2.3.3 点到直线的距离公式 2.3.4 两条平行线间距离(分层练习)(选择性必修第一册)

2.3.3点到直线的距离公式
2.3.4两条平行线间距离
基础练
巩固新知夯实基础1.点(2，5)到直线y＝2x的距离为()
A.5 5
B.25
5
C.35
5
D.5
2.已知点(3，m)到直线x＋3y－4＝0的距离等于1，则m等于()
A.3B．－3C．－3
3D.3或－3
3
3.已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则实数m的值为()
A．－6或1
2B．－1
2或1C．－
1
2或
1
2
D．0或1
2
4.到直线3x－4y＋1＝0的距离为3，且与此直线平行的直线方程是() A．3x－4y＋4＝0
B．3x－4y＋4＝0或3x－4y－2＝0
C．3x－4y＋16＝0
D．3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝0
5.(多选)若点A(a，1)到直线3x－4y＝1的距离为1，则a的值为（）
A．0B．10
3
C．5D．－
10
3
6.直线5x＋12y＋3＝0与直线10x＋24y＋5＝0的距离是________．
7.已知点P为x轴上一点，且点P到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为________．
8.已知直线l过点A(1,2)，且原点到直线l的距离为1，求直线l的方程．
能力练
综合应用
核心素养
9.直线l 过点A (3，4)且与点B (－3，2)的距离最远，那么l 的方程为()
A ．3x －y －13＝0
B ．3x －y ＋13＝0
C ．3x ＋y －13＝0
D ．3x ＋y ＋13＝0
10.两平行线分别经过点A (3，0)，B (0，4)，它们之间的距离d 满足的条件是()
A ．0<d ≤3
B ．0<d ≤5
C ．0<d <4
D ．3≤d ≤511.直线2x ＋3y －6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是()
A ．3x －2y －6＝0
B ．2x ＋3y ＋7＝0
C ．3x －2y －12＝0
D ．2x ＋3y ＋8＝0
12.（多选）已知直线l 过()1,2P ，且()2,3A ，()4,5B -到直线l 的距离相等，则l 的方程可能是（
）
A ．460x y +-=
B ．460x y +-=
C ．3270
x y +-=D ．2370
x y +-=13.已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点，且点A (5，0)到l 的距离为3，则直线l 的方程为________．
14.已知直线l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行，且l 1与l 2的距离是2，求l 1的方程．
15.已知坐标平面上三点A (5,1)，B (7，－3)，C (2，－8)，过点C 作AB 的平行线交x 轴于点D ．
(1)求点D 的坐标；(2)求四边形ABCD 的面积．
【参考答案】
1.A 解析
直线y ＝2x 可化为2x －y ＝0，由点到直线的距离公式得|2×2－5|22＋（－1）2
＝15＝5
5
.2.D 解析：由
|3＋3m －4|2
＝1，解得m ＝3或－3
3，故选D.
3.A 解析：|3m ＋2＋3|m 2＋12＝|－m ＋4＋3|m 2＋12
，即|3m ＋5|＝|7－m |，解得m ＝－6或1
2.
4.D 解析：在直线3x －4y ＋1＝0上取点(1,1)．设与直线3x －4y ＋1＝0平行的直线方程为3x －4y ＋m ＝0，则
|3×1－4×1＋m |32＋
－4
2
＝3，解得m ＝16或m ＝－14，即所求直线方程为3x －4y
＋16＝0或3x －4y －14＝0.
5.AB 解析：点A (a ，1)到直线3x －4y ＝1的距离为34115a --=，故35
15
a -=，解得0a =或10
3
a =.故选：AB.6.
126解析：直线10x ＋24y ＋5＝0可化为5x ＋12y ＋5
2＝0，所以两平行直线间的距离d ＝|
3－
52
|
52＋122＝126
.
7.(－12,0)或(8,0)解析：设P (a,0)，则有|3a －4×0＋6|32＋
－4
2
＝6，解得a ＝－12或8，
∴点P 的坐标为(－12,0)或(8,0)．
8.解：当直线l 过点A (1,2)且斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1，原点到直线l 的距离为1，满足题意．
当直线l 过点A (1,2)且斜率存在时，由题意设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0．
因为原点到直线l 的距离为1，所以|－k ＋2|k 2＋1＝1，解得k ＝34．
所以所求直线l 的方程为y －2＝3
4(x －1)，即3x －4y ＋5＝0．
综上所述，所求直线l 的方程为x ＝1或3x －4y ＋5＝0．
9.C 解析：由题意知直线l 与AB 垂直，且过A 点，∴k l ·k AB ＝－1，
又∵k AB ＝4－23＋3＝1
3，∴k l ＝－3，∴l 的方程为y －4＝－3(x －3)，即3x ＋y －13＝0.
10.B 解析：当两平行线与AB 垂直时，两平行线间的距离最大为|AB |＝5，所以0<d ≤5.11.D 解析：法一
设所求直线的方程为2x ＋3y ＋c ＝0(c ≠－6)，
由题意可知|2－3－6|22＋32＝|2－3＋c |
22＋32.∴c ＝－6(舍)或c ＝8.故所求直线的方程为2x ＋3y ＋8＝0.
法二
令(x 0，y 0)为所求直线上任意一点，则点(x 0，y 0)关于(1，－1)的对称点为(2－x 0，－2
－y 0)，此点在直线2x ＋3y －6＝0上，代入可得所求直线方程为2x ＋3y ＋8＝0.
12.AC 解析：由条件可知直线l 平行于直线AB 或过线段AB 的中点，当直线//l AB 时，AB 的斜率为
35
424
+=--，l 的方程是()241y x -=--，即460x y +-=；当直线l 经过线段AB 的中点()3,1-时，l 的斜率为213
132+=--，l 的方程是()3212
y x -=--，即3270x y +-=，故选：AC
13.4x －3y －5＝0或x ＝2x ＋y －5＝0，
－2y ＝0，
解得交点P (2，1)．
当直线l ⊥x 轴时，直线l 的方程为：x ＝2，则点A (5，0)到l 的距离为3，满足条件．当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为：y －1＝k (x －2)．∵点A (5，0)到l 的距离为3，∴|3k ＋1|
k 2＋1
＝3，解得k ＝43.∴直线l 的方程为：y －1＝4
3(x －2)，化为：4x －3y －5＝0.
综上可得：直线l 的方程为：4x －3y －5＝0或x ＝2.14.解：方法1：∵l 1∥l 2，∴可设l 1的方程为x ＋y ＋c ＝0．
在直线l 2上取一个点，如(1,0)，则点(1,0)到直线l 1的距离等于2，从而|1＋c |1＋1
＝2，∴|c ＋
1|＝2．∴c ＝1或c ＝－3．
∴l 1的方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0．方法2：∵l 1∥l 2，∴可设l 1的方程为x ＋y ＋c ＝0．∴l 1与l 2的距离为
|c －(－1)|
1＋1
＝2，|c ＋1|＝2．∴c ＝1或c ＝－3．
从而l 1的方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0．15.解：(1)根据题意，A (5,1)，B (7，－3)，则k AB ＝
1－(－3)
5－7
＝－2，又由AB ∥CD 知，k CD
＝－2，则直线CD 的方程为y ＋8＝－2(x －2)，即2x ＋y ＋4＝0．令y ＝0，解得x ＝－2，则D (－2,0)．
(2)因为|AB |＝25，|CD |＝45，AB ∥CD ，故四边形ABCD 为梯形，点A (5,1)到直线CD ：2x ＋y ＋4＝0的距离为
|10＋1＋4|5
＝35，所以四边形ABCD 的面积S ＝1
2×(25＋45)×35＝45．。