湖北省岳口高中2012届高三上学期期末复习数学(理)测试 5

否
输入A 1，A 2，A 3，A 4
i=i+1
开始
结束
输出S i<5？S ＝0,i ＝2
S ＝S+A i
是
乙班
甲班
8
9
15 8 7 4 1
3 5 7
16
9 9 5 00 2 4 7 91731
18岳口高中高三上学期期末复习数学（理）测试五
一、选择题:本大题共10小题，每小题5分,满分50分． 1.已知复数
z=1—i ，则1
22--z z
z 等于
A.2i B 。

-2i C 。

2 D 。

—2
2.已知集合1|{2
-=x
x M ≤0｝
，1
1
|{-+=x x x N ≤0｝,则下列关系中正确的是A.M=N B.M ⊂≠ N C 。

M ⊃≠N D.M∩N=φ
3。

2011年河南省中小学教师全员进行了远程研修，为了调查中小学
教师的年龄结构,随机抽取调查了100名教师的年龄，得到如图所 示的频率分布直方图.则年龄在［40，45）岁的教师的人数为 A 。

5 B.10 C.20 D 。

30
4.已知α为锐角,5
5
)23sin(-
=+πα，则=-)45tan(πα
A.-3
B.3
C.3
1 D 。

3
1-
5。

“21<<a ”是“对任意的正数x ，都有x
a x +2≥1”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件C 。

充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.由曲线3
2
,x y x y ==围成的封闭图形的面积为
A 。

121 B.4
1 C 。

3
1 D 。

127
7.在等差数列}{n
a 中，前n 项和为n
S ，且3,201110072011
=-=a S
，则2012S 的值为
A 。

2012
B 。

1006 C.-1006 D.—2012
8.随机抽取某中学甲、乙两个班各10名同学,测量他们的身高（单位：cm ）后获得身高数据的茎叶图如图甲所示，在这20人中，记身高在［150，160）,［160，170)，［170，180），［180,190]内的人数依次为4
3
2
1
,,,A A A A ，图乙是统计样本中身高在一定范围内的人数的算法流程图，则下列说法正确的是
A 。

由图甲可知甲、乙两班中平均身高较高的是甲班，图乙输出的S 的值为18
B 。

由图甲可知甲、乙两班中平均身高较高的是乙班，图乙输出的S 的值为16
C 。

由图甲可知甲、乙两班中平均身高较高的是乙班,图乙输出的S 的值为18
D 。

由图甲可知甲、乙两班中平均身高较高的是甲班，图乙输出的S 的值为16
9.已知函数f(x)=asinx+bcosx(a 、b 为常数，a≠0，x ∈R )在4
π=x 处取得
最小值，则函数)4
3(x f y -=π是
A 。

偶函数且它的图象关于点)0,(π对称
B 。

偶函数且它的图象关于点
)0,2
3(
π
对称
C 。

奇函数且它的图象关于点)0,2
3(π
对称 D.奇函数且它的图象关于点)0,(π对称
10。

设变量
x ，y 满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≤--≥-≥+,32,1,
3y x y x y x 且目标函数
z =ax+y 仅在点（2,1)
处取得最小值，则实数a 的取值范围是
A.（4,5) B 。

（—2，1） C.（-1，1） D.（—1，2)
11.已知函数
⎩⎨
⎧>-≤-=-),
0)(1(),
0(12)(x x f x x f x 若方程f(x ）=x+a 有且只有两个不相等
的实数根，则实数a 的取值范围为
A 。

（—∞,0]
B 。

［0，1) C.(-∞,1) D 。

[0，+∞）
12.已知函数y=f(x ）是定义在R 上的奇函数，当x≤0时，f （x ）=2x+x 2，
若存在正数a,b ,使得当x ∈［a,b ］时，f(x)的值域为［a
b 1
,1］，则a+b =
A 。

1
B 。

2
5
1+ C. 2
51+
D.
2
5
3+ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

将答案填在
答题卷里相应题号中的横线上。

）
13。

在11
3
)23(x x -的展开式中任取一项，则所取项为有理项的概率
P= 。

14。

已知两单位向量2
1
,e e 的夹角为60°，则向量
2121232e e b e e a -=+=与的夹角为。

15。

在送医下乡活动中，某医院安排2名男医生和2名女医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名，且男医生不安排在同一乡医院工作,则不同的安排方法总数为 。

(用数字作答）
16.给出下列等式：2
2112
1213-=⨯⨯; 2
223112132421213⨯-=⨯⨯+⨯⨯；
3
322411214352132421213⨯-=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯,……
由以上等式推出一个一般结论：
对于n
n n n N
n 2
1
)1(22132421213,
2*
⨯++++⨯⨯+⨯⨯∈ = 。

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16。

(12分） 设x ∈R,函数)02
,0)(cos()(<<->+=ϕπ
ωϕωx x f 的最小正周期为
π,且2
3
)4
(=
πf （1）求ϕω和的值;
（2）在给定坐标系中作出函数],0[)(π在x f 上的图象； （3）若x x f 求,2
2
)(>
的取值范围． 17．（12分）一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数
12345
A a a a a a =，其中A 的各位数字中，)5,4,3,2(,11
==k a a
k 出现
0的概率
为13
，出现1的概率为23。

记1
2
345a a
a a a ξ=++++（例如：10101A =，即表示
1531===a a a ，042==a a ，而3ξ=)，当仪器启动一次时,
（1）求3ξ=的概率； （2）求ξ的概率分布列；
(3）若启动一次出现的数字为10101A =则称这次试验成功，求5次重复试验成功的次数的期望。

18．（12分）若向量(3sin ,0)(cos ,sin )(0)m x n x x ωωωω==->,在函数()()f x m m n t
=⋅++的图象中,对称中心到对称轴的最小距离为,
4π
且当[0,],()
3x f x π
∈时的最
大值为1。

（I ）求函数()f x 的解析式；
（II)求函数()f x 的单调递增区间。

19．(12分)在数列{}n a 中,12a =，1431n n a a n +=-+，n ∈*N ．
(1)证明数列{}
n
a
n -是等比数列；
(2）设数列{}n
a 的前n 项和n
S ，求n n S S
41
-+的最大值．
20．(13分)如图，已知椭圆2
22:1(1)
x C y a a +=>的上顶点为A ,右焦点为F
,直线
AF 与圆:M 22
6270x y x y +--+=相切。

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若不过点A 的动直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，且0,AP AQ ⋅=求
证：直线l
21．（14分）设1x 、2x )(21x x ≠
(1)若2,121=-=x x ,求函数)(x f （2)若22||||21=+x x ，求b 的最大值．
(3）若21x x x <<，且a x =2，)()(')(1
x x a x f x g --=,
求证：
2
(32)12
|()|a a g x +≤
．
16．解：（1）周期πω
π
==2T ,2=∴ω，
2
3
sin )2cos()42cos()4(=
-=+=+⨯=ϕϕπϕππf ，
0,.2
3
π
π
ϕϕ-
<<∴=-
（2）)3
2cos()(π-=x x f ，列表如下：
3
2π-
x 3
π
-
2π π
π23 π3
5 x 0
6
π π12
5 π3
2 π12
11 π
f （x ） 21
1 0 －1 0
2
1 图象如图：…………8分
（3)∵2
2)3
2cos(>
-πx ,
4
23
24
2π
ππ
π
π+
<-
<-∴k x k
πππ
π12
72212
2+
<<+
k x k z k k x k ∈+
<<+
,24
7
24
ππ
π }.,24
7
24|{Z ∈+
<<+
∴k k x k x x πππ
π的范围是
17．解:（1）8124)31()32()3(2224=⋅==C p ξ
（2）ξ的可能取值为1,2，3，4，5， 411(1)()381p ξ=== 81
8)32()31()2(3
14=⋅==C p ξ
8124)31()32()3(22
24=⋅==C p ξ 8132)31()32()4(334=⋅==C p ξ
4216
(5)()381
p ξ===
∴ξ的分布列为:
ξ
1
2
3
4
5
p
181
881
2481
3281
1681
|0|0A =｜的概率2
2
124()()33
81
P ==
依题意：)81
4,5(~B η
∴η的数学期望为2081
E η=．
18．解析：（I)由题意得
()()f x m m n t =⋅++2
m m n =+⋅
23sin 3cos 333
cos 22222
3
3)432x x x t
x x t x t
ωωωωωπω=+⋅+=
-++=-++分
∵对称中心到对称轴的最小距离为4π
()f x ∴的最小正周期为T π
=
2,12π
πωω∴
=∴=
………………6分
19．证明： (Ⅰ)由题设
1431
n n a a n +=-+,得
1(1)4()
n n a n a n +-+=-，n ∈*
N ．
又1
11a -=，所以数列{}
n
a n -是首项为1，且公比为4的等比数列．---6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知
1
4n n a n --=，于是数列{}n a 的通项公式为14n n a n
-=+．
所以数列{}n a 的前n 项和
41(1)32n n n n S -+=+．—---—-—---—-——8分 1141(1)(2)
41(1)443232n n n n n n n n S S ++⎛⎫-++-+-=+-+ ⎪
⎝⎭
＝
)43(21
2-+-n n
故n ＝1，最大0． —--——-—-—-—---—-—---12分
19．解答:解法一：
（1）取BC 中点O ,连结AO ．
ABC △为正三角形，AO BC ∴⊥．
正三棱柱11
1
ABC A B C -中，
平面ABC ⊥平面11
BCC B ，
（2）设1
AB 与1
A B 交于点G ，在平面1
A BD 中，作1
GF A D ⊥于F ，连结AF ，
由(Ⅰ)得1
AB ⊥平面1
A BD ．1
AF A D ∴⊥，
AFG ∴∠为二面角1A A D B --的平面角．——------—---—--—-—-———8
分
在1
AA D △中，由等面积法可求得
45
5AF =
又
11
22AG AB =
=，
210
sin 4
455
AG AFG AF ∴=
==∠．
所以二面角1
A A D
B --的正弦大小
4
10-——--——-——-———---—-----—-12分
解法二：
（1）取BC 中点O ,连结AO ．
ABC △为正三角形,AO BC ∴⊥．
在正三棱柱11
1
ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11
BCC B ，
AD ∴⊥平面
11BCC B ．———-----—----—-———--—--———------—--————2分
取1
1
B C 中点1
O ，以O 为原点,OB ，1
OO ，OA 的方向为x y z ，，轴的正方向
建立空间直角坐标
系,-——-—--—-———-——----—-—----—-—---—-——-—-—-—3分
则(100)B ，
，，(110)D -，，，1
(023)A ，，,(003)A ，，，1
(120)B ，，，
21．（Ⅰ）将圆M 的一般方程22
6270x y x y +--+=化为标准方程
22(3)(1)3x y -+-=，圆M 的圆心为(3,1)M
，半径r =
由(0,1)A
,(,0)(F c c =得直线:1x AF y c +=，
即0x cy c +-=，
由直线AF 与圆M 相切,
∴
c =
或
c =(
舍
去
）。

---—---—-——--——-——-———-———-——--——--2分
当c = 2213a c =+=，
故
椭圆
C
的
方
程
为
2
2: 1.
3x C y +=
----—————--—————--———-—-———-——-—-4分
（方法二）由题直线l的斜率存在，则可设直线l的方程为：
∉∴)1
m≠,
A l
=+(0,1),
(
y kx m
22．解：
(1)
)0(23)('22>-+=a a bx ax x f ∵2,121=-=x x 是函数)(x f 的两个极值点,
∴0)1('=-f ，0)2('=f ．∴0232=--a b a ,04122=-+a b a ，
解得9,6-==b a ．∴
x x x x f 3696)(23--=．-——-—-—-—----—---—-4分 （2)∵21,x x 是函数)(x f 的两个极值点,∴0)(')('21==x f x f ．
∴21,x x 是方程02322=-+a bx ax 的两根． ∵32124a b
+=∆，∴0>∆对一切R b a ∈>,0恒成立．a b
x x 3221-=+， 321a
x x -=⋅,
（3)∵21,x x 是方程0)('=x f 的两根， ∴))((3)('21x x x x a x f --=， ∵321a x x -=⋅，a x =2，∴311-=x ． ∴|]1)(3)[31(||)31())(31(3||)(|--+=+--+=a x x a x a a x x a x g
∵21x x x <<,
)133)(31(|)(|++-+=a x x a x g
)313)(31(3+-+-=a x x a a a a a x a 3143)2(3232+++--=
a a a 314323++≤12)23(2
+=a a ．—--—-—-——————--———---—---———-—-12分。