山阴县第四中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学(1)

山阴县第四中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．如图，一隧道截面由一个长方形和抛物线构成现欲在随道抛物线拱顶上安装交通信息采集装置若位置C 对隧道底AB的张角θ最大时采集效果最好，则采集效果最好时位置C到AB的距离是（）
A．2m B．2m C．4 m D．6 m
2．若函数f（x）=﹣a（x﹣x3）的递减区间为（，），则a的取值范围是（）
A．a＞0B．﹣1＜a＜0C．a＞1D．0＜a＜1
3．（理）已知tanα=2，则=（）
A．B．C．D．
4．给出定义：若（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m 在此基础上给出下列关于函数f（x）=|x﹣{x}|的四个命题：
①；②f（3.4）=﹣0.4；
③；④y=f（x）的定义域为R，值域是；
则其中真命题的序号是（）
A．①②B．①③C．②④D．③④
5．函数f（x）=cos2x﹣cos4x的最大值和最小正周期分别为（）
A．，πB．，C．，πD．，
6．若命题p：∃x0∈R，sinx0=1；命题q：∀x∈R，x2+1＜0，则下列结论正确的是（）
A．￢p为假命题B．￢q为假命题C．p∨q为假命题D．p∧q真命题
7．如图给出的是计算的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是（）
A ．i ≤21
B ．i ≤11
C ．i ≥21
D ．i ≥11
8． 口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是（
）
A ．0.42
B ．0.28
C ．0.3
D ．0.7
9． 已知集合，，则（ ）
{2,1,1,2,4}A =--2{|log ||1,}B y y x x A ==-∈A B = A ．
B ．
C ．
D ．{2,1,1}--{1,1,2}-{1,1}-{2,1}
--【命题意图】本题考查集合的交集运算，意在考查计算能力．10．已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为
时，则输入的值为（ ）2
1
A ．
B ．
C ．或
D ．或21-1-21-10
11．设a ，b 为实数，若复数，则a ﹣b=（
）
A ．﹣2
B ．﹣1
C ．1
D ．2
12．若向量=（3，m ），=（2，﹣1），∥，则实数m 的值为（
）
A ．
﹣B ．C ．2D ．6
二、填空题
13．满足tan （x+
）≥
﹣
的x 的集合是 ．
14．自圆：外一点引该圆的一条切线，切点为，切线的长度等于点到C 22
(3)(4)4x y -++=(,)P x y Q P 原点的长，则的最小值为（ ）
O PQ A ．
B ．3
C ．4
D ．13102110
【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离，意在考查逻辑思维能力、转化能力、运算求解能力、数形结合的思想．
15．若x 、y 满足约束条件，z ＝3x ＋y ＋m 的最小值为1，则m ＝________．
{
x －2y ＋1≤0
2x －y ＋2≥0x ＋y －2≤0)
16．【南通中学2018
届高三10月月考】定义在
上的函数
满足
，
为
的导函数，且
对恒成立，则的取值范围是__________________.
17．若命题“∀x ∈R ，|x ﹣2|＞kx+1”为真，则k 的取值范围是 ．
18．设向量=（1，﹣3），=（﹣2，4），=（﹣1，﹣2），若表示向量
4，4﹣2，2（﹣），的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量的坐标是 ．　
三、解答题
19．（本小题满分12分）已知两点及，点在以、为焦点的椭圆上，且、、)0,1(1-F )0,1(2F P 1F 2F C 1PF 21F F 构成等差数列．2PF （I ）求椭圆的方程；
C （II ）设经过的直线与曲线C 交于两点，若，求直线的方程．
2F m P Q 、2
2
2
11PQ F P F Q =+m
20．（本小题满分12分）已知函数.
2
()x
f x e ax bx =--（1）当时，讨论函数在区间上零点的个数；0,0a b >=()f x (0,)+∞（2）证明：当，时，.
1b a ==1[,1]2
x ∈()1f x <21．在平面直角坐标系中，矩阵M 对应的变换将平面上任意一点P （x ，y ）变换为点P （2x+y ，3x ）．（Ⅰ）求矩阵M 的逆矩阵M ﹣1；
（Ⅱ）求曲线4x+y ﹣1=0在矩阵M 的变换作用后得到的曲线C ′的方程．　
22．如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，BF=3，G 和H 分别是CE 和CF 的中点．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDEF ；（Ⅱ）求证：平面BDGH ∥平面AEF ；（Ⅲ）求多面体ABCDEF 的体积．
23．已知f（x）=lg（x+1）
（1）若0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜1，求x的取值范围；
（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求函数y=g（x）（x∈[1，2]）的反函数．
24．已知在△ABC中，A（2，4），B（﹣1，﹣2），C（4，3），BC边上的高为AD．
（1）求证：AB⊥AC；
（2）求向量．
山阴县第四中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】A
【解析】解：建立如图所示的坐标系，设抛物线方程为x2=﹣2py（p＞0），
将点（4，﹣4）代入，可得p=2，
所以抛物线方程为x2=﹣4y，
设C（x，y）（y＞﹣6），则
由A（﹣4，﹣6），B（4，﹣6），可得k CA=，k CB=，
∴tan∠BCA===，
令t=y+6（t＞0），则tan∠BCA==≥
∴t=2时，位置C对隧道底AB的张角最大，
故选：A．
【点评】本题考查抛物线的方程与应用，考查基本不等式，确定抛物线的方程及tan∠BCA，正确运用基本不等式是关键．
2．【答案】A
【解析】解：∵函数f（x）=﹣a（x﹣x3）的递减区间为（，）
∴f′（x）≤0，x∈（，）恒成立
即：﹣a（1﹣3x2）≤0，，x∈（，）恒成立
∵1﹣3x2≥0成立
∴a＞0
故选A
【点评】本题主要考查函数单调性的应用，一般来讲已知单调性，则往往转化为恒成立问题去解决．　
3．【答案】D
【解析】解：∵tanα=2，∴===．故选D．
4．【答案】B
【解析】解：①∵﹣1﹣＜﹣≤﹣1+
∴{﹣}=﹣1
∴f（﹣）=|﹣﹣{﹣}|=|﹣+1|=
∴①正确；
②∵3﹣＜3.4≤3+
∴{3.4}=3
∴f（3.4）=|3.4﹣{3.4}|=|3.4﹣3|=0.4
∴②错误；
③∵0﹣＜﹣≤0+
∴{﹣}=0
∴f（﹣）=|﹣﹣0|=，
∵0﹣＜≤0+
∴{}=0
∴f（）=|﹣0|=，
∴f（﹣）=f（）
∴③正确；
④y=f（x）的定义域为R，值域是[0，]
∴④错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查对于新定义的理解与运用，是对学生能力的考查．
5．【答案】B
【解析】解：y=cos2x﹣cos4x=cos2x（1﹣cos2x）=cos2x•sin2x=sin22x=，
故它的周期为=，最大值为=．
故选：B．
6．【答案】A
【解析】解：时，sinx0=1；
∴∃x0∈R，sinx0=1；
∴命题p是真命题；
由x2+1＜0得x2＜﹣1，显然不成立；
∴命题q是假命题；
∴￢p为假命题，￢q为真命题，p∨q为真命题，p∧q为假命题；
∴A正确．
故选A．
【点评】考查对正弦函数的图象的掌握，弧度数是个实数，对∀∈R满足x2≥0，命题￢p，p∨q，p∧q的真假和命题p，q真假的关系．
7．【答案】D
【解析】解：∵S=
并由流程图中S=S+
故循环的初值为1
终值为10、步长为1
故经过10次循环才能算出S=的值，
故i≤10，应不满足条件，继续循环
∴当i≥11，应满足条件，退出循环
填入“i≥11”．
故选D ．　
8． 【答案】C
【解析】解：∵口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，在口袋中摸球，摸到红球，摸到黑球，摸到白球这三个事件是互斥的摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，∴摸出黑球的概率是1﹣0.42﹣0.28=0.3，故选C ．
【点评】本题考查互斥事件的概率，注意分清互斥事件与对立事件之间的关系，本题是一个简单的数字运算问题，只要细心做，这是一个一定会得分的题目．　
9． 【答案】C
【解析】当时，，所以，故选C ．{2,1,1,2,4}x ∈--2log ||1{1,1,0}y x =-∈-A B = {1,1}-10．【答案】D 【解析】
试题分析：程序是分段函数 ，当时，，解得，当时，，
⎩⎨⎧=x y x lg 20
0>≤x x 0≤x 212=x
1-=x 0>x 21lg =x 解得，所以输入的是或，故选D.
10=x 1-10考点：1.分段函数；2.程序框图.11111]11．【答案】C 【解析】解：，因此
．a ﹣b=1．
故选：C ．　
12．【答案】A
【解析】解：因为向量=（3，m ），=（2，﹣1），∥，所以﹣3=2m ，解得m=﹣．故选：A ．
【点评】本题考查向量共线的充要条件的应用，基本知识的考查．　
二、填空题
13．【答案】　[kπ，+kπ），k∈Z　．
【解析】解：由tan（x+）≥﹣得+kπ≤x+＜+kπ，
解得kπ≤x＜+kπ，
故不等式的解集为[kπ，+kπ），k∈Z，
故答案为：[kπ，+kπ），k∈Z，
【点评】本题主要考查三角不等式的求解，利用正切函数的图象和性质是解决本题的关键．
14．【答案】D
【解析】
15．【答案】
【解析】解析：可行域如图，当直线y＝－3x＋z＋m与直线y＝－3x平行，且在y轴上的截距最小时，z才能取最小值，此时l经过直线2x－y＋2＝0与x－2y＋1＝0的交点A（－1，0），z min＝3×（－1）＋0＋m＝－3＋m＝1，
∴m＝4.
答案：4
16．【答案】
【解析】点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中。

某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用。

因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的。

根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧。

许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效。

17．【答案】　[﹣1，﹣）　．
【解析】解：作出y=|x﹣2|，y=kx+1的图象，如图所示，直线y=kx+1恒过定点（0，1），结合图象可知k∈[﹣1，﹣）．
故答案为：[﹣1，﹣）．
【点评】本题考查全称命题，考查数形结合的数学思想，比较基础．
18．【答案】　（﹣2，﹣6）　．
【解析】解：向量4，4﹣2，2（﹣），的有向线段首尾相接能构成四边形，
则向量=﹣[4+4﹣2+2（﹣）]=﹣（6+4﹣4）=﹣[6（1，﹣3）+4（﹣2，4）﹣4（﹣1，﹣2）]=﹣（2，6）=（﹣2，﹣6），
故答案为：（﹣2，﹣6）．
【点评】本题考查了向量的多边形法则、向量坐标运算、线性运算，考查了计算能力，属于基础题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查椭圆标准方程和定义、等差数列、直线和椭圆的位置关系等基础知识，意在考查转化与化归的数学思想的运用和综合分析问题、解决问题的能力．
（II ）①若为直线，代入得，即， m 1=x 13422=+y x 23±=y )23,1(P )2
3,1(-Q 直接计算知，，，不符合题意 ； 29PQ =2
25||||2121=+Q F P F 22211PQ F P F Q ¹+1=x ②若直线的斜率为，直线的方程为m k m (1)
y k x =-由得 ⎪⎩
⎪⎨⎧-==+)1(1342
2x k y y x 0)124(8)43(2222=-+-+k x k x k 设，，则， 11(,)P x y 22(,)Q x y 2221438k k x x +=+222143124k k x x +-=⋅由得，22211PQ F P F Q =+110
F P FQ ×=即，0)1)(1(2121=+++y y x x 0
)1()1()1)(1(2121=-⋅-+++x k x k x x
0)1())(1()1(2212212=+++-++k x x k x x k 代入得，即 0438)1()143124)(1(222222=+⋅-+++-+k
k k k k k 0972=-k 解得，直线的方程为 773±=k m )1(7
73-±=x y 20．【答案】（1）当时，有个公共点，当时，有个公共点，当时，有个公共2(0,)4e a ∈24e a =2
(,)4e a ∈+∞点；（2）证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）零点的个数就是对应方程根的个数,分离变量可得,构造函数,利用求出2x e a x =2()x
e h x x
=()'h x 单调性可知在的最小值,根据原函数的单调性可讨论得零点个数；（2）构造函数()h x (0,)+∞2
(2)4
e h =,利用导数可判断的单调性和极值情况,可证明.1
2()1x h x e x x =---()h x ()1f x <试题解析：
当时，有0个公共点；
2
(0,4e a ∈当，有1个公共点；
2
4e a =当有2个公共点.
2
(,)4e a ∈+∞（2）证明：设，则，
2()1x h x e x x =---'()21x h x e x =--令，则，
'()()21x m x h x e x ==--'()2x m x e =-因为，所以，当时，；在上是减函数，
1(,1]2x ∈1[,ln 2)2x ∈'
()0m x <()m x 1
[,ln 2)2当时，，在上是增函数，
(ln 2,1)x ∈'()0m x >()m x (ln 2,1)
考点：1.函数的极值；2.函数的单调性与导数的关系；3.不等式；4.函数的零点.
【方法点睛】本题主要考查函数的极值，函数的单调性与导数的关系，不等式，函数的零点.有关零点问题一类题型是直接求零点,另一类是确定零点的个数.确定函数零点的常用方法:（1）解方程判定法,若方程易求解时用此法；（2）零点存在的判定定理法,常常要结合函数的性质,导数等知识；（3）数形结合法.在研究函数零点,方程的根及图象交点的问题时,当从正面求解难以入手,可以转化为某一个易入手的等价问题求解,如求解含绝对值,分式,三角式等较复杂的函数零点问题,常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解.
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号. 21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设点P（x，y）在矩阵M对应的变换作用下所得的点为P′（x′，y′），
则即=，
∴M=．
又det（M）=﹣3，
∴M﹣1=；
（Ⅱ）设点A（x，y）在矩阵M对应的变换作用下所得的点为A′（x′，y′），
则=M﹣1=，
即，
∴代入4x+y﹣1=0，得，
即变换后的曲线方程为x+2y+1=0．
【点评】本题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力及化归与转化思想，属于中档题．　
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD．
又∵平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，
且AC⊂平面ABCD，
∴AC⊥平面BDEF；
（Ⅱ）证明：在△CEF中，
∵G、H分别是CE、CF的中点，
∴GH∥EF，
又∵GH⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，
∴GH∥平面AEF，
设AC∩BD=O，连接OH，在△ACF中，
∵OA=OC，CH=HF，
∴OH∥AF，
又∵OH⊄平面AEF，AF⊂平面AEF，
∴OH∥平面AEF．
又∵OH∩GH=H，OH、GH⊂平面BDGH，
∴平面BDGH∥平面AEF．
（Ⅲ）由（Ⅰ），得AC⊥平面BDEF，
又∵AO=，四边形BDEF的面积S=3×=6，
∴四棱锥A﹣BDEF的体积V1=×AO×S=4，
同理，四棱锥C﹣BDEF的体积V2=4．
∴多面体ABCDEF的体积V=8．
【点评】本题考查了面面垂直的性质，面面平行的判定，考查了用分割法求多面体的体积，考查了学生的空间想象能力与推理论证能力．
23．【答案】
【解析】解：（1）f（1﹣2x）﹣f（x）=lg（1﹣2x+1）﹣lg（x+1）=lg（2﹣2x）﹣lg（x+1），
要使函数有意义，则
由解得：﹣1＜x＜1．
由0＜lg（2﹣2x）﹣lg（x+1）=lg＜1得：1＜＜10，
∵x+1＞0，
∴x+1＜2﹣2x＜10x+10，
∴．
由，得：．
（2）当x∈[1，2]时，2﹣x∈[0，1]，
∴y=g（x）=g（x﹣2）=g（2﹣x）=f（2﹣x）=lg（3﹣x），
由单调性可知y∈[0，lg2]，
又∵x=3﹣10y，
∴所求反函数是y=3﹣10x，x∈[0，lg2]．
24．【答案】
【解析】解　（1）∵=（﹣1，﹣2）﹣（2，4）=（﹣3，﹣6），
=（4，3）﹣（2，4）=（2，﹣1），
=﹣3×2+（﹣6）×（﹣1）=0，
∴AB⊥AC．
（2）=（4，3）﹣（﹣1，﹣2）=（5，5）．
设=λ=（5λ，5λ）
则=+=（﹣3，﹣6）+（5λ，5λ）=（5λ﹣3，5λ﹣6），
由AD⊥BC得5（5λ﹣3）+5（5λ﹣6）=0，
解得λ=，
∴=（，﹣）．
【点评】本题考查向量的垂直与共线的应用，向量的数量积的应用，考查计算能力．　。