一次函数压轴题包括答案.doc

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1．如图 1，已知直线 y=2x+2 与 y 轴、 x 轴分别交于 A 、 B 两点，以 B 为直角顶点在第二象限作

等腰 Rt△ ABC

（1）求点 C 的坐标，并求出直线 AC 的关系式．

（2）如图 2，直线 CB 交 y 轴于 E，在直线 CB 上取一点 D ，连接 AD ，若 AD=AC ，求证：

BE=DE ．

（ 3）如图 3，在（ 1）的条件下，直线 AC 交 x 轴于 M ， P（， k）是线段 BC 上一点，

在线段 BM 上是否存在一点N ，使直线 PN 平分△ BCM 的面积？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：一次函数综合题。

分析：（ 1）如图 1，作 CQ⊥ x 轴，垂足为 Q，利用等腰直角三角形的性质证明△ ABO ≌△ BCQ，根据全等三角形的性质求OQ， CQ 的长，确定 C 点坐标；

（ 2）同（ 1）的方法证明△ BCH ≌△ BDF ，再根据线段的相等关系证明△ BOE ≌△ DGE，得出结论；

（ 3）依题意确定 P 点坐标，可知△BPN 中 BN 变上的高，再由S△PBN= S△BCM，求 BN ，

进而得出 ON ．

解答：解：（ 1）如图 1，作 CQ⊥ x 轴，垂足为 Q，

∵∠ OBA+ ∠ OAB=90 °，∠ OBA+ ∠QBC=90 °，

∴∠ OAB= ∠ QBC，

又∵ AB=BC ，∠ AOB= ∠ Q=90°，

∴△ ABO ≌△ BCQ ，

∴BQ=AO=2 ， OQ=BQ+BO=3 ， CQ=OB=1 ，

∴C（﹣ 3， 1），

由 A （ 0， 2），C（﹣ 3， 1）可知，直线 AC ： y=x+2 ；

（2）如图 2，作 CH⊥ x 轴于 H， DF ⊥x 轴于 F， DG ⊥ y 轴于 G，

∵ AC=AD ，AB ⊥

CB ，∴ BC=BD ，

∴△ BCH ≌△

BDF ，∴

BF=BH=2 ，

∴ OF=OB=1 ，

∴DG=OB ，

∴△ BOE ≌△ DGE ，

∴BE=DE ；

（ 3）如图 3，直线 BC ： y= ﹣x﹣，P（，k）是线段BC 上一点，

∴ P（﹣，），

由y= x+2 知 M （﹣ 6， 0），

∴BM=5 ，则 S△BCM= ．

假设存在点N 使直线 PN 平分△ BCM 的面积，

则BN ? = ×，

∴BN= ， ON= ，

∵BN ＜ BM ，

∴点 N 在线段 BM 上，

∴ N （﹣，0）．

点评：本题考查了一次函数的综合运用．关键是根据等腰直角三角形的特殊性证明全等三角

形，利用全等三角形的性质求解．

3．如图直线 ?： y=kx+6 与 x 轴、 y 轴分别交于点 B、C，点 B 的坐标是（﹣ 8，0），点 A 的坐标为（﹣ 6， 0）

（ 1）求 k 的值．

（ 2）若 P（ x， y）是直线? 在第二象限内一个动点，试写出△ OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．

（ 3）当点 P 运动到什么位置时，△OPA的面积为9，并说明理由．

考点：一次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积。

专题：动点型。

分析：（ 1）将 B 点坐标代入y=kx+6 中，可求k 的值；

（ 2）用 OA 的长， y 分别表示△ OPA 的底和高，用三角形的面积公式求S 与 x 的函数关系式；

（ 3）将 S=9 代入（ 2）的函数关系式，求x、 y 的值，得出P 点位置．

解答：解：（ 1）将 B （﹣ 8， 0）代入 y=kx+6 中，得﹣ 8k+6=0 ，解得 k=；

（ 2）由（ 1）得 y= x+6，又 OA=6 ，

∴ S=×6×y=x+18 ，（﹣ 8＜x＜ 0）；

（ 3）当 S=9 时，x+18=9 ，解得 x= ﹣ 4，

此时 y=x+6=3 ，

∴ P（﹣ 4， 3）．

点评：本题考查了一次函数的综合运用，待定系数法求一次函数解析式，三角形面积的求

法．关键是将面积问题转化为线段的长，点的坐标来表示．

7．如图①，过点（ 1， 5）和（ 4， 2）两点的直线分别与x 轴、 y 轴交于 A 、 B 两点．

（ 1）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．图中阴影部分（不包

括边界）所含格点的个数有10 个（请直接写出结果）；

（ 2）设点 C（4，0），点 C 关于直线AB 的对称点为 D，请直接写出点 D 的坐标（6，2）；（3）如图②，请在直线 AB 和 y 轴上分别找一点 M 、 N 使△ CMN 的周长最短，在图②中作出图形，并求出点 N 的坐标．

考点：一次函数综合题。

分析：（ 1）先利用待定系数法求得直线AB 的解析式为y= ﹣x+6 ；再分别把x=2 、3、 4、 5 代入，求出对应的纵坐标，从而得到图中阴影部分（不包括边界）所含格点的坐标；

（2）首先根据直线 AB 的解析式可知△ OAB 是等腰直角三角形，然后根据轴对称的性质即可

求出点 D 的坐标；

（3）作出点 C 关于直线 y 轴的对称点 E，连接 DE 交 AB 于点 M ，交 y 轴于点 N ，则此时

△ CMN 的周长最短．由 D 、E 两点的坐标利用待定系数法求出直线DE 的解析式，再根据 y 轴上点的坐标特征，即可求出点N 的坐标．

解答：解：（ 1）设直线 AB 的解析式为y=kx+b ，

把（ 1， 5），（ 4， 2）代入得，