2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练65

随堂巩固训练(65)
1. 在等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于 4 .
解析：由题意得a 4a 5＝2×5＝10，所以数列{lg a n }的前8项和S ＝lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8
＝lg (a 1·a 2·…·a 8)＝lg (a 4a 5)4＝4lg (a 4a 5)＝4lg 10＝4.
2. 数列1，1＋2，1＋2＋22，1＋2＋22＋23，…，1＋2＋22＋23＋…＋2n －
1，…的前n
项和S n ＝ 2n ＋
1－n －2 .
解析：所求数列的通项公式为a n ＝1＋2＋22
＋…＋2
n －1
＝1－2n 1－2
＝2n －1，所以其前n 项和为S n ＝(2－1)＋(22
－1)＋…＋(2n
－1)＝2（1－2n ）1－2
－n ＝2n ＋
1－n －2.
3. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝2 016，且a n ＋2a n ＋1＋a n ＋2＝0(n ∈N *)，则S 2 016＝ 0 Ｗ.
解析：设q 为等比数列{a n }的公比，则a n ＋2a n q ＋a n q 2＝0，即q 2＋2q ＋1＝0，所以q ＝
－1，所以a n ＝(－1)n －
1×2 016，所以S 2 016＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2 015＋a 2 016)＝0.
4. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，则∑n
k ＝
1
1S k ＝ 2n
n ＋1
. 解析：设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则a 3＝a 1＋2d ＝3，S 4＝4a 1＋6d ＝10，解得a 1＝1，d ＝1，则a n ＝n ，S n ＝n （n ＋1）2，∑n k ＝1 1S k ＝21×2＋22×3＋…＋2n （n －1）＋
2
n （n ＋1）＝2[⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1]＝2⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1
. 5. 数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ×12n 的前n 项和S n ＝ 2－12
－1－n
2n .
解析：S n ＝1×12＋2×14＋3×18＋…＋n ×12n ①，12S n ＝1×14＋2×18＋3×1
16＋…＋(n －
1)×12n ＋n ×1
2
n ＋1②，
①－②得12S n ＝12＋14＋18＋…＋12n －n ×12n ＋1＝12⎝⎛
⎭⎫1－12n 1－12－n 2
n ＋1＝1－12n －n
2n ＋1，
所以S n ＝2⎝⎛⎭⎫1－12n －n 2n ＋1＝2－12
n －1－n
2n .
6. 已知函数f(n)＝⎩
⎪⎨⎪⎧n 2
， 当n 为奇数时，
－n 2
，当n 为偶数时，且a n ＝f(n)＋f(n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝ 100 .
解析：由题意得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100
＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012 ＝－(1＋2)＋(3＋2)－(4＋3)＋…－(99＋100)＋(101＋100) ＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101) ＝－50×101＋50×103＝100.
7. 一个只有有限项的等差数列，它的前5项和为34，最后5项和为146，所有项的和为234，则它的第7项为 18 .
解析：据题意知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，a n －4＋a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝146.又因为a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝a 4＋a n －3＝a 5＋a n －4，所以a 1＋a n ＝36.又S n ＝1
2n(a 1＋a n )＝234，所以
n ＝13，所以a 1＋a 13＝2a 7＝36，所以a 7＝18.
8. 设数列{a n }满足a 1＝1，(1－a n ＋1)(1＋a n )＝1(n ∈N *
)，则∑100
k ＝
1
a k a k ＋1的值为 100
101
. 解析：因为(1－a n ＋1)(1＋a n )＝1，所以a n －a n ＋1－a n a n ＋1＝0，从而1a n ＋1－1a n
＝1，即数列⎩⎨⎧⎭⎬
⎫
1a n 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以1a n ＝1＋n －1＝n ，所以a n ＝1n ，故a n ＋1a n ＝
1
（n ＋1）n
＝1n －1n ＋1，因此∑100k ＝1
a k a k ＋1
＝⎝⎛⎭⎫1－12＋(12－13)＋…＋⎝⎛⎭⎫1100－1101＝1－1101＝100101. 9. 已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N *，有2S n ＝a 2n ＋a n .令b n ＝
1
a n
a n ＋1＋a n ＋1a n
，设数列{b n }的前n 项和为T n ，则在T 1，T 2，T 3，…，T 100中有理数的个
数为 9 .
解析：因为2S n ＝a 2n ＋a n ， 所以2S n ＋1＝a 2n ＋1＋a n ＋1，
两式相减，得2a n ＋1＝a 2n ＋1＋a n ＋1－a 2
n －a n ，
即a 2n ＋1－a 2
n －a n ＋1－a n ＝0， 即(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －1)＝0.
又因为数列{a n }为正项数列，所以a n ＋1－a n －1＝0， 即a n ＋1－a n ＝1.
令n ＝1，可得a 1＝1，
所以数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以a n ＝n ，
所以b n ＝1
n n ＋1＋（n ＋1）n
＝
（n ＋1）n －n n ＋1
[n n ＋1＋（n ＋1）n ][（n ＋1）n －n n ＋1]
＝
（n ＋1）n －n n ＋1n （n ＋1）＝1n －1
n ＋1
，
所以T n ＝1－
1
n ＋1
， 所以T 1，T 2，T 3，…，T 100中有理数的个数为9. 10. 设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a n >0，若S 6－2S 3＝5，则S 9－S 6的最小值为 20 . 解析：当q ＝1时，S 6－2S 3＝0，不合题意，所以公比q ≠1，从而由S 6－2S 3＝5得a 1（1－q 6）1－q －2a 1（1－q 3）1－q ＝5，从而得a 11－q ＝5－q 6＋2q 3－1＝5
－（q 3－1）2
<0，
故1－q<0，即q>1，故S 9－S 6＝a 1（1－q 9）1－q －a 1（1－q 6）1－q ＝5－q 6＋2q 3
－1
×(q 6－q 9)＝
5q 6q 3
－1
.令q 3
－1＝t>0，则S 9－S 6＝5（t ＋1）2t ＝5⎝⎛⎭⎫t ＋1t ＋2≥20，当且仅当t ＝1，即q 3＝2时等号成立.
11. 数列{a n }满足a n ＝2a n －1＋2n ＋1(n ∈N *，n ≥2)，a 3＝27. (1) 求a 1，a 2的值；
(2) 是否存在一个实数t ，使得b n ＝1
2n (a n ＋t )(n ∈N *)，且数列{b n }为等差数列？若存在，
求出实数t ；若不存在，请说明理由；
(3) 在(2)的条件下，求数列{a n }的前n 项和S n . 解析：(1) 由a 3＝27，得27＝2a 2＋23＋1， 所以a 2＝9.
因为9＝2a 1＋22＋1，所以a 1＝2.
(2) 假设存在实数t ，使得数列{b n }为等差数列， 则2b n ＝b n －1＋b n ＋1，
即2×12n (a n ＋t )＝12n －1(a n －1＋t )＋1
2n ＋1(a n ＋1＋t )，
所以4a n ＝4a n －1＋a n ＋1＋t ，
所以4a n ＝4×a n －2n －12
＋2a n ＋2n ＋
1＋1＋t ，
解得t ＝1，即存在实数t ＝1，使得数列{b n }为等差数列. (3) 由(1)(2)得b 1＝32，b 2＝5
2，
所以b n ＝n ＋1
2
，
所以a n ＝b n ·2n －1＝(2n ＋1)2n －
1－1.
S n ＝(3×20－1)＋(5×21－1)＋(7×22－1)＋…＋[(2n ＋1)×2n －
1－1]
＝3＋5×2＋7×22＋…＋(2n ＋1)×2n －
1－n ，①
所以2S n ＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n ＋1)×2n －2n .② 由①－②得
－S n ＝3＋2×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －
1－(2n ＋1)×2n ＋n
＝1＋2×1－2n
1－2－(2n ＋1)×2n ＋n ＝(1－2n )×2n ＋n －1，
所以S n ＝(2n －1)×2n －n ＋1.
12. 已知数列{a n }是等比数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，且1a 1－1a 2＝2
a 3
，S 6＝63.
(1) 求数列{a n }的通项公式；
(2) 若对任意的n ∈N *，b n 是log 2a n 和log 2a n ＋1的等差中项，求数列{(－1)n b 2
n }的前2n 项和.
解析：(1) 设数列{a n }的公比为q . 由已知得1a 1－1a 1q ＝2a 1q 2，
解得q ＝2或q ＝－1.
又由S 6＝a 1·1－q 6
1－q ＝63，知q ≠－1，
所以a 1×1－26
1－2＝63，解得a 1＝1.
所以a n ＝2n －
1.
(2) 由题意得b n ＝12(log 2a n ＋log 2a n ＋1)＝12(log 22n －
1＋log 22n )＝n －12，
即数列{b n }是首项为1
2
，公差为1的等差数列.
设数列{(－1)n b 2n }的前n 项和为T n ，则
T 2n ＝(－b 21＋b 22)＋(－b 23＋b 24)＋…＋(－b 22n －1＋b 2
2n )＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 2n －1＋b 2n ＝2n （b 1＋b 2n ）
2
＝2n 2.
13. 已知数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且对任意n ∈N *，a n ＋1－a n ＝2(b n ＋
1－b n )恒成立.
(1) 若A n ＝n 2，b 1＝2，求B n ；
(2) 若对任意n ∈N *，都有a n ＝B n 及b 2a 1a 2＋b 3a 2a 3＋b 4
a 3a 4＋…＋
b n ＋1a n a n ＋1<13成立，求正实数b 1
的取值范围.
解析：(1) 因为A n ＝n 2，所以a 1＝1.
当n ≥2时，a n ＝A n －A n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1， 当n ＝1时，上式也成立， 所以a n ＝2n －1.
因为对任意n ∈N *，a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )恒成立，
所以b n ＋1－b n ＝1
2
(a n ＋1－a n )＝1，
所以数列{b n }是等差数列，公差为1，首项为2， 所以B n ＝2n ＋n （n －1）2×1＝12n 2＋3
2
n .
(2) 由B n ＋1－B n ＝a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )＝b n ＋1，可得b n ＋1＝2b n ，所以数列{b n }是等比数
列，且公比为2，
所以b n ＝b 1·2n －
1，
a n ＝B n ＝
b 1（2n －1）2－1
＝b 1(2n －1)，
所以b n ＋1a n a n ＋1＝b 1·2n b 21（2n －1）（2n ＋1
－1）＝1
b 1⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1－1， 所以b 2a 1a 2＋b 3a 2a 3＋b 4
a 3a 4＋…＋
b n ＋1a n a n ＋1
＝1b 1[⎝⎛⎭⎫12－1－122－1＋(122－1－123－1)＋…＋(12n －1－1
2n ＋1－1)] ＝1b 1⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1－1<1
3
成立， 所以b 1>3⎝⎛⎭
⎫1－1
2n ＋1－1，所以b 1≥3.。