向量的线性运算技巧及练习题

向量的线性运算技巧及练习题
一、选择题
1. 下列条件中，不能判定a// b的是().
r r r r r r r r r r
A. a//c,b//c
B. |a | 31 b |
C. a 5b
D. a 2b 【答案】B
【解析】
【分析】
根据平面向量的性质进行逐一判定即可.
【详解】
解：A、由a〃c,b〃c推知非零向量a、b、c的方向相同，贝y a〃b，故本选项不符合题
意.
B、由| a | 31 b |只能判定向量a、b的模之间的关系，不能判定向量a、b的方向是否相同，故本选项符合题意.
c、由r a r , r r
5b可以判定向量a、b的方向相反，则
r r ,
a//b，故本选项不符合题意r r r r r r
D、由a2b可以判定向量a、b的方向相同，贝U a//b，故本选项不符合题意.
故选：B.
【点睛】
本题考查的是向量中平行向量的定义，即方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向
量.
2. 四边形ABCD中，若向量 G与…是平行向量，则四边形ABCD ()
A. 是平行四边形
B.是梯形
C.是平行四边形或梯形
D.不是平行四边形，也不是梯形
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题目中给的已知条件山与厂门是平行向量，可得AB与CD是平行的，且不确定■小与陵的大小，有一组对边平行的四边形可能是梯形或者平行四边形，故可得答案
【详解】
根据题意可得AB与CD是平行的，且不确定与-门的大小，所以有一组对边平行的四边
形可能是梯形或者平行四边形•
故答案为：C.
【点睛】
此题考查平行向量，解题关键在于掌握平行向量的特征.
3. 下列等式正确的是（）
uun uuu uur uuu A. AB + BC = CB+ BA uuu uuu uuu B. AB
—BC =AC
uuu uuu uuu uuu
uuu uuu uuu r c. AB+BC +CD = DA
D . AB + BC - AC = 0
【答案】D 【解析】 【分析】
根据三角形法则即可判断• 【详解】
uuu uur uur T AB BC AC ，
uuur uuu uuur uuur uuur r •- AB BC AC AC AC 0，
故选D . 【点睛】
本题考查平面向量的三角形法则，解题的关键是熟练掌握三角形法则
考查了平面向量的运算，解题关键是利用矩形的性质和三角形法则
5.下列命题：
c ，则 c a ；
〃c ，贝y a 〃c ；
r r r r 亠 r r
③
若 I a |=2| b l ，则 a 2b 或 a = - 2b ；
④ 若
；与b 是互为相反向量，则 5 + b =0.
其中真命题的个数是（
）
uuu uuu
AB 模长为-.3, BC 模长为1，则向量（
uuu uuu uur AB + BC +AC )
的长度为（）
A . 2
B . 4
【答案】 B
【解析】
【分析】
ujur uuu uuu uu 先求出， AC AB BC ，然后 AB uuu
uuu uur 的长度为 (AB + BC + AC )
【详解】
uuu .3,| uur
Q| AB| uur
|AC| BC| 1
,(■ 3)2 12 2
uur iuu iuu Q AC AB BC
uuu uur uur uur AB BC AC 2AC uuu uur uuu uuu
| AB BC AC| |2AC | 2 2
C. .3 1
D . ..3 1
BC AC 2AC ，利用勾股定理即可计算出向量
rb rb r b r
b ra r a
若若
①②
4.在矩形ABCD 中，如果
故选：B. 【点睛】
4
A ．1 个
B ． 2 个
C ． 3 个
D ． 4 个
【答案】 C 【解析】
【分析】 根据向量的定义，互为相反向量的定义对各小题分析判断即可得解． 【详解】
① 若 a
r b r
， b r c r ，则 c r a r ，正确；
反；
r r r r
④ 若 a 与 b 是互为相反向量，则 a +b =0，正确．
综上所述，真命题的个数是 3 个． 故选 C ．
6．下列说法正确的是（ ）． A. —个向量与零相乘，乘积为零 B. 向量不能与无理数相乘
C. 非零向量乘以一个负数所得向量比原向量短
D. 非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反
【答案】 D 【解析】
【分析】 根据平面向量的定义和性质进行判断. 【详解】
解： A. 一个向量与零相乘，乘积为零向量 .故本选项错误；
B. 向量可以与任何实数相乘 .故本选项错误；
C. 非零向量乘以一个负数所得向量的方向与原向量相反，但不一定更短 .故本选项错误；
D. 非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反
.故本选项正确 .
故答案是： D.
【点睛】 考查了平面向量的知识，属于基础题，掌握平面向量的性质和相关运算法则即可解题.
7.下面四个命题中正确的命题个数为（
）.
r r
r
r
① 对于实数 m 和向量 a 、 b ，恒有 m a
ma mb
r
② 对于实数 m 、 n 和向量 a ，恒有 m r na r ma
r na
③ 若 ma r mb （ m 是实数）时，则有 a r
r b
④ 若 ma r na r （ m 、 n 是实数， a r 0r
） ，则有
m n
② 若a 〃 b ③ 若| a r |=2|
rc
r
b | ，则 a r
则a ii c ，正确；
2ib 或5 = - 2|b ，错误，因为两个向量的方向不一定相同或相
A. 1个
B . 2个
【答案】C 【解析】 【分析】
根据平面向量的性质依次判断即可
根据平面向量计算法则依次判断即可 【详解】
r r r r r
r A 、2 a b c 2a 2b c ，故A 选项错误;
r
r r r r r r
r r B 、
3 a b 3 b a 3a 3b +3b 3a=6b ，故 B 选项错误;
uur uir r
故C 选项错误；
C 、 AB
BA 0， D 、 a b
3a r
5b 4a 4【，故D 选项正确； 故选D.
【点睛】 本题是对平面向量计算法则的考查，熟练掌握平面向量计算法则是解决本题的关键
9. O\BCD 中，益三I 等于（） A.
㈡ B . /■' |
【答案】A 【解析】 【分析】
C. 3个 D . 4个
【详解】
①对于实数m 和向量a 、
m
ra m
r r r
② 对于实数 m 、n 和向量5，恒有 m n a ma na ，正确； ③ 若m a mb （ m 是实数）时，则有 a b ，错误，当m=0时不成立; ④ 若ml n$ （ m 、n 是实数，a 0），则有m n ，正确； 故选C. 【点睛】
本题考查平面向量知识，熟练掌握平面向量的基本性质是解决本题的关键.
& 下列各式正确的是（ ）.
r r r 小 r J r A . 2 a
c 2a b c
uuu uur uuu C AB BA 2AB
【答案】 D
【解析】
【分析】
B. 3 a b 3 b a 0 D . a b 3ai 5b 4ai 4b
ra
m
有
叵
在平行四边形中，两对对边平行且相等，以一对对边所在的线段构成向量，得到的向量要 么相等，要么是相反向量，根据本题所给的两个向量来看，它们是一对相反向量，和为零 向量，得到结果. 【详解】
T 在平行四边形 ABCD 中，小 与R ：是一对相反向量，
・ I < i ■. i
* || *. 斗
-
g +j ； i = m+ i
：,
故选A . 【点睛】
此题考查向量加减混合运算及其几何意义，解题关键在于得出
10.
已知非零向量a 、b 、c ，在下列条件
中，不能判定
a 〃
b 的是(
)
分析：根据平面向量的性质即可判断.
uir r
•- a Pb ，故本选项，不符合题意; B.
r r r r
uir r
••• a =2c, b =3C ，二a Pb ，故本选项，不符合题意；
C.
r r
uur r
••• a = - 5b ，二a Fb ，故本选项，不符合题意；
D.
r r
urr
a |=2|
b I ，不能判断a Pb ，故本选项，符合题意.
故选D .
点睛：本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的基本性质的解题的关键.
r r r
r r
11. 已知a 、b 、c 都是非零向量，如果 a 2c , b 2C ，那么下列说法中，错误的是
()
r r r r
7
r r
A . a//b
B . a b
C . B
D D . a 与 b 方向相反
【答案】C 【解析】 【分析】
利用相等向量与相反向量的定义逐项判断即可完成解答 .
【详解】
川与777 是一对相反向量
〃
r a
A-
r b
5 r a
G r
c
3 r
b r
c 2 r a
B
D . |a| 2|b|
rc
r b
rG
解：已知v=2c , 2，故V I D是长度相同，方向相反的相反向量，
uuu r ••• AB a ，
r r uuu
uuiu uur •'•a b = AB + BC =AC .
故选B .
13.
下列说法正确的是（ ）
r r
r
C. 如果|a| |b |，那么a
r r a//b
【答案】D 【解析】
【分析】 根据向量，单位向量，平行向量的概念，性质及向量的运算逐个进行判断即可得出答案 【详解】
r r A . a ( a) 0
B .如果a 和b 都是单位向量，那么
故A,B,D 正确，
向量之和是向量，C 错误, 故选
C.
【点睛】
本题主要考查的相等向量与相反向量，熟练掌握定义是解题的关键；就本题而言，就是正 确运用相等向量与相反向量的定义判断
A 、
B 、D 三项结论正确•
uuu r uu r , r r — 如果AB a ， AD b ，那么a
b 等于(
iuur C.
DB
uuu D .
CA
【解析】
【分
由四边形ABCD 是平行四边形，可得 则，即可求得答案. 【详解】
AD=BC, AD// BC,则可得BC b ，然后由三角形法
解：•••四边形ABCD 是平行四边形, • AD=BC, AD / BC ,
rb
D . a
1
lb （ b 为非零向量），那么 2
【答案】B A . BD
B . AC
切
r r. ,
解：A 、a （ a ）等于0向量，而不是o ,故A 选项错误；
B 、如果；和b 都是单位向量，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，故
B 选项错
误；
C 如果|a| |b|，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，故
C 选项错误；
r
1 r r 二
r r ,
D 、如果a
b （ b 为非零向量），可得到两个向量是共线向量，可得到 a//b ，故D 2
选项正确• 故选：D. 【点睛】
本题考查向量的性质及运算，向量相等不仅要长度相等，还要方向相同，向量的运算要注 意向量的加减结果都是一个向量
14. 在矩形ABCD 中，下列结论中正确的是（
【答案】D
uuu
UULT
uuiu
uuu
UU
uuu A . AB CD B . AC BD
C. AO
OD
UHT D . BO
uur OD
【答案】 【解析】 【分析】
根据相等向量及向量长度的概念逐一进行判断即可. 【详解】
相等向量： uuu A. AB
uuur B. AC 长度相等且方向相同的两个向量
uuu
CD ，故该选项错误； uuur
BD ，但方向不同，故该选项错误; C. 根据矩形的性质可知，对角线互相平分且相等，所以
uuu uuu
D. BO OD ，故该选项错误； 故选：C.
【点睛】
UULT uuu AO OD
本题主要考查相等向量及向量的长度，掌握相等向量的概念是解题的关键.
15.下列有关向量的等式中，不一定成立的是
uuu um
A . A
B BA uuu uuu uuur C. AB + B
C = AC
)
uuu B . AB uuu D . AB uur BA
uiur
BC
uu u AB
uu u BC
B
C ，故该选项正确;
【解析】 【分析】
根据向量的性质，逐一判定即可得解
故答案为D. 【点睛】 此题主要考查向量的运算，熟练掌握，即可解题.
UUUT T UUT T
16. 已知点C 在线段AB 上，AC 3BC ，如果AC a ，那么BA 用a 表示正确的是（）
3 T 3 T 4T 4T A . — a
B .
a C. — a
D .
a 4
4 3
3
【答案】D 【解析】 【分析】
根据平面向量的线性运算法则，即可得到答案 •
【详解】
UULT T •••点 C 在线段 AB 上，AC 3BC , AC a ,
4
二 BA=—AC ,
3
UUU UUU
••• BA 与AC 方向相反，
UUT 4 T
二 BA = §a ，
故选D. 【点睛】
本题主要考查平面向量的运算，掌握平面向量的运算法则，是解题的关键
17.
已知e 是单位向量，且a 2& V 4$，那么
下列说法错误的是（
）
T T T
T T T 1 T A. a 〃 b
B . | a 1=2
C. | b l= - 2| a l
D . a =—匚b
2
【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】
【详解】
A 选项,
B 选项,
C 选项,
D uu u AB um AB
uuu
BA ，成立; ULT
BA ，成立; UUU UUU UULT 、 AB + BC = AC ，成立;
UUU UUU AB BC UU U AB
UUU
BC 不 定成立;
解：••• e 是单位向量，且a 2e , bv 4e , v//b ，肖 2, |b| 4, a 1
b , 故C 选项错误，
故选C.
r r r
r r
18.已知非零向量a 、b 和c ，下列条件中，不能判定 aPb 的是（）
r r r r r r A . a
2b
B .
a c
b 3c
r r r r r r
r
r
C. a 2b c ， a b c
D .
a 2 b
【答案】D 【解析】 【分析】
根据平行向量的定义，符号相同或相反的向量叫做平行向量对各选项分析判断利用排除法 求 【详解】
A 、 a 2b ，两个向量方向相反，互相平行，故本选项错误；
r r r r r r r ,
B 、 a c ， b 3c ，则a 〃 b ” c ，故本选项错误；
C 、 由已知条件知2a b ， 3a ：，则a 〃 b 〃 ：，故本选项错误；
r r
D 、 a 2 b 只知道两向量模的数量关系，但是方向不一定相同或相反，
a 与
b 不一 「定平
行，故本选项正确. 故选：D . 【点睛】
本题考查了平面向量，主要是对平行向量的考查，熟记概念是解题的关键.
19. 如图，在 AABC 中，点D 是在边BC 上，且BD = 2CD, M ="，川’，那么」门等于
【答案】D 【解析】 【分析】
利用平面向量的加法即可解答 【详解】
解：根据题意得 而=%,
3
一 _. _ _ 2_
AD = AB + B 卫= “ + — b .
____ 2J
D. MD =H +—b
C
—2 一 2 亠
B .山。

= —□+—/?
3
故选D.
【点睛】
本题考查平面向量的加法及其几何意义，涉及向量的数乘，属基础题.
20. 下列结论正确的是（）.
A. 2004cm长的有向线段不可以表示单位向量
B. 若AB是单位向量，则BA不是单位向量
uuu uuu
C. 若O是直线l上一点，单位长度已选定，则I上只有两点A、B，使得OA、OB是单位向量
D. 计算向量的模与单位长度无关
【答案】C
【解析】
【分析】
根据单位向量的定义及意义判断即可•
【详解】
A.1个单位长度取作2004cm时，2004cm长的有向线段才刚好表示单位向量，故选项A不正确；
uuu uu uuu uu」uu
B. AB是单位向量时，AB1，而此时AB BA1，即BA也是单位向量，故选项B
不正确；
uuu uuu
C単位长度选定以后，在I上点O的两侧各取一点A、B,使得OA、OB都等于这个单位
uuu uuu
长度，这时OA、OB都是单位向量，故选项C正确；
D.没有单位长度就等于没有度量标准，故选项D不正确.
故选C.
【点睛】
本题考查单位向量，掌握单位向量的定义及意义是解题的关键。