2022春八年级数学下册 第二十二章 四边形 22.6正方形22.6.2 正方形的判定授课课件冀教版

知1－练
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证明：在正方形ABCD中，OA＝OB， ∠BOC＝∠AOF＝90°. ∵在Rt△AME中，∠EAM＋∠AEM＝90°， 在Rt△AOF中，∠FAO＋∠AFO＝90°， ∴∠AEM＝∠AFO. ∴△AOF≌△BOE. ∴OE＝OF.
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3. 【中考·南京】如图，菱形ABCD的面积为120 cm2，知1－练 正方形AECF的面积为50 cm2，则菱形的边长为 __1_3_c_m___．
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知2－讲
(2)解：当∠BAC＝90°时，矩形AEBD是正方 形．
理由：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是△ABC 的角平分线，∴AD＝BD＝CD. ∵由(1)得四边形AEBD是矩形， ∴矩形AEBD是正方形．
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本题运用演绎推理解答，(1)中根据对角线互相平 分判定四边形AEBD是平行四边形，再由等腰三角形 三线合一的性质证直角，从而判定四边形AEBD是矩 形．(2)中添加条件后可证得矩形的一组邻边相等，即 可判定该矩形是正方形．
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6.在△ABC中，点D，E，F分别在BC，AB，CA上， 知2－练 且DE∥CA，DF∥BA，连接EF，AD，则下列三种说法：
①如果EF＝AD，那么四边形AEDF是矩形； ②如果EF⊥AD，那么四边形AEDF是菱形；
③如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形，
其中正确的有( B )
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4. 【中考·台州】小红用次数最少的对折方法验证 了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了
( B) A．1次 C．3次
B．2次 D．4次
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5. 将五个边长都为2 cm的正方形按如图所示方式 摆放，点A，B，C，D分别是四个正方形的中 心，则图中四块阴影部分面积的和为( B ) A．2 cm2 B．4 cm2 C．6 cm2 D．8 cm2
BD，再根据对角线相等的菱形是正方形可得到结 论．
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证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝ CO，∵EA＝EC，∴EO⊥AC，即BD⊥AC，
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∴四边形ABCD是菱形．
(2)∵∠ADO＝∠EAD＋∠AED，
∠DAC＝∠EAD＋∠AED，
∴∠ADO＝∠DAC，∴AO＝DO，
∵四边形ABCD是菱形，∴AC＝2AO，BD＝2DO，
课堂小结
正方形的判定
(3)从矩形出发：①有一组邻边相等的矩形是正方形； ②对角线互相垂直的矩形是正方形；
(4)从菱形出发：①有一个角是直角的菱形是正方形； ②对角线相等的菱形是正方形．
2. 四边形间的关系： (1)平行四边形、矩形、菱形、
正方形间的包含关系如图.
课堂小结
正方形的判定
(2)四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形间的转 化关系如图：
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知识点 2 正方形的判定
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思考
正方形有哪些性质？如何判定一个四边形是正方形？
把它们写出来， 并和同学交流一下，然后证明其中的
一些结论.
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矩形
平行四边形
有一组邻边相等 有一个角是直角
菱形
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正方形
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正方形的判定方法：要判定一个四边形是正方形，最 常用的方法就是先证明它是菱形(或矩形)，再证明这 个菱形(或矩形)有一个角是直角(或有一组邻边相等)， 其实质就是根据正方形的定义来判定，当然也可以先 证四边形是平行四边形，再证有一组邻边相等且有一 个角是直角，或证这个平行四边形的对角线相等并且 互相垂直．
AEBD是平行四边形，进而由等腰三角形的 性质得出∠ADB＝90°，即可证得结论； (2)利用等腰直角三角形的性质得出AD＝BD＝ CD，进而利用正方形的判定方法即可判定 矩形AEBD是正方形．
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(1)证明：∵点O为AB的中点，OE＝OD， ∴四边形AEBD是平行四边形． ∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线， ∴AD⊥BC.∴∠ADB＝90°. ∴平行四边形AEBD是矩形．
∴AC＝知2－讲
证明条件中含对角线的四边形是正方形的方法： (1)证：“四边形＋对角线互相垂直、平分且相等”； (2)证：“平行四边形＋对角线互相垂直且相等”； (3)证：“矩形＋对角线互相垂直”； (4)证：“菱形＋对角线相等”．
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1. 如图，把一张矩形纸片折叠，把重叠部分剪下来， 展开后可以得到一个怎样的四边形？为什么？
3
3
∴正方形PCQE的面积＝ 2 3
a×
2 3
a＝
4 9
a2，
∴四边形EMCN的面积＝
4 9
a2.
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本例解法在于巧用割补法，将分散的图形拼合在 一起，将不规则的阴影面积集中到一个规则的图形中， 再利用正方形及三角形的性质求出，解答过程体现了 割补法及转化思想．
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1. 已知：如图，正方形ABCD的两条对角线相交于 点O，点M，N分别在OA，OD上，且MN∥AD. 请探究线段DM和CN之间的数量关系， 写出结 论并给出证明.
第二十二章 四边形
22.6 正方形
第2课时 正方形的判定
学习目标
1 课时讲解 正方形的对称性
正方形的判定
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
课时导入
相传，上古神话人物伏羲在黄河边行走，得到龙 马送来的“河图”(如下图所示)，在洛水边又得到神 龟送来的“洛书”.“河图”、“洛书”是几千年前的 两幅图象，是正方形的图案，由点和线交织而成，充 满了巧妙的数字关系，说明中华祖先很早对于几何和 代数的研究. 充分显示了中华祖先的聪明才智.
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月21日星期一2022/3/212022/3/212022/3/21 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/212022/3/212022/3/213/21/2022 3、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。 2022/3/212022/3/21March 21, 2022
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You made my day!
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3.【中考·益阳】下列判断错误的是( D ) A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．四个内角都相等的四边形是矩形 C．四条边都相等的四边形是菱形 D．两条对角线垂直且互相平分的四边形是正
方形
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4.【中考·河北】关于▱ABCD的叙述，正确的是 ( C) A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形 B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形 C．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形 D．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形
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PEM NEQ,
解：在△EPM和△EQN中，
EP
EQ,
∴△EPM≌△EQN(ASA)， E PM E Q N ,
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∴S△EQN＝S△EPM，∴四边形EMCN的面积等于正方形
PCQE的面积，∵正方形ABCD的边长为a，∴AC＝ 2 a，
∵EC＝2AE，∴EC＝ 2 2 a，∴EP＝PC＝ 2 a，
解：正方形．因为有三个角是直角， 所以是矩形，由折叠可知一组邻边 相等，所以是正方形．
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2.【中考·黑龙江】如图，在菱形ABCD中，对 知2－练 角线AC，BD相交于点O，不添加任何辅助线， 请添加一个条件__∠__B_A__D_＝__9_0_°__(_答__案__不__唯__一__)__， 使四边形ABCD是正方形．
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5.【中考·日照】小明在学习了正方形之后，给同 知2－练 桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC； ②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD中选两 个作为补充条件，使▱ABCD为正方形(如图)，现有 下列四种选法，你认为其中错误的是( B ) A．①② B．②③ C．①③ D．②④
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例 3 如图，已知在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E
是BD的延长线上的点，且EA＝EC. (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若∠DAC＝∠EAD＋∠AED，
求证：四边形ABCD是正方形．
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导引：要证▱ABCD是正方形，有三种途径可走：
即在平行四边形、菱形、矩形的基础上，找各需
A. 2 a2
3
C. 5 a2
9
B. 1 a2
4
D. 4 a2
9
课时导入
导引：作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，易得△EPM
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≌△EQN，利用四边形EMCN的面积等于正方形 PCQE的面积求解． 作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q， ∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°， 又∵∠EPM＝∠EQN＝90°，∴∠PEQ＝90°， ∴∠PEM＋∠MEQ＝90°，∵三角形FEG是直角三角 形，∴∠NEF＝∠NEQ＋∠MEQ＝90°，∴∠PEM＝ ∠NEQ，∵CA是∠BCD的角平分线，∠EPC＝∠EQC ＝90°，∴EP＝EQ，四边形PCQE是正方形，
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知识点 1 正方形的对称性
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正方形的对称性：
(C) A
D(B)
正方形是中心对称图形， O
对称中心为点O；
又是轴对称图形，有四
条对称轴.
(D)B
C(A)
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例 1 如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC 知1－讲 ＝2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别 交BC、DC于点M、N.若正方形ABCD的边长为a， 则重叠部分四边形EMCN的面积为( D )
补充的对角线的条件进行证明；若要证明▱ABCD
是菱形，由于题中条件与对角线相关，则需证 AC⊥BD.
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知2－讲
(1)首先根据平行四边形的性质可得AO＝CO，再由 EA＝EC可得△EAC是等腰三角形，然后根据等腰三角 形三线合一的性质可得EO⊥AC，根据对角线互相垂直 的平行四边形是菱形可证出结论； (2)首先根据角的关系得出AO＝DO，进而得到AC＝
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解：DM＝CN. 证明：∵四边形ABCD是正方形，
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∴OA＝OD，AD＝DC，∠DAM＝∠CDN
＝45°.
又∵MN∥AD，
∴OM＝ON.∴AM＝DN.
∴△AMD≌△DNC.
∴DM＝CN.
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2. 已知：如图，正方形ABCD的两条对角线相交于 点O，E为OC上一点， AM⊥BE，垂足为M， AM与DB相交于点F. 求证：OE=OF.
A．3个
B．2个
C．1个
D．0个
课堂小结
正方形的判定
1. 判定方法： (1)从四边形出发：①有四条边相等，四个角都是直角
的四边形是正方形；②对角线互相平分、垂直且相 等的四边形是正方形； (2)从平行四边形出发：①有一组邻边相等并且有一个 角是直角的平行四边形是正方形；②对角线互相垂 直且相等的平行四边形是正方形；
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例2 [中考·铁岭]如图，△ABC中，AB＝AC，AD是 知2－讲 △ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并 延长到点E，使OE＝OD，连接AE，BE.
(1)求证：四边形AEBD是矩形． (2)当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形？
并说明理由．
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导引： (1)利用平行四边形的判定方法首先得出四边形