正弦稳态电路的相量模型

综上所述，正弦稳态的无源二端网络，可等效为电阻和电抗 的串联电路，也可等效为电导和电纳的并联电路。对于同一 个二端网络，两者之间有如下关系：
Y 1 Z R R X
2 2
j
X R X
2 2
G jB
G R G 2 2 R G2 B2 R X 或 B X X B 2 2 2 2 R X G B
故三种元件的相量关系又可归纳为
I YU
而电阻、电感、电容的导纳分别为


(6-36)
YR YL
1 R 1
G j 1 L jB L
j L
YC j C jB C
易知，阻抗Z和导纳Y是一对对偶元素。式（6-35）和（6-36） 均被称为欧姆定律的相量形式。
二、RLC组成二端网络的阻抗和导纳
Z R 1 R 1 30
Z j L j10 10 10
3
3 6
j10 j0 .11 S
Yc j C j10 110 10
3
Y
1 Z R1 Z L
1 30 j10
Yc Y R 2

j0 . 11 0 . 1
R ( L
2
1
L
) arctg
2
1
C
C
R
由于电抗X是角频率的函数,因此，在不同频率下，电路会 呈现出不同性质：
UL

当 L 当 L 当 L
1
C
1
时,电路可等效为一个阻值为R的纯电阻 时,电路可等效为一个R和L组成的串联电路 时,电路可等效为一个R和C组成的串联电路
X
|Z|
）
Z Z
R R | Z | cos Z X | Z | sin Z

X
R
（d）
N 由式（6-37）得， 0可如图（C）有一个电阻元件R和一个电抗 + 元件X串联的电路等效。
I

R
jX
U
_ （C）
N (1)当X>0时，Z >0， 0 端口电压超前于电流，网络呈感 性，电抗元件等效为一个电感元件；
G | Y | cos Y
由式（6-38）得, N 0 可如图6-15（f）用一个电导元件G 与一个电纳元件B并联的电路等效。
同样：
N （1）当B>0时， Y >0， 0 端口电流超前电压，网络呈容性 ，电纳元件B可等效为一个电容元件； N （2）当B<0时， Y <0， 0 端口电流滞后电压，网络呈感性 ，电纳元件B可等效为一个电感元件； （3）当B=0时, Y=0,N 0 端口电流与电压同相，网络呈阻性 ，导纳Y可等效为一个电阻。
N (2)当X<0时， Z <0， 0端口电压滞后于电流，网络呈容性 ，电抗元件可等效为一个电容元件；
N (3)当X=0时， Z=0， 0 端口电压与电流同相，网络呈阻 性，可等效为一个电阻。
同样，阻抗Z的倒数即导纳Y有

导纳的 电导分 量
导纳的 电纳分 量
Y
1 Z

I


I U
( I U ) | Y | Y
6-3-3 阻抗与导纳
一、元件的阻抗与导纳 1、阻抗
定义：元件在正弦稳态时，电压相量与电流相量之比定义为该元 件的阻抗， U 即 Z （6-35）

I
Z的单位为欧姆（ ）
在6-3-2节中，我们讲到，在关联参考方向下，电阻、电感、 电容元件伏安关系的相量形式分别为
U R I U j L I U
正弦稳态电路的相量模型 &阻抗与导纳
主讲人—— 梁子龙、葛育波、鲁旻昊。
主要内容：
1、阻抗和导纳的定义，阻抗的模和阻抗角，及其物理意 义。 2、R、L、C阻抗的表达式。 3、讨论阻抗和导纳在什么条件下呈感性、容性或电阻性。 4、推导阻抗和导纳的转换关系。 5、当多阻抗串联时推导其等效阻抗的表达式，阻抗并联 呢？ 6、如何求一个两端网络的等效阻抗，举例说明【6-11】 阻抗能否像电阻一样进行 Y 变换？ 7、什么是正弦稳态电路的相量模型？
[例6-8] 如图所示二端网络，试求该二端网络的输入阻抗并 分析电路性质。 I ＋U R ＋ － －
＋

解：由二端网络输入阻抗的定 义和KVL有：
R
L ＋ C UC －
U Z
－
U 1 Z Z R Z L ZC R jX L jX C R j ( X L X C ) R j ( L ) I C
图（a）所示为一个含线性电阻，电感，电容等元件，处于正弦 稳态电路中的无源二端网络


+

I
+

I
_
— (a)

U
N0
U
Z
（b）

设其端口电压相量为 U U U 电流相量为 I I I 电 流与电压取关联参考方向则
将端口电压相量 U与电流相量 I 之比称为网络 或等效阻抗，简称阻 抗z,其图形符号如图（b） 即

1 j C

I
由式（6-35），电阻、电感，电容的阻抗分别为
ZR R Z L j L jX L ZC 1 j C j 1 C jX C
2、导纳
定义：在电路理论中，将电流相量与电压相量之比，即阻抗的 倒数定义为导纳
即

Y
I


1 Z
U
Y的单位为西门子（S）



的输入阻抗 N0
Z
U


U I
( U I ) | Z | Z R jX
(6-37)
I
阻抗的模
阻抗角
阻抗的电 阻分量
阻抗的电 抗分量
阻抗的电阻分量R与电抗分量X与模|Z|构成如图（d）所示的直 角三角形，即有：
| Z | R X
2 2
Z arctg
1 |Z|
Z G jB
U
导纳的 模
导纳的角
Y的图形符号如图（e）。导纳的电导分量G和电纳分量B与导 纳Y构成如图（g）所示的直角三角形，既有：


+

I
Y
I
+

|Y|
G jB ） (f)
U
—
U
—
Y
G
B
（e）
(g)
| Y | G B
2
2
Y arctg
B G
B | Y | sin Y
o
，表示电流
I
超前电压
U
，故电
6-3-4 正弦稳态电路的相量模型
将电路中各元件分别用其阻抗（或导纳）表示,将电路各支 路电压，电流都用对应相量形式表示，参考方向仍与原电路相 同。
＋ ＋ uS(t) － uL L － ＋ uR R －＋ uC C i(t)

－
＋

－ ＋
－
＋
＋
UL
UR
U C－
C
1
C
若有几个阻抗串联，它的等效阻抗为
Z
Z
k 1
n
k

(R
k 1
n
k
jX k )
当 C 当 C 当 C
1 L 1 L 1 L
时,电路可等效为一个带电导值为G的纯电阻 时,电路可等效为一个G和C组成的并联电路 时,电路可等效为一个G和L组成的并联电路
若有几个导纳并联，它的等效阻抗为
1 j C

j L
R

U－S
I
(a)电路时域模型
(b)相量模型
Y
Y
k 1
n
k

(G
k 1
n
k
jB k )
[例6-11]如图电路，已知
u ( t ) 2 2 cos 1000 tV
,R2
10
求电
,
R 1 30
流
,
L 10 mH , C 110 F ,
i(t )
并说明电路的性质。
解：
YR 2
1 R2
0 . 1S
o
0 . 13 j0 . 1 0 . 164 37 . 6 S
因为
o U 2 0 V源自则有 Y U 0 .328 37 .6 o A I
即
i ( t ) 0 . 464 cos( 1000 t 37 . 6 ) A
o
Y 由 路呈电容性。
37 .6 0