上海市虹口区2021届高三上学期一模数学试题

上海市虹口区2021届高三一模数学试卷
2020.12
一、填空题(本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分)
1. 已知集合{|30,}A x x x =+>∈R ，2{|280,}B x x x x =+-<∈R ，则A B =___________.
2. 方程2220
x x ++=根是___________.
3. 行列式
sin sin cos cos sin cos αααααα
-+值等于___________.
4. 函数2()log (24)f x x =+的反函数为1()y f x -=，则1(4)f -=___________.
5. 从甲､乙､丙､丁4名同学中选2名同学参加志愿者服务，则甲､乙两人都没有被选到的概率为___________(用数字作答).
6. 二项式()8
21x +的展开式中含2x 项的系数是________.
7. 计算：423lim
2n n n
→∞
-=___________.
8. 过抛物线22y px =(0p >)的焦点作与抛物线对称轴垂直的直线交抛物线于A ､B 两点，且||4AB =，则p =___________.
9. 已知(0,)απ∈，且有12sin2cos2αα-=，则cos α=___________
10. 设1F ､2F 分别是双曲线22
221x y a b
-=(0a >，0b >)的左､右焦点，点P 在双曲线右支上且满足
212||||PF F F =，双曲线的渐近线方程为430x y ±=，则12cos PF F ∠=___________.
11. 若a 、b 分别是正数p 、q
算术平均数和几何平均数，且a 、b 、2-这三个数可适当排序后成等差
数列，也可适当排序后成等比数列，则p q pq ++的值形成的集合是___________. 12. 已知数列{}n a 满足12a =-，且3
2
n n S a n =
+(其中n S 为数列{}n a 前n 项和)，()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x -=，则2021()f a =___________.
二、选择题(本大题共4题，每题5分，共20分)
13. 若a b >，则下列各式中恒正的是（ ） A. lg()a b -
B. 33a b -
的的.
C. 0.50.5a b -
D. ||||a b -
14. 在
ABC 中，若2
0AB BC AB ⋅+=，则ABC 的形状一定是（ ）
A. 等边三角形
B. 直角三角形
C. 等腰三角形
D. 等腰直角三角形
15. 已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >，0>ω)的图像与直线y b =(0b A <<)的三个相邻交点的横坐标依次是1､2､4，下列区间是函数()f x 单调递增区间的是（ ） A. [0,3]
B. 3[,3]2
C. [3,6]
D. 9[3,]2
16. 在空间，已知直线l 及不在l 上两个不重合的点A ､B ，过直线l 做平面α，使得点A ､B 到平面α的距离相等，则这样的平面α的个数不可能是（ ） A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 无数个
三、解答题(本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分)
17. 如图在三棱锥P ABC -中，棱AB 、AC 、AP 两两垂直，3AB AC AP ===，点M 在AP 上，且
1AM =.
（1）求异面直线BM 和PC 所成的角的大小； （2）求三棱锥P BMC -的体积.
18. 已知函数22()(1)(1)(1)f x a x a x a =++-+-，其中a ∈R .
（1）当()f x 是奇函数时，求实数a 的值；
（2）当函数()f x 在[2,)+∞上单调递增时，求实数a 的取值范围.
19. 如图所示，A ､B 两处各有一个垃圾中转站，B 在A 的正东方向16km 处，AB 的南面为居民生活区，为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB 的北面P 处建一个发电厂，利用垃圾发电，要求发电厂到两个垃圾中转站的距离(单位：km )与它们每天集中的生活垃圾量(单位：吨)成反比，现估测得A ､B 两处中转站每天集中的生活垃圾量分别为约为30吨和50吨.
（1）当15km AP =时，求APB ∠的值；
（2）发电厂尽量远离居民区，要求PAB △的面积最大，问此时发电厂与两个垃圾中转站的距离各为多少？ 20. 已知点(1,0)A -､(1,0)B ，直线:0l ax by c ++=(其中,,a b c ∈R )，点P 在直线l 上.
（1）若a ､b ､c 是常数列，求||PB 的最小值；
（2）若a ､b ､c 是成等差数列，且PA l ⊥，求||PB 的最大值； （3）若a ､b ､c 是成等比数列，且PA l ⊥，求||PB 的取值范围. 21. 设x 是实数，n 是整数，若1
2
x n -<
，则称n 是数轴上与x 最接近的整数. （1）数列{}n a 的通项为n a ，且对任意的正整数n ，n 是数轴上与n a 最接近的整数，写出一个满足条件的数列{}n a 的前三项； （2）数列{}n a 通项公式为n a n =，其前n 项和为n S ，求证：整数n a
数；
（3）n T 是首项为2，公比为
2
3
的等比数列的前n 项和，n d 是数轴上与n T 最接近的正整数，求122020d d d ++⋅⋅⋅+.
上海市虹口区2021届高三一模数学试卷
2020.12
的
一、填空题(本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分)
1. 已知集合{|30,}A x x x =+>∈R ，2{|280,}B x x x x =+-<∈R ，则A B =___________.
【答案】(3,2)- 【解析】 【分析】
分别求出集合A ，集合B ，再利用集合间的运算计算即可. 【详解】解：
{|30,}A x x x =+>∈R
{|3,}A x x x ∴=>-∈R ，
又
2{|280,}B x x x x =+-<∈R ，
由2280x x +-<， 解得：42x -<<，
{|42,}B x x x ∴=-<<∈R ，
()3,2A B ∴=-，
故答案为：(3,2)-.
2. 方程2220x x ++=的根是___________. 【答案】1i -± 【解析】 【分析】
先分析出方程有虚根，然后直接利用求根公式求解出方程的根. 【详解】因为222440∆=-⨯=-<，所以方程有两个虚根，
因为2
220x x ++=，所以22
x -±=，
所以1x i =-±， 故答案为：1i -±.
3. 行列式
sin sin cos cos sin cos ααα
ααα
-+的值等于___________.
【答案】1
【解析】 【分析】
根据行列式的值的计算方法直接列式计算出结果. 【
详
解
】
行
列
式
sin sin cos cos sin cos αααααα
-+的值为：
()()22sin sin cos cos sin cos sin cos 1αααααααα+--=+=，
故答案为：1.
4. 函数2()log (24)f x x =+的反函数为1()y f x -=，则1(4)f -=___________. 【答案】6 【解析】 【分析】
令2()log (24)4f x x =+=，求出x 的值即得解. 【详解】令2()log (24)4f x x =+=， 所以424216x +==， 所以6x =，
根据反函数的性质得1(4)f -=6. 故答案为：6
【点睛】结论点睛：反函数和原函数的图象关于直线y x =对称，如果1
()f a b -=，则()f b a =.求1(4)
f -的值，等价于求原函数值为4时对应的x 的值.
5. 从甲､乙､丙､丁4名同学中选2名同学参加志愿者服务，则甲､乙两人都没有被选到的概率为___________(用数字作答). 【答案】
16
【解析】 【分析】
先计算出从4名同学中选2名同学的情况，再计算出甲､乙两人都没有被选到的情况，即可求出概率. 【详解】解：从4名同学中选2名同学共有2
443
621
C ⨯==⨯种, 甲､乙两人都没有被选到有1种，
∴ 甲､乙两人都没有被选到的概率为1
6
.
6. 二项式()8
21x +的展开式中含2x 项的系数是________. 【答案】112 【解析】 【分析】
写出二项式()8
21x +的展开式的通项，令x 的指数为2，求出参数的值，代入通项可求得结果.
【详解】二项式()821x +的展开式的通项为()
88818822r
r
r r r r T C x C x ---+=⋅=⋅⋅，令82r -=，得6r =，
因此，二项式()8
21x +的展开式中含2x 项的系数是6
2
82112C ⋅=.
故答案为：112.
【点睛】本题考查利用二项展开式通项求指定项的系数，考查计算能力，属于基础题.
7. 计算：423lim 2n n n
→∞
-=___________.
【答案】2 【解析】 【分析】
将所求代数式变形为
23
4423lim
lim
22
n n n n n
→∞
→∞
--=，利用常见数列的极限可求得结果. 【详解】将所求代数式变形为
23
44234lim
lim
2222
n n n n
n
→∞
→∞
--===. 故答案为：2.
8. 过抛物线22y px =(0p >)的焦点作与抛物线对称轴垂直的直线交抛物线于A ､B 两点，且||4AB =，则p =___________. 【答案】2 【解析】 【分析】
根据抛物线的焦半径公式表示出AB ，再根据AB 4=可直接求解出p 的值.
【详解】设抛物线的焦点坐标为,02p F ⎛⎫
⎪⎝⎭
，由条件可知2A B F p x x x ===，
所以222
A B p p
AB AF BF x x p =+=+++=，又AB 4=，所以2p =， 故答案为：2.
【点睛】结论点睛：抛物线的焦半径公式如下（p 为焦准距）
（1）焦点F 在x 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p
PF x =+； （2）焦点F 在x 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p
PF x =-+；
（3）焦点F 在y 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p
PF y =+；
（4）焦点F 在y 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02
p
PF y =-+.
9. 已知(0,)απ∈，且有12sin2cos2αα-=，则cos α=___________.
【解析】 【分析】
运用正弦、余弦的二倍角公式化简已知等式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可. 【详解】2212sin 2cos214sin cos 12sin sin 2sin cos αααααααα-=⇒-=-⇒=， 因为(0,)απ∈，所以sin 0α≠，
因此由2sin 2sin cos sin 2cos tan 2(0,)2
π
ααααααα=⇒=⇒=⇒∈，
而22
sin cos 1(1)αα+=，把sin 2cos αα=代入(1)得：
22214cos cos 1cos cos 55
αααα+=⇒=
⇒=±
，而(0,)2πα∈，
因此cos α=
.
10. 设1F ､2F 分别是双曲线22
221x y a b
-=(0a >，0b >)的左､右焦点，点P 在双曲线右支上且满足
212||||PF F F =，双曲线的渐近线方程为430x y ±=，则12cos PF F ∠=___________.
【答案】45
【解析】 【分析】
设双曲线的半焦距为c ，求得双曲线的渐近线方程可得a ，b ，c 的关系，求出12PF F 的三条边，运用余
弦定理可求12cos PF F ∠值． 【详解】设双曲线的半焦距为c ， 由双曲线的渐近线方程，可得43
b a =，
则5
3
c a ==， 在
12PF F 中，212||||2PF F F c ==，1||22PF c a =+，
由余弦定理可得222
12(2)(22)(2)cos 22(22)
c c a c PF F c c a ++-∠=⨯+
54310253a a
a c c a ++===．
故答案为：
45
． 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是看到双曲线的焦半径，要马上联想到双曲线的定义解题.这是圆锥曲线的一个解题技巧，要注意熟练运用.
11. 若a 、b 分别是正数p 、q 的算术平均数和几何平均数，且a 、b 、2-这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q pq ++的值形成的集合是___________. 【答案】{}9 【解析】 【分析】
由已知条件可得2
p q
a +=
，b =a b ≥，根据已知条件可得出关于a 、b 的方程组，解出a 、b 的值，可求得p q +与pq 的值，即可得解. 【详解】由已知条件可得2p q a +=
，b =
02
p q
a b +=
≥=>，
所以，2a b ≥>-，
由于a 、b 、2-这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，
则有()2222b a ab a b
=-⎧⎪=-⎨⎪≥⎩
，解得41a b =⎧⎨
=⎩，所以，28p q a +==，21pq b ==， 因此，819p q pq ++=+=.
故答案为：9.
【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于确定a 、b 的关系，结合已知条件得出关于a 、b 的方程组求解，进而可求得p q +与pq 的值.
12. 已知数列{}n a 满足12a =-，且3
2
n n S a n =
+(其中n S 为数列{}n a 前n 项和)，()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x -=，则2021()f a =___________. 【答案】0 【解析】 【分析】
首先求出函数的周期性，再利用构造法求出数列{}n a 的通项公式，即可得到2021
202113a =-，再根据二项式
定理判断20213被4除的余数，即可计算可得；
【详解】解：因为()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x -= 所以()()()2f x f x f x -=+=-，()()()42f x f x f x +=-+= 所以()f x 的最小正周期为4 又因为数列{}n a 满足12a =-，且3
2
n n S a n =+①； 当2n ≥时，113
12n n S a n --=
+-②； ①减②得133
122
n n n a a a -=-+，所以132n n a a -=-，1311n n a a
所以{}1n a -以3-为首项，3为公比的等比数列，所以13n n a -=-，即13n
n a =-
所以2021
202113a =-
又()
()2021
202120211202020213414141C =-=+
+⋅-⋅-
所以20213被4除余3
所以()()
()()()2021
20212021()13
3111200f a f f f f f =-=--=---=== 故答案为：0
【点睛】本题考查函数的周期性的应用，若存在非零常数T ，若对定义域内任意的x 都有f x T f x ，
则T 为函数的周期；
二、选择题(本大题共4题，每题5分，共20分)
13. 若a b >，则下列各式中恒正的是（ ） A. lg()a b - B. 33a b - C. 0.50.5a b - D. ||||a b -
【答案】B 【解析】 【分析】
选项A ,如果01a b <-<，则lg()0a b -<，所以该选项错误； 选项,B 因为3
()f x x =是R 上的增函数，所以该选项正确； 选项C ，因为函数0.5x
y =是减函数，所以该选项错误； 选项D ，||||a b -有可能小于零，所以该选项错误.
【详解】选项A ,lg()a b -中，如果01a b <-<，则lg()0a b -<，所以该选项错误；
选项,B 因为3
()f x x =是R 上的增函数，a b >，所以3
3
,a b >所以330a b ->，所以该选项正确； 选项C ，因为函数0.5x
y =是减函数，a b >，所以0.50.5a b <，所以0.50.50a b -<，所以该选项错误； 选项D ，||||a b -有可能小于零，如：1,2,||||10a b a b ==--=-<，所以该选项错误. 故选：B
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是灵活运用函数的性质，判断选项,B C 的真假，要联想到函数
3(),()0.5x f x x f x ==的性质，利用性质判断就比较简洁.
14. 在
ABC 中，若2
0AB BC AB ⋅+=，则ABC
形状一定是（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形
【答案】B 【解析】 【分析】
先利用数量积运算化简得到2cos ac B c =，再利用余弦定理化简得解. 【详解】因为2
0AB BC AB ⋅+=， 所以2
cos()0ac B c π-+=， 所以2cos ac B c =，
所以222
22a c b ac c ac
+-⨯=，
所以222b c a +=， 所以三角形是直角三角形. 故选：B
【点睛】方法点睛：判断三角形的形状，常用的方法有：（1）边化角；（2）角化边.在边角互化时常利用正弦定理和余弦定理.
15. 已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >，0>ω)的图像与直线y b =(0b A <<)的三个相邻交点的横坐标依次是1､2､4，下列区间是函数()f x 单调递增区间的是（ ） A. [0,3] B. 3
[,3]2
C. [3,6]
D. 9[3,]2
【答案】D 【解析】 【分析】
根据正弦函数的性质与已知的三个交点的横坐标得函数的对称轴与周期，从而可判断各选项． 【详解】∵0b A <<，∴12322x +=
=和2432x +==是函数()f x 图象的两条相邻的对称轴，3
()2
f 是最大值，(3)f 是最小值，这样最小正周期是3T =， ∴()f x 在3
[,3]2上递减，在9[3,]2
上递增． 故选：D ．
16. 在空间，已知直线l 及不在l 上两个不重合的点A ､B ，过直线l 做平面α，使得点A ､B 到平面α的距离相等，则这样的平面α的个数不可能是（ ） A. 1个 B. 2个
C. 3个
D. 无数个
【答案】C 【解析】
【分析】
分情况讨论可得出.
【详解】（1）如图，当直线AB 与l 异面时，则只有一种情况；
（2）当直线AB 与l 平行时，则有无数种情况，平面α可以绕着l 转动；
（3）如图，当l 过线段AB 的中垂面时，有两种情况.
故选：C.
三、解答题(本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分)
17. 如图在三棱锥P ABC -中，棱AB 、AC 、AP 两两垂直，3AB AC AP ===，点M 在AP 上，且
1AM =.
（1）求异面直线BM 和PC 所成的角的大小； （2）求三棱锥P BMC -的体积. 【答案】（1
）arccos 10
；（2）3. 【解析】 【分析】
（1）以点A 为坐标原点，AB 、AC 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，利用空间向量法可求得异面直线BM 和PC 所成
角的大小；
（2）计算出PMC △的面积，并推导出AB ⊥平面PMC ，利用锥体的体积公式可求得三棱锥P BMC -的体积.
【详解】（1）由于AB 、AC 、AP 两两垂直，以点A 为坐标原点，AB 、AC 、AP 所在直线分别为x 、
y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，如下图所示：
则()3,0,0B 、()0,0,0A 、()0,3,0C 、()0,0,3P 、()0,0,1M ，
()3,0,1BM =-，()0,3,3PC =-，cos ,10BM PC BM PC BM PC
⋅<>=
=
=⋅，
因此，异面直线BM 和PC 所成的角的大小为 （2）
AB AC ⊥，AB AP ⊥，AC AP A =，AB ∴⊥平面APC ，
AC AP ⊥，1AM =，2PM AP AM ∴=-=，1
32
PMC S PM AC ∴=
⋅=△， 11
33333
B PM
C PMC V S AB -=⋅=⨯⨯=△.
【点睛】方法点睛：求空间角
常用方法：
的
（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；
（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果. 18. 已知函数22()(1)(1)(1)f x a x a x a =++-+-，其中a ∈R （1）当()f x 是奇函数时，求实数a 的值；
（2）当函数()f x 在[2,)+∞上单调递增时，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1a =-；（2）3
5
a ≥-. 【解析】 【分析】
（1）根据奇函数的性质，求a ，再验证；（2）根据二次函数的单调性，求解a 的取值范围. 【详解】（1）因为函数()f x 是奇函数，所以()2
010f a =-=，解得：1a =±，
当1a =时，()2
2f x x =，函数是偶函数，不成立，
当1a =-时，()2f x x =-，函数是奇函数，成立， 则1a =-；
（2）当1a =-时，()2f x x =-，函数在定义域上单调递减，不满足条件，
当1a ≠-时，若函数在[)2,+∞单调递增时，满足()10
12
21a a a +>⎧⎪-⎨
-≤⎪+⎩
，解得3
5a ≥-. 19. 如图所示，A ､B 两处各有一个垃圾中转站，B 在A 的正东方向16km 处，AB 的南面为居民生活区，为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB 的北面P 处建一个发电厂，利用垃圾发电，要求发电厂到两个垃圾中转站的距离(单位：km )与它们每天集中的生活垃圾量(单位：吨)成反比，现估测得A ､B 两处中转站每天集中的生活垃圾量分别为约为30吨和50吨.
（1）当15km AP =时，求APB ∠的值；
（2）发电厂尽量远离居民区，要求PAB △的面积最大，问此时发电厂与两个垃圾中转站的距离各为多少？
.
【答案】（1）5
arccos 27
；（2）PA =，PB =【解析】 【分析】
（1）根据已知条件先计算出BP 的长度，然后利用余弦定理求解出cos APB ∠的值，从而APB ∠的值可求； （2）建立平面直角坐标系，根据条件分析得到P 的轨迹，由此确定出PAB △的面积最大值，从而可求解出发电厂与两个垃圾中转站的距离.
【详解】（1）根据条件可知：3050AP BP ⋅=⋅，所以9BP km =，
所以222225812565cos 2215927
AP BP AB APB AP BP +-+-∠===
⋅⨯⨯，所以5arccos 27APB ∠=； （2）以AB 中点为坐标原点，垂直于AB 方向为y 轴，建立坐标系如图所示： 设(),P x y ，()()8,0,8,0A B -，因为3050AP BP ⋅=⋅，所以5
3
AP BP =，
=
22165441024160x x y -++=，
所以2
2
34640x x y -++=，所以()2
217225x y -+=， 所以P 的轨迹是圆心为()17,0，半径为15的位于x 轴上方的圆， 所以当PAB △的面积最大时，此时P 的坐标为()17,15，
所以AP =
=BP =
=
【点睛】结论点睛：平面上给定两个定点,A B ，设P 点在同一平面上且满足()0,1PA
PB
λλλ=>≠，则P 的轨迹是个圆.
20. 已知点(1,0)A -､(1,0)B ，直线:0l ax by c ++=(其中,,a b c ∈R )，点P 在直线l 上.
（1）若a ､b ､c 是常数列，求||PB 的最小值；
（2）若a ､b ､c 是成等差数列，且PA l ⊥，求||PB 的最大值； （3）若a ､b ､c 是成等比数列，且PA l ⊥，求||PB 的取值范围. 【答案】（1
；（2
）（3）(1,)+∞. 【解析】 【分析】
（1）若a ､b ､c 是常数列，直线:10l x y ++=，PB 的最小值即为点()10
B ,到10x y ++=的距离； （2）若a ､b ､c 是成等差数列，()():220l x y a y c +++=直线恒过点()1,2M -，PA PM ⊥，点P 在以AM 为直径的圆上，利用圆的性质即可求最值； （3）若a ､b ､c 是成等比数列，则2b ac =，即0a c x y b b ++=，设0b c q a b
==≠，则2
0x qy q ++=，
0q ≠，设()00,P x y ，利用PA l ⊥，00111AP l y k k x q ⎛⎫
⋅=
⨯-=- ⎪+⎝⎭
，可得()001y q x =+，点P 在l 上可得2
000x qy q ++=，联立两式可得202
21q x q =-+，()()()222222
0000
111PB x y x q x =-+=-++将2
0221q x q
=-+代入整理求最值即可
. 【详解】（1）若a ､b ､c 是常数列，则a b c ==,且不等于0， 此时直线:0l ax by c ++=即10x y ++=，
PB 的最小值即为点(1,0)B 到10x y ++=的距离，
min PB =
=
（2）若a ､b ､c 是成等差数列，则2b a c =+，
所以直线:0l ax by c ++=即():220l ax a c y c +++=， 整理得：()():220l x y a y c +++=
所以2020x y y +=⎧⎨+=⎩ 可得1
2x y =⎧⎨=-⎩
，此时直线恒过点()1,2M -，
又因为PA l ⊥即PA PM ⊥， 所以点P 在以AM 为直径的圆上，
因为(1,0)A -，()1,2M -，所以圆心为()0,1-，半径
r ==，
圆
方程为()2
212x y ++=，PB 最大值即为点(1,0)B 到圆心()0,1-的距离再加半径，
所以max PB =
=
（3）若a ､b ､c 是成等比数列，则2b ac =，且0a ≠，0b ≠，0c ≠， 将0ax by c
两边同时除以b 得：0a c
x y b b
++=，
设
0b c
q a b
==≠，所以10x y q q ++=，
所以2
0x qy q ++=，0q ≠，
设()00,P x y ， (1,0)A -､(1,0)B ，001AP y k x =
+，1
l k q
=-，
因为PA l ⊥，所以00111AP l y k k x q ⎛⎫
⋅=
⨯-=- ⎪+⎝⎭
，可得()001y q x =+①， 又因为点P 在l 上，所以2
000x qy q ++=②，
将①代入②可得()220010q
x x q +++=，即()202120q x q ++=，
所以2
02
21q x q =-+，
所以()()()2
2
2
2220000111PB x y x q x =-+=-++
2
2
2
2
22222222
2222311111111q q q q q q q q q q ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=------+ ⎪+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
令211q t +=>，2
1q t =-，
所以()22
322
2
32244414t t t t t PB t t t t t t --+-⎛⎫⎛⎫=+-==-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 因为4
4y t t
=-
+在()1,+∞上单调递增， 的
所以44
41411
y t t =-
+>-+=，所以1PB >， 所以||PB 的取值范围是(1,)+∞.
【点睛】关键点点睛：若a ､b ､c 是常数列，则10x y ++=，PB 的最小值即为点(1,0)B 到
10x y ++=的距离，若a ､b ､c 是成等差数列可得直线l 恒过点()1,2M -，可得PA PM ⊥，点P 在以AM
为直径的圆上，利用圆的性质即可求最值，第三问属于难题，设
0b c
q a b
==≠，已知方程可化为20x qy q ++=，0q ≠，点P 在l 上可得
2
000x qy q ++=利用PA l ⊥，斜率成积为1-，可得()001y q x =+，联立两式可得2
02
21q x q =-+，将
202
21q x q
=-+代入()()()222222
0000111PB x y x q x =-+=-++可得 2
2
22222
31111q q q q q ⎛⎫⎛⎫=+---+ ⎪ ⎝+⎪⎝⎭⎭
，令211q t +=>，21q t =-，将2PB 用t 表示，求最值即可. 21. 设x 是实数，n 是整数，若1
2
x n -<
，则称n 是数轴上与x 最接近的整数. （1）数列{}n a 的通项为n a ，且对任意的正整数n ，n 是数轴上与n a 最接近的整数，写出一个满足条件的数列{}n a 的前三项；
（2）数列{}n a 的通项公式为n a n =，其前n 项和为n S ，求证：整数n a 数；
（3）n T 是首项为2，公比为
2
3
的等比数列的前n 项和，n d 是数轴上与n T 最接近的正整数，求122020d d d ++⋅⋅⋅+.
【答案】（1）11a =，22a =，33a =；（2）证明见解析；（3）12108. 【解析】 【分析】
（1）根据1
2
n a n -<
可求得数列{}n a 的前三项的值；
（2）求出()
12
n n n S +=
，证明出12n a -<可证得结论成立；
（3）由题意可得出1
2
n n d T -<
，计算出12d =，23d =，34d =，4565d d d ===，()67n d n =≥，由此可计算得出122020d d d ++⋅⋅⋅+的值.
【详解】（1）根据题意可知，在数列{}n a 中，1
2
n a n -<
， 所以，1112a -<
，可得113
22
a <<，11a =满足条件； 2122a -<
，可得235
22
a <<，22a =满足条件； 3132a -<，可得357
22
a <<，33a =满足条件；
所以，数列{}n a 的前三项可以是11a =，22a =，33a =； （2）n a n =，所以，()
12
n n n S +=
，
(
n n n -===
1
2
=
<=，
所以，整数n a
（3）由题意可得22132612313
n n
n T ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，12T =，2103T =，3389T =，413027T =. 由题意可知，12
n n d T -<
. 当1n =时，1122d -<
，可得135
22
d <<，则12d =； 当2n =时，210132d -
<，可得2172366
d <<，则23d =；
当3n =时，338192d -
<，可得36785
1818d <<，则34d =； 当4n =时，41301272d -
<，可得4233287
5454
d <<，则45d =； 当5n ≥时，令2323243
n
⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，可得2112112433n
⎛⎫≤-< ⎪⎝⎭，则
422681n T ≤<，则56n T <<. 令2116132n n T ⎡⎤⎛⎫=-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣
⎦，可得21312n ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则正整数n 的可能取值有5、6，
此时1152n T <<
，由1
2n n d T -<，可得1122n n n T d T -<<+，可得962
n d <<，即565d d ==；
令2116132n n T ⎡⎤⎛⎫=->⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣
⎦，可得21312n ⎛⎫< ⎪⎝⎭，则7n ≥且n *∈N ，
此时
1162n T <<，由12n n d T -<，可得1122n n n T d T -<<+，即13
52
n d <<，即()67n d n =≥. 综上所述，122020234536201412108d d d ++⋅⋅⋅+=+++⨯+⨯=.
【点睛】方法点睛：本题主要考查数列的新定义，处理此类问题时，通常是根据题中的新定义，结合已知结论进行推导.本题中第（3）问，根据“1
2
n n d T -<
”需要逐项求出{}n d 各项的值，在5n ≥时，要分1152n T <<
和
11
62
n T <<进行推导，属于难题.。