广西桂林市全州县高级中学2015-2016学年高二数学5月月考试题文

2015-2016学年全州高中高二（下）第二次月考数学试卷（文科）
第I 卷 （选择题, 共60分）
一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的．)
1.集合{}|13A x x =-<<，集合{}|-12B x x =<<，则A B ⋂=（ ） A ．()1,2 B ．()1,2- C ．()1,3
D ．()1,3-
2．复数z =
（i 为虚数单位）的共轭复数等于（ ）
A ． ﹣1﹣2i
B ． 1+2i
C ．2﹣i
D ． ﹣2﹣i 3. 已知向量)1,2(-=a ，)1,0(=b ，则|2|b a +=（ ）
A.22
B. 5
C. 2
D. 4
4.已知函数24,0
()2,0
x x f x x x ⎧->=⎨≤⎩，则((1))f f =（ ）
A ．2
B ．0
C ．-4
D ．－6 5. “212cos =
α”是“2
1
sin =α”的（ ） A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分条件也不必要条件
6.．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x 的值是（ ）
A ．2
B ．
C ．
D ．3
7. 下列三句话按三段论的模式排列顺序是( )
①2 010能被2整除；
②一切偶数都能被2整除； ③2 010是偶数．
A ．①② ③
B ．③①②
C ．②③①
D ．②③① 8. 将函数)2
( )sin(2x f(x)π
ϕϕ<
+=的图象向右平移
12
π
个单位，所得到的图象关于y 轴对称，则函数()f x 在02π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，上的最小值为（ ）
A ．
32 B ．12 C ．1
2
- D ．32-
9..如图，给出的是求
111
246
+++……120+的值的一个程序框图，
则判断框内填入的条件是 ( )
A ．10i ≥
B ．10i ≤
C ．9≥i
D ．9≤i 10. 已知等比数列{}n a 的公比为12
-
, 则135246a a a a a a ++++的值是( )
(A) 2- (B) 12-
(C) 1
2
(D) 2 11．已知椭圆：
22
21(02)4x y b b
+=<<，左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若22||||BF AF +u u u u r u u u u r
的最大值为5，则b 的值是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3．
D .
32
12.如图所示的是函数d cx bx x x f +++=2
3
)(的大致图象，则2
22
1x x +等于（ ） A ．38 B ．
34
C ．3
2
D ．3
16
．
第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）
13. 已知实数y x ,满足1200x y x y ≤+≤⎧⎪
≥⎨⎪≥⎩
，则y x z +=2的最大值为
14. 在等差数列{}n a 中，78a =，前7项和742S =，则其公差是__________ 15. 已知正实数n m ,满足1=+n m ，当n m 161+取得最小值时，曲线αx y =过点)4
,5(n m P ， 则α的值为_____.
16．已知函数f (x )＝－x 3
＋ax 在区间(－1,1)上是增函数，则实数a 的取值范围是
否
是
1
S S n
=+
输出S 2n n =+ 1i i =+
结束
开始
0,2,1S n i ===
?
为
三、解答题：本大题共6小题，共70分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）（
已知函数()
2()log 12f x x x a =++--. (Ⅰ)当7a =时，求函数()f x 的定义域；
(Ⅱ)若关于x 的不等式()f x ≥3的解集是R ，求实数a 的最大值．
18. （本小题满分12分）17．
在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且()()3a b c a b c ab +++-=. （Ⅰ）求角C ； （Ⅱ）()23sin 22sin 212C f x x x π⎛⎫⎛
⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.
19. （本小题满分12分） .一个盒子中装有形状、大小、质地均相同的5张卡片，上面分别标有数字5,4,3,2,1.甲、乙两人分别从盒子中不放回地随机抽取1张卡片.
（Ⅰ）求甲、乙两人所抽取卡片上的数字之和为偶数的概率；
（ Ⅱ）以盒子中剩下的三张卡片上的数字作为线段长度，求以这三条线段为边可以构成三角形的概率.
20．（本小题满分12分）
在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是正方形，
AC 与BD 交于点O ，EC ⊥底面ABCD ，G 、F
分别为EO 、EB 中点， 且2AB CE =
.
（Ⅰ）求证：//DE 平面ACF ； （Ⅱ）求证：CG ⊥平面BDE ；
21． 已知椭圆G:22x a +22b
y =1(a>b>0)的离心率为36
，右焦点为（22，0）．斜率为1的直线l 与椭圆
G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P （﹣3，2）． （Ⅰ）求椭圆G 的方程；
A
B D
C
O
E
F
G
（Ⅱ）求△PAB 的面积．
22.（本小题满分12分） 已知函数1ln )2()(+-=x x x f
（I ）判断)(x f 的导函数)('x f 在）（2,1上零点的个数；
（II ）求证0)(>x f ：.
2015-2016学年全州高中高二（下）第二次月考数学试卷（文科）答案
一、BDBCB C DDBA CA 二．13.4 14. 2
3 15 .
21 16. ．a ≥3
三，解答题
17. (Ⅰ)解：由题设知：721>-++x x ， …………………………………1分 ① 当2x >时，得127x x ++->，解得4x >. ………………………………2分 ② 当12x ≤≤时,得127x x ++->,无解. …………………………………3分
③ 当1x <时,得127x x ---+>, 解得3x <-. ……………………………4分 ∴函数)(x f 的定义域为()(),34,-∞-+∞U . …………………………………5分 (Ⅱ)解：不等式3)(≥x f ，即821+≥-++a x x ， …………………………………6分
∵x ∈R 时，恒有()()12123x x x x ++-≥+--=，…………………………8分 又不等式821+≥-++a x x 的解集是R ，
∴83a +≤，即5a ≤-. ……………………………………………………………9分 ∴a 的最大值为5-. …………………………………………………………10分 18.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由()()3a b c a b c ab +++-=，得2
2
2
a b c ab +-= ………3分
∴2221
cos 22a b c C ab +-=
=，∴在ABC ∆中，3
C π= …………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知3
C π
=，
∴()2322sin 612f x x x ππ⎛⎫
⎛⎫=-
+- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭32cos 2166x x ππ⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2sin 21
66x ππ⎛⎫=--+ ⎪⎝
⎭2sin 213x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝⎭ ………8分
∵02
x π
≤≤
，∴223
3
3x π
π
π-
≤-
≤
，∴3sin 2123x π⎛
⎫-≤-≤ ⎪⎝
⎭， 10分 ∴132sin 2133x π⎛
⎫
-≤-+≤ ⎪⎝
⎭
…………11分 ∴函数()f x 的值域为13,3⎡⎤-⎣⎦ ……………12分
设“甲、乙两人所抽取卡片上的数字之和为偶数”为事件A ，
则事件A 包含的基本事件有：)3,5(),1,5(),2,4(),5,3(),1,3(),4,2(),5,1(),3,1(，共8个.（4分） 所以5
2
208)(==
A P .（6分） （Ⅱ）以盒子中剩下的三张卡片上的数字作为线段长度所包含的基本事件有：
{}{}{}{}{}{}{}{}{}{},5,4,3,5,4,2,5,3,2,4,3,2,5,4,1,5,3,1,4,3,1,5,2,1,4,2,1,3,2,1共10个.（8分）
设“以盒子中剩下的三张卡片上的数字作为线段长度，求以这三条线段为边可以构成三角形”为事件B ， 则事件B 包含的基本事件有{}{}{}5,4,3,5,4,2,4,3,2，共3个.（10分） 所以10
3
)(=
B P .（12分） 20.（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明: 连结OF ，
在正方形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ， 则O 为BD 的中点， 又∵F 是EB 中点， ∴OF 是BDE ∆的中位线， ∴//OF DE ，
∵DE ⊄平面ACF ，OF ⊂平面ACF ， ∴//DE 平面ACF ； ………………6分 （Ⅱ）证明∵EC ⊥底面ABCD ，
A
B D
C
O
E
F
G
BD ⊂平面ABCD ，
∴EC BD ⊥，
∵BD AC ⊥，且AC CE C =I ，∴BD ⊥平面ACE ，
∵CG ⊂平面ACE ，∴CG BD ⊥， 在正方形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，且2AB CE =，∴1
2
CO AC CE =
=， 在OCE ∆中，G 是EO 中点，∴CG EO ⊥，
∵EO BD E =I ，∴CG ⊥平面BDE ； ………12分
21 .【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆的离心率为，右焦点为 （，0），
∴，解得a=2，
∴b==2， 3分
∴椭圆G 的方程为． 5分
（Ⅱ）设l ：y=x+b ， 代入
，得4x 2+6bx+3b 2
﹣12=0，
根据韦达定理，，
∴y A +y B =， 8分 设M 为AB 的中点，则M （﹣
，），AB 的中垂线的斜率k=﹣1，
∴AB 的中垂线：x+y+=0，将P （﹣3，2）代入，得b=2， ∴l ：x ﹣y +2=0，根据弦长公式可得AB=3，d=
， 10分
∴S △PAB =
=． 12分
22. 解：（Ⅰ）函数()f x 定义域为0+∞（，）
2
'()ln x f x x x
-=+
， …………………………………………………………1分 因为'(1)10f =-<，'(2)ln 20f =>，所以存在0(1,2)x ∈使得0'()0f x = ……4分
令2
()ln (0)x g x x x x -=+
> 则212
'()0g x x x
=+>，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增， ………………5分
故'()f x 在区间1,2（）有且仅有一个零点． ………………………………………6分 （Ⅱ）由（1）可知
当00x x <<时，()0g x <即'()0f x <，此时)(x f 单调递减； 当0x x >时，()0g x >即'()0f x >，此时)(x f 单调递增；
所以0()()f x f x ≥ …………………………………8分 由0'()0f x =得00
2
ln 1x x =
-， 0(1,2)x ∈ 所以0000000
24
()()(2)ln 1(2)(1)15()f x f x x x x x x x ≥=-+=--+=-+ ………10分 令4()(12)h x x x x =+
<<，则224(2)(2)
'()10x x h x x x
+-=-=< 所以()h x 在区间(1,2)内单调递减，所以0()(1)5h x h <= …………………………11分 所以0()5()550f x h x ≥->-=. ………………………………………………12分。