三数学下学期入学考试理(共6页)

2021年2月
南山中学(zhōngxué)高2021级高三下期入学考试
数学〔理科〕试题
命题人：郑科
本套试卷分第I卷〔选择题〕和第II卷〔非选择题〕两局部。

满分是150分。

考试时间是是120分钟。

第一卷〔选择题，一共50分〕
一、选择题：本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分．在每一小题给
出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．
1. 为虚数单位，计算
A.i
B.
C.
2. 以下说法中正确的选项是
A．假设p∨q为真命题，那么p∧q为真命题
B．“x＝5”是“x2－4x－5＝0”的充分不必要条件
C．命题“假设x<－1，那么x2－2x－3>0”的否认为：“假设x≥－1，那么x2－2x－3≤0”
D．命题p：∃x∈R，x2＋x－1<0，那么：∃x∈R，x2＋x－1≥0
3. ：为单位向量，，且，那么与b的夹角是
A． B. C． D.
4. 设函数的最小正周期为，且
，那么
A.在
上单调(dāndiào)递减 B.()x f 在⎪⎭⎫
⎝⎛2,0π上单调递增
C.()x f 在上单调递减
D.()x f 在⎪⎭
⎫
⎝⎛43,4ππ上单调递增
5. 在等比数列中，为其前项和，，
，那么此数列的公比为
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
6. 如图的程序框图，假如输入三个实数a ，b ，c ，要求输出这三个
数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项里面的 A.
? B. ? C. ? D. ?
7. 一直线与圆
相交于A 、B 两点，且 A,B 两点关于直线
对称，那么过点
两点的直线的斜率的最小值为
A.2
B.
C.1
D.
8. 函数
，假设数列
满足
是递减数列，那么实数a 的取值范围是 A ．
B ．
C ．
D.
9. 设双曲线
的右焦点为
，右准线 与两条渐近线交于
两点，假如是等边三角形，那么双曲线的离心率的值是
A ．2 B.
C.4
D.
10.规定(guīdìng)记号“〞表示一种运算，即：，设函数
.且关于 的方程为
恰有四个互不相等的
实数根
，那么
的值是
A． B.-8 C． D.4
第二卷〔非选择题，一共100分〕
二、填空题：本大题一一共5小题，每一小题5分，一共25分．
的准线方程为____________
12.某高中一共有学生900人，其中高一年级240人，高二年级260人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为45的样本，那么在高三年级抽取的人数是___________
13.如图，某三棱锥的三视图都是直角边为2的等腰直角三角形，那么
该三棱锥的四个面的面积中最大的是___________
14.同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子
向上的点数是3的倍数〞为事件A，“两颗骰子的点数和大于8”为
事件B，那么P〔B|A〕=
15.是过原点且与y=f〔x〕图象恰有三个交点的直线，这三个交点的横坐标分别为0，，那么以下结论中:
①；②在上单减；
③；④当获得最小值.
正确的有〔填正确结论的序号〕
三、解答题：本大题一一共(yīgòng)6小题，一共75分．解容许写出文字说明、
证明过程或者演算步骤．
16．〔本小题满分是12分〕在△ABC 中，
分别为角A 、B 、C 的对边，假设
=(
,〕,
,且
.
〔Ⅰ〕求角A 的度数； 〔Ⅱ〕当
，且△ABC 的面积时，求边的值和△ABC 的
面积.
17．〔本小题满分是12分〕某射手每次射击击中目的的概率是，且各次射击
的结果互不影响.
〔Ⅰ〕假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目的的概率;
〔Ⅱ〕假设这名射手射击3次，每次射击，击中目的得1分，未击中目的得0
分，在3次射击中，假设有2次连续击中，而另外1次未击中，那么额外加1分；假设3次全击中，那么额外加3分，记X 为射手射击3次后的总的分数，求X 的期望.
18．〔本小题满分(mǎn fēn)是12分〕如下图,在等腰直角
中，,
为
的中点，点 F 在上，且。

现沿将折起到
的位置，使。

点
在上，且。

P D
F
B
E
C
A
〔Ⅰ〕求证：面；
〔Ⅱ〕求二面角的平面角的余弦值。

a为正项等比数列，且满足
19．〔本小题满分是12分〕数列{}
n
；设正项数列的前n项和为S n，满足
．
a的通项公式；
〔Ⅰ〕求{}
n
〔Ⅱ〕设的前项的和T n．
20．〔本小题满分是13分〕椭圆的右焦点为.
过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于两点，,
的面积最大值为.
〔Ⅰ〕求椭圆的方程；
〔Ⅱ〕假设直线与椭圆E交于，以线段为直径的圆过E的右顶点，求证：直线l过定点.
21．〔本小题满分(mǎn fēn)是14分〕函数．
〔Ⅰ〕当时，求函数的单调区间；
〔Ⅱ〕当时，不等式恒成立，务实数的取值范围．
〔Ⅲ〕求证：〔其中，e 是自然对数的底数〕．
内容总结
（1）2021年2月
南山中学高2021级高三下期入学考试
数学〔理科〕试题
命题人：郑科
本套试卷分第I卷〔选择题〕和第II卷〔非选择题〕两局部
（2）19．〔本小题满分是12分〕数列为正项等比数列，且满足。