辽宁省大连市第八中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题

上的点
O
处
(OA
=
AB,
OA
^
AB )
时，根据场上形势判断，有
uuur OA
、
uuur OB
两条进攻线路可
选择，若选择线路
uuur OA
，甲到达最佳射门位置
P
时，需要带球距离为（
）
A． 72 -18 3 码 C． 72 -16 3 码
B． 72 -15 5 码 D． 72 -16 5 码
7．已知 sina =
z+z
i
=
3 2
+
i i
.
( ) r r
rr
18．已知非零向量 a ， b 满足 a = 2 b
，且
rr a-b
r ^b.
（1）求
r a
与
r b
的夹角；
rr
r
（2）若 a + b = 14 ，求 b .
19．如图所示，为测算某自然水域的最大宽度（即 A 、 B 两点间的距离），取相距 1500 米的 C 、 D 两点作为观测点（ A 、 B 、 C 、 D 四点在同一平面内）.测得
11．已知
a
=
31 32
，
b
=
cos
1 4
，
c
=
4 sin
1 4
，则（
）
A． b > c
B． c > a
C．b > a
D． a > c
12．在 VABC 中， AC = 3 ， BC = 4 ，∠C = 90o ， P 为 VABC 内任意一点（含边界），
且
PC
=
1
，则
uuur PA
×
uuur PB
的值可能是（
）
A． -1
B． -4
C． -3
D． -2
三、填空题 13．求值 sin600o =
14．在 VABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，面积为 3
2
，c
=
3，
A
=
π 4
，则
b= ．
试卷第31 页，共33 页
( ) 15．设向量
r a
，
r b
的夹角的余弦值为
1 3
，且
r a
==
5 5
´
3 10 10
-
2
5
5
´
æ ççè
-
10 10
ö ÷÷ø
=
2. 2
答案第31 页，共22 页
所以
b
=
π 4
.
故选： C . 【点睛】本题考查三角函数求值，关键是正弦两角差公式的灵活应用，属于中档题. 8．C
【分析】利用二倍角的正弦公式结合正弦定理可得出 3c cosC = a ，利用余弦定理可得出关
辽宁省大连市第八中学 2022-2023 学年高一下学期期中考
试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
( ) 1．点
3, -1
是角q
的终边上一点，则
sin
æ çè
p 2
+
q
ö ÷ø
=
（
）
A． 3 2
B． -
3 2
r =1， b
= 3 ，则
rr 2a + b
r ×b =
．
16．关于 x 的方程 (a + x)sin (a + x) - (b + x)sin (b + x) = 0 的一个解 x =
四、解答题 17． i 为虚数单位
(1)已知复数
z0
=
3-i 2+i
，求
z0
的虚部.
( ) (2)在复数范围内解方程 z 2 +
( ) ( ) r
r
rr
【详解】因为 a = 1, 3 ， b = 2 3, 2 ，则 a ×b = 2 3 + 2 3 = 4 3 ，
所以，
r a
r b 在
方向上的投影向量为
r a
cos
rr a,b
r × br
b
=
r a
×
rr a×b rr a×b
2
r b
=
rr
a×b
r b
2
r b
( ) =
4 12
时，
x
Î[0,
2π )
，故解的个
数是 4 个，故选 C.
【点睛】本小题主要考查特殊角的三角函数值，考查正切函数有关概念及运算，属于基础
题. 6．D
【分析】选择线路
uuur OA
，设
AP
=
t
(t
>
0)
，利用基本不等式结合结合两角差的正切公式求出
ÐEPF 正切值的最大值，利用等号成立的条件求出 t 的值，即可得解.
A． 2 2
B． 5
C． 2
D． 3
二、多选题
9．对于函数
f
(
x)
=
sin
æ çè
2x
+
p 3
ö ÷ø
(
x
Î
R)
，下列结论正确的是（
）
A．最小正周期为 p
试卷第21 页，共33 页
B．函数图象的对称中心为
æ çè
kp 2
-
p 6
, 0 ö÷ø, k
ÎZ
C．单调递增区间为
éêëkp
+
p 12
, kp
3 +4
2
3, 2
=
æ ççè
3 2
,
3 2
ö ÷÷ø
.
答案第11 页，共22 页
故选：C. 4．C 【分析】根据正弦定理边化角可得 sin Acos C + sin C cos A = sin C ，利用两角和公式进行化 简计算即可. 【详解】由正弦定理得： sin Acos C + sin C cos A = sin C ，\sin(A + C) = sin C ，
ö ÷ø
=
3 在区间[0，2π）上的解的个数是
A．2
B．3
C．4
D．5
6．足球是一项很受欢迎的体育运动.如图，某标准足球场底线宽 AB = 72 码，球门宽
试卷第11 页，共33 页
EF = 8 码，球门位于底线的正中位置.在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要
找到一点 P ，使得 ÐEPF 最大，这时候点 P 就是最佳射门位置.当攻方球员甲位于边线
5 5
，
sin
(a
-
b
)
=
-
10 ，a, b 均为锐角，则角 b 等于 10
A． 5π 12
B． π 3
C． π 4
D． π 6
8．在 VABC 中，角 A 、 B 、 C 所对的边为 a 、 b 、 c .已知 b = 2 ， c = 4 ，
2sin A = 3sin 2C .设 A 的平分线 AD 与 BC 交于点 D ，则 AD 的长为（ ）
=
AB AC
=
BD CD
=
c b
= 2，
所以
BD
=
2CD
，所以
CD
=
1 3
a
=
2.
在VACD 中， AD2 = AC2 + CD2 - 2AC ´ CD cosC = 4 + 2 - 2´ 2´
2´
2 4
=
4，
所以 AD = 2 . 故选：C. 9．AB
\sin B = sin C ，Q三角形内角和等于 180°，\ B = C ，
故选：C. 5．C
【分析】先利用特殊角的三角函数值求得
2
x
+
π 3
的值，进而求得
x
的值，对
k
进行赋值求
得在[0, 2π) 内解的个数.
【详解】依题意可知 2πx + π3π= k
+
3
，故
x
=
kπ 2
，当
k
=
0,1, 2, 3
数
g(
x)
在
éêë0,
p 2
ù úû
上的最大值和最小值．
21．设函数 f (x) = 12cos2 x - 4 3 sin x cos x - 5 .
（1）求 f (x) 的最小正周期和值域.
（2）在锐角 VABC 中，角 A ､B ､C 的对边长分别为 a ､b ､c .若 f (A) = -5 ， a = 3 ，求
ÐADB = 135o ， ÐBDC = ÐACD = 15o ， ÐACB = 120o .测绘人员根据以上数据，先推算 出 B 、 D 两点间的距离，然后就可以测算出 A 、 B 两点间的距离.请你完成以下运算.
试卷第41 页，共33 页
(1)求 BD 的长（单位：米）；
(2)求水域的最大宽度 AB 的长（单位：米）.
【详解】若甲选择线路
uuur OA
，设
AP
=
t
(t
>
0)
，
因为 AE = 32 ， AB = OA = 72 ， AF = AE + EF = 32 + 8 = 40 ，
答案第21 页，共22 页
tan ÐAPE
=
AE AP
=
32 t
， tan ÐAPF
=
AF AP
=
40 t
，
所以， tan ÐEPF
=
tan (ÐAPF
- ÐAPE)
=
tan ÐAPF - tan ÐAPE 1+ tan ÐAPF tan ÐAPE
=
40 t
-
32 t
1
+
1280 t2
=
t
8
+
1280 t
£ 2
8
t
×
1280 t
=
8 32
5
=
5 20
，
当且仅当
t
=
1280 t
时，即当
t
=
16
5 时，等号成立，此时， OP = OA - AP = 72 -16
( ) r
20．已知向量 a =
sin x,
3
r ， b = (1,cos x) ．
(1)若
r a
^
r b
，求
sin
2x
的值；
(2)令
f
(x)
=
rr a×b
，把函数
f
( x)
的图像上每一点的横坐标都缩短为原来的一半（纵坐标
不变），再把所得的图像沿 x 轴向左平移 p 个单位长度，得到函数 g(x) 的图像，求函 6
于 a 的等式，解出 a 的值，求出 cos C 的值，求出 CD 的值，再利用余弦定理可求得 AD 的 长. 【详解】因为 b = 2 ， c = 4 ， 2sin A = 3sin 2C ，则 2sin A = 6sin C cos C ，
( ) 由正弦定理可得
3c
cos
C
=
a
，即
3c
×
a2
+ b2 2ab
均为锐角，所以
-
p 2
<
a
-
b
<
p 2
.
又sin (a - b ) = -
10 10
，所以
cos
(a
-
b
)
=
3 10 10
.又 sina =
5 5
，所以 cosa
=
25 5
.
所以sin b = sin éëa - (a - b )ùû = sina cos (a - b ) - cosa sin (a - b )
3 2
,
3ö 2 ÷÷ø
B．
æ ççè
3 4
,
3 4
ö ÷÷ø
3 D． 4
4．在
中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，
，则△ABC 的
VABC
a cos C + c cos A = c
形状为（ ） A．直角三角形 形
B．等边三角形
C．等腰三角形
D．等腰直角三角
5．方程
tan
æ çè
2x
+
π 3
=
3 2
故选：A.
2．B
【分析】利用复数的几何意义可得出
ìsin q íîcosq
> <
0 0
，利用象限角与三角函数值符号的基本关系
判断可得出结论.
【详解】因为复数
z
=
2
sin
q
+
i
cosq
(q
Î
R
)
对应的点在第四象限，则
ìsinq íîcosq
> <
0 0
，
因此，角q 是第二象限角.
故选：B. 3．C 【分析】利用平面向量数量积的坐标运算，结合投影向量公式可求得结果.
c2
= a ，即 3c
a2 + b2 - c2
= 2a2b ，
( ) 代入数据可得12 a2 -12 = 4a2 ，解得 a = 3 2 ，
由余弦定理可得 cos C
=
a2
+ b2 - c2 2ab
=
18 + 4 -16 2´3 2´2
=
2， 4
因为 AD 是角 A 的平分线，
S△ABD S△ACD
5，
( ) 因此，若选择线路
uuur OA
，甲到达最佳射门位置
P
时，需要带球距离为
72 -16
5
码.
故选：D. 7．C
【分析】由同角三角函数的平方关系和a, b 的范围求出 sin (a - b ) 和 cosa ，再利用正弦两
角差公式求出 sin b ，从而确定出 b 的值.
【详解】解：因为a, b
C．
1 2
D．
-
1 2
2．复数 z = 2sinq + i cosq (q Î R) 对应的点在第四象限，则角q 是（ ）
A．第一象限角 C．第三象限角
B．第二象限角 D．第四象限角 Nhomakorabea( ) ( ) r
r
3．向量 a = 1, 3 在向量 b = 2 3, 2 上的投影向量为（ ）
A． 3 2
C．
æ ççè
+
7p 12
ù úû
,
k
Î
Z
D． f ( x) 的图象可由函数 y = sin 2x 的图象向左平移 p 个单位得到
3
10．在 VABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，根据下列条件判断三角 形的情况，则正确的是（ ）
A． b = 19 ， A = 45° ， C = 30° ，有两解 B． a = 3 ， b = 2 2 ， A = 45° ，有两解 C． a = 3 ， b = 2 2 ， A = 45° ，只有一解 D． a = 7 ， b = 7 ， A = 75° ，只有一解