程的根总为进
行求解即可．
【详解】解：∵ ∴
，
∴， ∴，
∵无论为何值，方程的根总为，
∴，解得， 故选D ．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，正确推出是解题的关键．
【分析】先根据解方程的一般步骤解方程，再根据非负数的定义将的值算出，最后相加即可得出答案．
【详解】解：，
去分母，得
，
去括号，得， 移项、合并同类项，得，
()621223x b k x a
+=+-k 1222
3kx a x bk
+-=+
()()
32122kx a x bk +=+-631222kx a x bk +=+-(
)621223x b k x a +=+-k 1620
112230
x b x x a +=ìï
=íï+-=î31143b x a ì
ï=-ï=íïï=î(
)621223x b k x a
+=+-a 2163ax x x --
=-()6226
x ax x --=-6226x ax x -+=-(
)44
a x +=-
z
o
m
将系数化为1，得，
∵
是非负整数解，
∴取， ∴或，时，的解都是非负整数， 则
，
故选：D ．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键．
【答案】
【分析】求出第一个方程的解，再代入第二个方程并求解即可得出的值．
【详解】解：方程，
解得：，
∵与的解相同，
∴， 解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查同解方程，同解方程即为方程的解相同的方程．掌握同解方程的定义是解
题的关键．
6．已知关于x 的方程有整数解，则整数k 的值为
【答案】3或
【分析】把k 当做已知量表示出方程的解，再根据方程的解为整数的条件即可得出k 值． 【详解】解：解关于x 的方程可得，
又∵方程的解为正整数，且k 为整数，
∴为或即可，即k 的值为3，，或． 所以符合整数k 的值为：3或．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，根据解得的条件确定k 的可能取值解答本题的关键．
4
4x a =-
+4
4x a =-
+4a +124---，
，5a =-6-8-x ()()56819
-+-+-=-k 21
53x -=8x =21
5
3x -=117kx +=2117k +=2k =283314x kx -+＝3-83314x kx -=+17
83x k =
-83k -1±17±733-25
33-
z
【分析】将关于的一元一次方程变形，然后根据一元一次方程解的定义得到，进而可得的值．
【详解】解：将关于的一元一次方程变形为，
∵关于x 的一元一次方程的解为，
∴， ∴， 故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，熟练掌握整体思想的应用是解题的关键．
8．已知关于的方程有解，那么的取值范围是 ． 【答案】/
【分析】分别讨论当时，当时，当时，方程的解的情况，然后找到符
合题意的的情况进行求解即可．
【详解】解：①当时，原方程化为，
，
；
②当时，原方程化为，
即，此时方程的解为范围内的全体实数， ；
③当时，原方程化为，
综上，方程有解．
y 20212y -=y y ()2021
2023202120222021y y m
-+-=()2021
2022202320212021y m y --=-202220232021x
m x
-=2x =20212y -=2023y =2023x |3||6|x x a ++-=a 9a ³9a £6x ³36x -£<3x <-6x ³36x x a ++-=3
62a x +\=
³9a \³36x -£<36x x a +-+=9a =36x -£<9a \=3x <-36x x a --+-=332a
x -\=
<-9a \>9a ³
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了绝对值方程，解题的关键在于能够根据题意讨论x 的取值范围进行去绝对值进行求解．
9．关于x 的方程无解，那么m 、n 满足的条件是 ． 【答案】且
【分析】根据方程无解的条件即可解答． 【详解】解：∵， 当， ∴，
当，时，即； 此时方程有无数个解； 当，即时， 此时，方程无解；
综上：关于x 的方程无解，且． 故答案为：且．
【点睛】本题考查了一元整式方程的无解问题，根据方程无解得出关于m ，n 的值是解题关键．
【答案】(1) (2)，
【分析】（1）一元一次方程中，一次项指数为1，系数不为0，由此可解； （2）先去括号，合并同类项，再将m 的值代入求解．
【详解】（1）解：关于x 的方程是一元一次方程，
，， ，， ；
（2）解：
，
9a ³1mx n =-0m =1n ¹1mx n =-1mx n =-0m ¹1n x m -=0m =10n -=1n =0m =10n -¹1n ¹1mx n =-0m =1n ¹0m =1n ¹710m -31-!(
)4
3180
m m x +-+=\41m +=30m -¹\3m =-3m ¹\3m =-()()
22541223m m m m +---+22544426m m m m =+--+-710m =-
当时，原式
．
【点睛】本题考查一元一次方程的定义，整式的化简求值，解题的关键是根据一元一次方程中一次项指数为1求出m 的值． 11．讨论方程的解的情况．
【答案】当，原方程无解；当时，，或；当时，，或，或，或；当时，，或，或；当时，
，或
【分析】分，，，四种情况解析：当时，原方程无解；当时，原方程为，解为，或；当时，原方程为，
有四个解，或，或，或；当时，原方程为：，有三个解，或，或；当时，原方程为：，有两个解，
或．
【详解】当，原方程无解；
当时，原方程可化为：， 解得，或；
当，此时原方程可化为：， 此时原方程有四解：，
即：，或，或，或；
当时，原方程可化为：， 此时原方程有三解：，或，或；
当时，原方程有可化为：， 此时原方程有二解：， 即，或．
【点睛】本题主要考查了解绝对值方程等，解决问题的关键是熟练掌握绝对值的定义，绝对值的化简，分类讨论．
3m =-()7310211031
=´--=--=-||3|2|x k +-=0k <0k ==1x -5x =-02k <<1=-x k 5x k =--1x k =--5x k =-2k =1x =7x =-3x =-2k >1=-x k 5x k =--0k <02k <<2k =2k >0k <0k =|3|20x +-==1x -5x =-02k <<|3|2x k +=±1=-x k 5x k =--1x k =--5x k =-2k =|3|22x +=±1x =7x =-3x =-2k >3(2)x k +=±+1=-x k 5x k =--0k <0k =|3|20x +-==1x -5x =-02k <<|3|2x k +=±3(2)x k =-±±1=-x k 5x k =--1x k =--5x k =-2k =|3|22x +=±1x =7x =-3x =-2k >3(2)x k +=±+3(2)x k =-±+1=-x k 5x k =--。