初中九年级数学教案-解直角三角形-“衡水赛”一等奖

课题：28.2解直角三角形
麻城市城东中学倪红兵
教学目标
1．使学生掌握直角三角形的边角关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形；
2．通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；
3．通过本节的学习，向学生渗透数形结合的数学思想，培养他们良好的学习习惯.
学情分析
本班学生对前面学过的三角函数基本知识点掌握较好，可以继续进行新授课。

重点难点
本节的重点和难点是直角三角形的解法.为了使学生熟练掌握直角三角形的解法，首先要使学生知道什么叫做解直角三角形，直角三角形中三边之间的关系，两锐角之间的关系，边角之间的关系.正确选用这些关系，是正确、迅速地解直角三角形的关键.
教学设计
思考：引例△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a,b,c,且b＝3,∠A＝30°，你还能求出那些未知元素呢？
设计意图：
数学知识是环环相扣的，课前预习能让学生为接下来的学习作很好的铺垫和自然的过渡。

带着他们的疑问来学习解直角三角形，去探索解直角三角形的条件，激发了他们研究的兴趣和探究的激情。

引入课题28.2解直角三角形
什么是解直角三角形
六个元素
一个直角（已知）三边两个锐角
定义：由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫
解直角三角形
设计意图：
让学生初步体会解直角三角形的含义、步骤及解题过程。

通过展示他们的思路让他们更好的体会已知直角三角形的两条边能解出直角三角形。

解直角三角形依据
(1)三边之间的关系： a2＋b2＝c2(勾股定理)
(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90
(3)边角之间的关系：sinA=a/c cosA =b/c tanA=a/b cotA=b/a
利用以上的关系式，只要知道其中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出其余的三个元素。

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°， AB=8 BC=4, 解这个直角三角形。

反思:已知一边、一锐角
（1）已知锐角及直角边（∠A，a）
则：∠B ；b= c=
（2）已知锐角及斜边（∠A，c）
则：∠B ；a= b=
如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC= 3 ,AC=33解这个直角三角形。

反思:已知两边
（1）已知两直角边（a，b）
则：c ；tanA= ∠B=
（3）已知直角边和斜边（a，c）
则：b ；sinA= ∠B=
设计意图：
（1）转化的数学思想方法的应用，把实际问题转化为数学模型解决
（2）巩固解直角三角形的定义和目标，初步体会解直角三角形的方法——直角三角形的边角关系（勾股定理、两锐角互余、锐角三角函数）使学生体会到“在直角三角形中，除直角外，只要知道其中2个元素（至少有一个是边）就可以求出其余的3个元素”
达标检测反思目标
1、在下列直角三角形中不能求解的是（）
(A)已知一直角边一锐角 (B)已知一斜边一锐角
(C)已知两边 (D)已知两角
2. 如图，小明为了测量其所在位置，A点到河对岸B点之间的距离，沿着与AB垂直的方向走了m 米，到达点C，测得∠ACB＝α，那么AB等于（）
(A) m·sinα米 (B) m·tanα米
(C) m·cosα米 (D)m/tanα米
3.边长为6cm的等边三角形中，其一边上高的长度为________cm.
【解析】一边上的高=6×sin60°=
设计意图：
这是这节课的重点，让学生归纳和讨论，能让他们深刻理解解直角三角形的有几种情况，必须满足什么条件能解出直角三角形，给学生展示的平台，增强学生的兴趣及自信心。

尝试中考
1.如图，在△ABC中，已知AC=6，∠ C=75°，∠B=45°，求:AB的长；
点睛：添加辅助线，“化斜为直”是我们常用的一种方法。

过点C作CD⊥AB于点D．∵∠ACB=75°，∠B=45°，∴∠A=60°．
则在Rt△ADC中，
3cm，AD=AC*cos60°=3cm，
CD=AC*sin60°= 3
3cm，
在Rt△BDC中，BD=CDtan45°=3
3）cm．
∴AB=AD+DB=（3+3
设计意图：（1）是基本应用.（2）是在三角形中的灵活应用.（3）是变形训练.考察学生对知识的认知和应用程度。

巩固提升
2、在Rt△ABC中，∠C为直角，AC=6，∠BAC的平分线AD=43解此直角三角形。

设计意图：
使学生巩固利用直角三角形的有关知识解决实际问题，考察建立数学模型的能力，转化的数学思想在学习中的应用，提高学生分析问题、解决问题的能力。

以及在学习中还存在哪些问题，及时反馈矫正。

总结提升
让学生自己总结这节课的收获，教师补充、纠正（课件展示）。

1、直角三角形解法，“解直角三角形”是由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程。

解直角三角形的条件是除直角外的两个元素，且至少需要一边，即已知两边或已知一边一锐角。

2、点睛：在求解直角三角形有关问题时，要先画出图形以利于分析解决问题。

选择关系式时要尽量利用原始数据，以防止“累积误差”和“一错再错”
3、优选关系式
知斜求直正余弦
知直求直正余切
知边求角要选好
能用乘法不用除
选用关系式归纳为：
已知斜边求直边，正弦余弦很方便；
已知直边求直边，正切余切理当然；
已知两边求一边，勾股定理最方便；
已知两边求一角，函数关系要选好；
已知锐角求锐角，互余关系要记好；
已知直边求斜边，用除还需正余弦，
计算方法要选择，能用乘法不用除。

设计意图：
学生回顾本堂课的收获，体会如何从条件出发，正确选用适当的边角关系解题。

作业
1.课后练习2，4，6，8
2.思考练习题
1、已知在△ABC中,∠C＝９０º∠A=60º，BC=5，BD是中线，则BD的长为_______
2、在△ABC中∠C＝９０º，CD ⊥AB 于DAD=4， sin ∠ACD=4/5 , CD=__ BC=__
3、△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，
(1)a＝4,，sinA＝2/5,求b,c,tanB
(2)a＋c＝12，b＝8，求a，c，cosB。