山西省长治市黎城中学2020年高三数学文期末试卷含解析

山西省长治市黎城中学2020年高三数学文期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设实数a使得不等式对任意实数x恒成立，则满足条件的a所组成的集合是( )
A．B．C．
D．[－3,3]
参考答案：
A
令，则有，排除B、D。

由对称性排除C，从而只有A正确。

一般地，对k∈R，令，则原不等式为，由此易知原不等式
等价于，对任意的k∈R成立。

由于，所
以，从而上述不等式等价于。

2. 已知x=1是函数f（x）=ax3﹣bx﹣lnx（a＞0，b∈R）的一个极值点，则lna与b﹣1的大小关系是（）
A．lna＞b﹣1 B．lna＜b﹣1 C．lna=b﹣1 D．以上都不对
参考答案：
B
【考点】6D：利用导数研究函数的极值．
【分析】求出f（x）的导数得到b=3a﹣1，作差令g（a）=lna﹣（b﹣1）=lna﹣3a+2，（a＞0），根据函数的得到求出g（a）的最大值小于0，从而判断出lna和b﹣1的大小即可．
【解答】解：f′（x）=3ax2﹣b﹣，
∵x=1是f（x）的极值点，∴f′（1）=3a﹣b﹣1=0，
即3a﹣1=b，
令g（a）=lna﹣（b﹣1）=lna﹣3a+2，（a＞0），
则g′（a）=﹣3=，
令g′（a）＞0，解得：0＜a＜，
令g′（a）＜0，解得：a＞，
故g（a）在（0，）递增，在（，+∞）递减，
故g（a）max=g（）=1﹣ln3＜0，
故lna＜b﹣1，
故选：B．
3. 已知，则是成立的
A 充要条件
B 充分不必要条件
C 必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
参考答案：
C
4. 已知集合，则中元素的个数是
A.2
B.3
C.4
D.5
参考答案：
B
当时，；当时，；当时，；当时，，所以，所以，故选B.
5. 已知函数，则函数的图象可能是（）
参考答案：
B
6. 已知集合，，若，则为（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
7. 设F1、F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若
|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是（）
A．x±y=0B．x±y=0 C．x±2y=0D．2x±y=0
参考答案：
A
【考点】KC：双曲线的简单性质．
【分析】不妨设P为右支上一点，由双曲线的定义，可得，|PF1|﹣|PF2|=2a，求出△PF1F2的三边，比较即可得到最小的角，再由余弦定理，即可得到c=a，再由a，b，c的关系，结合渐近线方程，即可得到所求．
【解答】解：不妨设P为右支上一点，
由双曲线的定义，可得，|PF1|﹣|PF2|=2a，
又|PF1|+|PF2|=6a，
解得，|PF1|=4a，|PF2|=2a，
且|F1F2|=2c，
由于2a最小，即有∠PF1F2=30°，
由余弦定理，可得，cos30==．
则有c2+3a2=2ac，即c=a，
则b==a，
则双曲线的渐近线方程为y=x，
即为y=x，
故选A．
8. 设函数f(x)＝e x+1-ma，g(x)＝ae x-x（m，a为实数），若存在实数a，使得f(x)≤g(x)对任意x∈R 恒成立，则实数m的取值范围是
A． B． C． D．
参考答案：
C
9. 已知复数，则等于（）
A．1 B．C．2 D．
参考答案：
B
∴
故选B
10. (2009湖北卷理)已知双曲线的准线过椭圆的焦点，则直线
与椭圆至多有一个交点的充要条件是
A. B.
C. D.
参考答案：
A
解析：易得准线方程是
所以即所以方程是
联立可得由可解得A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+sin(x+) sin(x－)，若x=x0(0≤x0≤)为函数f（x）的一个
零点，则cos2x0=
．
参考答案：
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】先根据三角函数的化简得到f （x ）=2sin （2x ﹣）+，再根据函数零点得到sin （2x 0﹣）=﹣，利用同角的三角形函数的关系和两角和的余弦公式即可求出．
【解答】解：函数f （x ）=sin 2x+2=﹣cos2x+sin2x﹣
cos2x=sin2x﹣cos2x+=2sin（2x﹣）+，
令f（x0）=0，
∴2sin（2x0﹣）+=0，
∴sin（2x0﹣）=﹣
∵0≤x0≤，
∴﹣≤2x0﹣≤，∴cos（2x0﹣）==，
∴cos2x0=cos（2x0﹣+）=cos（2x0﹣）cos﹣sin（2x0﹣）
sin=×+×=，
故答案为：
【点评】本题考查额三角函数的化简，重点掌握二倍角公式，两角和的正弦和余弦公式，以及函数零点的问题，属于中档题
12. 已知过抛物线y2＝4x焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|＝2，则|BF|＝______. 参考答案：
2
略
13. 高三⑴班共有56人，学号依次为1，2，3，┅，56，现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本，已知学号为6，34，48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为 .
参考答案：
20
14. 已知函数，当x=a时，y取得
最小值b，则_________。

参考答案：
6
略
15.
把一枚硬币投掷5次, 恰好2次出现正面的概率为________.
参考答案：
答案：
16. 函数，实数互不相同，若，则的范围
为
．
参考答案：
略
17. 设函数f（x）=，
①若a=1，则f（x）的最小值为；
②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是．
参考答案：
﹣1 ;≤a＜1或a≥2.
考点：函数的零点；分段函数的应用．
专题：创新题型；函数的性质及应用．
分析：①分别求出分段的函数的最小值，即可得到函数的最小值；
②分别设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a），分两种情况讨论，即可求出a的范围．
解答：解：①当a=1时，f（x）=，
当x＜1时，f（x）=2x﹣1为增函数，f（x）＞﹣1，
当x＞1时，f（x）=4（x﹣1）（x﹣2）=4（x2﹣3x+2）=4（x﹣）2﹣1，
当1＜x＜时，函数单调递减，当x＞时，函数单调递增，
故当x=时，f（x）min=f（）=﹣1，
②设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）
若在x＜1时，h（x）=与x轴有一个交点，
所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，
所以≤a＜1，
若函数h（x）=2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，
则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，
当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），
当h（1）=2﹣a≤时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2a，都是满足题意的，
综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2．
点评：本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数．
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）若在中，角的对边分别为，，为锐角，且，求
面积的最大值．
参考答案：
略
19. 设，函数。

(Ⅰ)若a ＝2，求曲线在点(1，f (1))处的切线方程；
(Ⅱ)若函数
有两个不同的零点，求a 的取值范围。

参考答案：
20. （本小题满分14分） 已知
，设函数
2,4,6 （1）求
的最小正周期及单调递增区间；
（2）当时，求的值域. 参考答案：
解：（1）
∴的最小正周期为
…………4分
由得
的单调增区间为…………8分
（2）由（1）知
又当故
从而的值域为………14分
本试题主要是考查了三角函数的图像与性质的运用。

（1）将函数化简为单一函数，，然后运用周期公式得到结论。

（2）由（1）知，结合定义域求解得到
，根据函数图像得到结论。

21. (本小题满分13分)
设函数是定义域为的奇函数.
(1)求值；
(2)若,试判断函数单调性，并求使不等式恒成立的的取值范围；
(3)若,且在上的最小值为,求的值.
参考答案：
解:(1)∵f(x)是定义域为R的奇函数,∴f(0)=0,
∴1-(k-1)=0,∴k=2, ……………（2分）
经检验知：k=2满足题意……………（4分）
(2)
……………（5分）
单调递减,单调递增,故f(x)在R上单调递减.
不等式化为
恒成立,
,解得……………（8分）
(3)∵f(1)=,,即
……………（9分）
∴g(x)=22x+2-2x-2m(2x-2-x)=(2x-2-x)2-2m(2x-2-x)+2.
令t=f(x)=2x-2-x,
由(1)可知f(x)=2x-2-x为增函数,∵x≥1,∴t≥f(1)=,
令h(t)=t2-2mt+2=(t-m)2+2-m2(t≥)
若m≥,当t=m时,h(t)min=2-m2=-2,∴m=2
若m<,当t=时,h(t)min=-3m=-2,解得m=>,舍去
综上可知m=2. ……………（13分）
22. [选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数f（x）=–x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│.
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；
（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范围. 参考答案：。