圆的极坐标方程--杨清孟

π），（ ， ） π 已知两点（ ， 例3 已知两点（2， ），（3，
3 求两点间的距离. B 求两点间的距离 2
π 解：∠AOB =
6 用余弦定理求 AB的长即可 的长即可. 的长即可 o
ALeabharlann x简单曲线的极坐标方程
如图，在极坐标系下半径为 的圆 如图，在极坐标系下半径为a的圆 的圆心坐标为(a,0)(a>0)，你能用 的圆心坐标为 ， 一个等式表示圆上任意一点的极 坐标(ρ θ 满足的条件 满足的条件？ 坐标 ρ,θ)满足的条件？
练习： 1、曲线的极坐标方程ρ＝4sin θ 化为直角坐标
2 2 方程＿＿＿＿＿＿＿＿＿
2.曲线极坐标方程ρ cos(θ -
x + ( y − 2) π 4 =
6
)=1化为直角坐
标方程＿＿＿＿＿＿＿＿＿
３ + y −2 = 0 x
例２： （１）直角坐标方程x + y − 2 x + 3 y = 0的极坐标
O
1、 1、直角坐标是 (x, y)
2 2 2
M(x, y)
ρ θ
x
极坐标是 (ρ,θ)
2、极坐标是 (ρ,θ) 、
y ρ = x + y , tanθ = ( x ≠ 0) x
直角坐标是 (x, y)
x=ρcosθ, y=ρsinθ
将下列直角坐标转化为极坐标 （1） （-1，3） （2） （-2，-2）
2 2
（２）直角坐标方程2 x－y＋１= 0的极坐标 方程为＿＿＿＿＿＿＿ 方程为＿＿＿＿＿＿＿ （４）直角坐标方程x =３的极坐标 方程为＿＿＿＿＿＿＿ （３）直角坐标方程x 2 + y 2 =９的极坐标
方程为＿＿＿＿＿＿＿ θ + 3ρ sinθ ρ －２ρ cos
２
=0
２ρ cosθ − ρ sinθ +1 = 0
的半径为r， 例1、已知圆 的半径为 ，建立怎 、已知圆O的半径为 样的坐标系， 样的坐标系，可以使圆的极坐标 方程更简单？ 方程更简单？
圆
求下列圆的极坐标方程 (１)中心在极点，半径为 ； 中心在极点， １ 中心在极点 半径为r；
心 的 极 径 与 圆 的 半 径 相 等
(２)中心在Ｃ(a,0)，半径为 ； ２ 中心在 中心在Ｃ ，半径为a； ( ( )中心在 π/2)，半径为 ； 中心在(a, 中心在 ，半径为a； )中心在Ｃ(a,θ )，半径为a 中心在Ｃ ，半径为 中心在
ρ =3
ρ cosθ = 3
练习：说明下列极坐标方程表示什么曲线 （１） ρ＝２cos(θ (2) (3)
π
4
)
ρ＝cos( -θ )
3
π
ρ＝3 sin θ (4) ρ＝６
例1: 极坐标方程分别是 ＝cosθ和 极坐标方程分别是ρ＝ 和
ρ＝sinθ的两个圆的圆心距是多少 ＝ 的两个圆的圆心距是多少
例 3： 已 知 一 个 圆 的 方 程 是 ρ＝5 3 co s θ − 5 sin θ 求圆心坐标和半径。
解：ρ＝5 3 cos θ − 5 sin θ两边同乘以ρ得
ρ ＝5 3ρ cos θ－5ρ sin θ即化为直角坐标为
2
x + y = 5 3x − 5 y
2 2
5 3 2 5 2 ) + ( y + ) = 25 化为标准方程是( x − 2 2 5 3 5 所以圆心为( ,− ), 半径是5 2 2
互化公式的三个前提条件： 互化公式的三个前提条件： 1. 极点与直角坐标系的原点重合 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的 轴的正半 极轴与直角坐标系的x轴的正半 轴重合; 轴重合 3. 两种坐标系的单位长度相同 两种坐标系的单位长度相同.
极坐标与直角坐标的互化关系式: 极坐标与直角坐标的互化关系式 设点M的直角坐标是 设点 的直角坐标是 (x, y) y 极坐标是 (ρ,θ)
2 2
M
探 究
O
C(a,0)
x
曲线的极坐标方程
一、定义：如果曲线Ｃ上的点与方程 定义：如果曲线Ｃ f(ρ,θ)=0有如下关系 ρ θ 有如下关系 (１)曲线Ｃ上任一点的坐标 所有坐标中 曲线Ｃ １ 曲线 上任一点的坐标(所有坐标中 至少有一个)符合方程 θ 符合方程f(ρ 至少有一个 符合方程 ρ,θ)=0 ； (２)方程 ρ,θ)=0的所有解为坐标的点 方程f(ρ θ 的所有解为坐标的点 ２ 方程 都在曲线Ｃ 都在曲线Ｃ上。 则曲线Ｃ的方程是f(ρ θ 则曲线Ｃ的方程是 ρ,θ)=0 。
ρ ＝r
ρ＝2acos θ ρ＝2asin θ
ρ＝２a cos(θ − θ 0 )
练习
以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为 为圆心， 为 以极坐标系中的点 为圆心 半径的圆的方程是
C
π A.ρ = 2cos θ − 4 C.ρ = 2cos (θ −1)
π B.ρ = 2sin θ − 4 D.ρ = 2sin (θ −1)