浅谈量子力学课程中波函数几率解释

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教改教法
浅谈量子力学课程中波函数几率解释
吴义恒
李伶俐占生宝
（安庆师范学院物理与电气工程学院
安徽·安庆
246133）
中图分类号：G642
文献标识码：A
DOI ：10.16871/ki.kjwhb.2016.04.025
基金项目：安徽省自然科学重大研究项目（光纤激光被动锁相相干与同步合成技术研究），编号：KJ2015ZD28。

作者简介：吴义恒（1983—），男，安徽宿州人，博士，讲师，从事理论物理的研究。

摘要量子力学专业是高等院校物理学、物理化学等相关专业的一门非常重要的专业必修课。

论文对量子力学中关于波函数几率解释进行了探讨。

笔者在教学实践中深刻认识到，深刻地理解波函数几率解释有助于学生对于量子力学本门课程的掌握与理解。

关键词波函数物质波几率解释
A Brief Discussion on the Probability Interpretation of Wave Function in "Quantum Mechanics"//Wu Yiheng,Li Lingli,Zhan Shengbao
Abstract "Quantum Mechanics"is an important professional and compulsory course for physics,physical chemistry and related majors.This paper makes a simple summary and analysis for probability interpretation of wave function.It is proved in the writers'experience of teaching that a deep understanding of the probability interpretation of wave function may have a value to help students'mastery and understanding of "Quantum Mechan-ics".
Key words wave function;matter waves;probability interpretation
1引言
量子力学的起源可以追溯到1900年，德国物理学家普朗克(M.Planck)提出“能量子”概念并成功解释了黑体辐射现象，1905年爱因斯坦（A.Einstein ）在普朗克（M.Planck ）“能量子”概念的启发下提出“光量子”的概念成功解释了光电效应，这标志着一个新的物理学时代的开始。

自量子力学建立以来，得到了广泛的应用，在研究原子结构、固体理论、半导体、超导体、量子信息等都是以量子力学作为理论基础，一些边缘学科、前沿学科如：量子光学、量子化学、量子生物学、量子信息学都离不开量子理论。

可以说量子力学自建立以来就成为物理学乃至自然科学发展的动力。

对于教师来说怎样提高量子力学课程的课堂教学效果是一项非常重要的工作。

在量子力学课程中微观粒子的“波粒二相性”与“波函数几率解释”是两个非常重要的知识点，根据笔者讲授量子力学的经验和体会，要使学生能够准确地理解“波粒二相性”与“波函数几率解释”，而对于高等院校本科生学习量子力学，很多学生反映对于量子力学的一些基本概念和原则理解起来非常吃力，如“能量子”、“不确定原理”、“叠加原理”、“波函数几率解释”，从经典的“轨道”到“概率”，很多学生理解都不够透彻。

由于量子力学课程的许多基本概念与经典物理学存在巨大的差异，对于刚接触量子力学课程的本科生来说，对量子力学课程中的基本概念的理解存在着相当大的困难，在给本科生讲授过程中，如果使用不恰当的
教学方法,很容易使学生对一些基本概念的理解产生误导,最终给学生在整个量子力学课程学习过程中产生较大的困难，因此在教学过程中,如何使学生能够准确地理解这些内容是量子力学课程讲授必须要解决的关键问题。

根据笔者在量子力学讲授过程中切身体会，在讲授“波函数几率解释”这一知识点时首先从概念的提出过程中一些有趣的历史，这样可以激发学生对本门课程的兴趣，调动学生学习的积极性，从近几年的教学效果来看，确实对量子力学课程的教学有很大的帮助，进而提高了量子力学课程的整体教学效果。

鉴于“波粒二相性”与“波函数几率解释”在整个量子力学课程的教学中，具有举足轻重的地位，笔者首先介绍微观粒子波粒二相假说与波函数几率解释的历史背景，接着列举历史上微观粒子波函数解释的几个典型错误，最后从电子的衍射实验所揭示的微观粒子波粒二相性的实验现象入手，引入微观粒子的波函数，这样可以使学生能够较容易地理解和接受波函数的几率解释。

2微观粒子状态的描述
1924年德布罗意在巴黎大学提交的“量子理论的研究”的博士论文中写到“整个世纪以来，在辐射理论上，比起波动的研究方法来，过于忽略了粒子的研究方法；在实物理论上，是否发生了相反的错误呢，是不是我们关于粒子的图像
想的太多，而过分地忽略了波的图像呢”[1]
，对于德布罗意的想法，很多人认为是异想天开，没有认真对待，但得到了爱因斯坦的支持，认为很有独创精神。

德布罗意在博士毕业的论文答辩会上，答辩委员会成员提问怎么验证这一异想天开的观念。

德布罗意答道：“可以利用微观粒子例如电子在晶体表面的衍射实验，来验证电子的波动效应。

”实验物理学家道威利尔（Dauvillier ）曾利用阴极射线管做了类似的实验，但没有得到预期的效果。

仅在三年后，1927年，戴维森与革末在贝尔实验室做了电子的衍射实验，证实了物质波的存在[2]。

在德布罗意假说被接受之前，科学界认为衍射只是波特有的性质。

微观粒子波粒二相性使人们得到了深刻意到：电子、原子、大分子等微观世界粒子不仅具有人们所熟知的其粒子性，而且还具有波所具有的独特性质如干涉、衍射等。

由于电子、原子、大分子等微观世界粒子具有粒子性和波动性，人们自然意识到要描述电子、分子、原子、大分子等微观粒子的运动状态，其必然要与经典物理学中利用加速度、速度、坐标等物理量描述粒子的运动状态不同。

这就要求在描述具有波粒二相性的微观粒子运动时，就要抛弃原有的思想和概念，来描述与经典物理中截然不同的物理图像，那么粒子与波到底有什么关系呢？微观粒子所表现的波动性,究竟应该怎样理解呢?德国物理学家波恩对物质波
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总第347期2016年4月（中）
作了正确的解释。

人们对于粒子波粒二相性的认识，曾经过一场激烈的辩论，包括波动力学的创始人薛定谔（Schrodinger ），德布罗意（de Brogle ）等在内的许多人，其中最著名的是爱因斯坦与波恩的辩论，波恩（M.Born ）于1926年提出波函数的统计解释，认
为
是粒子出现在空间某处的概率，爱因斯坦完全不同意波恩的几率解释，爱因斯坦认为量子力学体系虽然，可是有一种内在的声音告诉我，它不是真实的东西，这个理论所说的很多，但是它一点都没有使我们更接近这个
恶魔，我无论如何深信上帝不会掷色子”[3]。

经过很长时间的探讨，概率波的观点逐渐被人们所接受。

而对于物质与波的关系历史上曾出现下面几种典型的错误认识。

（1）描述微观粒子的波由大量微观粒子构成：
这种观点认为描述微观粒子的波与经典物理中所描述的波一样，如常见的水波，声波，都是分子在空间不同的分布密度不同而形成的一种疏密相间分布。

这种认识似乎有一定的道理，但经不起实验的验证，它不能解释在电子衍射实验中当电子流密度很小，以至于电子一个一个长时间通过小孔，在实验所允许足够长的情况下，衍射屏上也能够观察到衍射图样。

这种情况证明衍射的发生不是很多电子在空间聚集在一起时才衍射屏上才能出现衍射图样，这说明单个电子就具有波动性。

波由大量微观粒子构成的这种解释片面地强调了微观粒子的粒子性，而忽视了微观粒子的所具有的波动性。

（2）粒子是由波组成的：
这种观点认为电子是某一种波，它所占据空间几乎接近于一个真正电子的所占据的空间，且波速与电子运动速度相同，把这类波是各种波数（长）平面波的迭加，这种波可以充满整个空间，这是因为平面波振幅与位置无关。

把这类波形象地叫做“波包”因此呈现出干涉和衍射等波动现象。

这种观点，一开始被很多人接受，但很快就被放弃，如果电子、原子、大分子等微观粒子由波所构成，那么电子、原子、大分子等自由微观粒子一定会充满整个空间，这种解释与实验事实相冲突，因此这种解释也很快就被摒弃。

3波恩的波函数统计解释（电子的衍射实验）
在经典物理学中，对于质点状态的描述方式，我们用质点的坐标和动量两个量来描写粒子的状态，它突出了质点的粒子性。

而在量子力学中，微观粒子的坐标和动量同时在变化，不可能同时具有某个确定的值，这是微观粒子具有波粒二象性的结果，所以对于微观粒子状态的描述方式，不可能还沿用经典物理学中质点运动状态的描述方式，即无法同时用粒子坐标和动量的确定值来描写粒子的运动状态。

因而质点状态的经典描述方式不适用于对微观粒子运动状态的描述，必须用较复杂的波来描述。

通常情况下，我们可以用一个函数来描述粒子的波，这个函数就被称为波函数。

为了能够定量的描述两字体系的状态，往往要求用来描述体系状态的函数，能够预言出量子体系所有力学量的取值几率分布及其随时间的变化，用来描述状态的函数，在量子理论中成为波函数。

我们以自由粒子为例来分析能够描述自由粒子的运动状态的波函数，假设一质量为m 自由粒子，由于没有受到其它力场的作用，该自由粒子具有确定的动量，根据非相对论性能量动量关系式，
按德布罗意
关系式，与该自由粒子相应的德布罗意波具有确定的波
矢
和确定的角频率，表明自由粒子的运动伴随着
平面波动。

我们知道，频率为v ，波长为时姿，沿x 方向传播的平面波可用下式表
示
写成复数形
式，我们得到能够描述自由粒子运动状态的波
函数。

它是一个位置和时间的函数。

而对于波函数所描述的物理意义，可以从戴维孙和汤姆逊电子衍射实验进行讲述。

（1）当调节电子衍射实验装置，使入射电子流强度很小，当一个电子到达显示屏的某一点处，我们无法预言下一个电子将会出现在显示屏的位置，开始时电子在衍射屏上的分布是杂乱无章的没有规律可循，显示电子的粒子性，但随着到达衍射屏上电子的数目不断增多，衍射屏显现出有规律的衍射条纹；
（2）当调节实验装置使许多电子一次放出，很快在衍射屏上出现衍射条纹。

波动观点：衍射花样的强度分布
用描述，明纹
处大，暗纹
处小。

粒子观点：明纹处电子出现的概率大，暗纹处电子出现的概率小。

通过电子的衍射实验可以得出，电子的运动表现出统计规律性，在衍射屏上出现亮条纹的地方，就是电子在该处出现的电子较多的地方，较暗的地方就是电子出现数目较少的地方，换句话也可以说，衍射屏上出现较亮条纹的地方，电子在该处出现的概率较大，衍射屏上出现较暗条纹的地方，也就是电子在该处出现概率小。

从波动观点来分析，衍射条纹较亮或者较暗的地方就是波的强度加大或者叫小的地方。

通过以上的分析可以得出，描述微观粒子的波在空间某处的强度，与该处出现粒子的概率成正比，也就是说与粒子的位置概率成正比，因此可以把描述微观粒子的波称为概率波。

在电子衍射实验中，显示屏上r 点附近衍射条纹的强度与该点附近出现电子的数目成正比，如果用ψ（r ）描述衍射波波函数，可以与经典物理学的光学类比，可以
用描述衍射屏上衍射条纹的强度，但其表示的物理意义与经典物理学中所描述的波的强
度不同。

表示衍射屏上在r
点附近电子出现几率的大小，确切的
说△x △y △z 表示在r 点处，体积元△x △y △z 中找到粒子的几率。

所以，描写微观粒子的波可以认为是几率波，它表示微观粒子运动的一种统计规律性，这种观点是1926年德国物理学家Born 首先提出的波函数的统计解释[4]。

4总结
本文通过对微观粒子状态描述的讲解，介绍了历史上关于物质与波关系的几种典型错误解释，通过对电子衍射的实验事实的阐述清楚的解释了物质波波函数的几率解释，笔者认为在量子力学课程教学过程中关于波函数的几率解释,一定要把电子衍射实验过程清楚细致地描述，培养学生利用实验发现问题和验证假说的能力也应是量子力学课程教学的重要教学目的。