山东省级规范化学校2013届高三数学上学期期中考试数学试题 文 新人教A版

高中数学期中考试试题
高三第二次学情检测数学试题（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知全集U R =，集合{}{}
()3021,log 0,x U A x B x x A C B =<<=>⋂=则（ ） A.{}
1x x >
B.{}
0x x >
C.{}
01x x <<
D.{}
0x x <
2．曲线2
3
3x x y +-=在点)2,1(处的切线方程为（ ）
A ．53+=x y
B ．53+-=x y
C ．13-=x y
D ．x y 2=
3.若31
)tan(-
=-απ，则α
ααα2cos cos sin 22cos +的值为( ) A.38 B.58 C.158 D.7
8
-
4．函数x
x x f 2
)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是( )
A ．(0，1)
B ．(1 ，2)
C ．(2，e)
D ．(3，4)
5.已知⎩⎨⎧>+-≤=)0(1
)1()0(cos )(x x f x x x f π，则)34
()34(-+f f 的值为（ ）
A ．21
B ． 1
C ．1-
D ．2
1-
6．函数()2
12sin ,46f x x f ππ⎛⎫
⎛⎫=-+
= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
则( ) A.3
2
-
B.12-
C.
12
D.
32
7．下列命题：
①若p ，q 为两个命题，则“p 且q 为真”是“p 或q 为真”的必要不充分条件；
②若p 为：2,20x R x x ∃∈+≤，则p ⌝为：2
,20x R x x ∀∈+>；
③命题p 为真命题，命题q 为假命题。

则命题()p q ⌝
∧，()p q ⌝∨都是真命题；
④命题“若p ⌝，则q ”的逆否命题是“若p ，则q ⌝
”. 其中正确结论的个数是（ ）
A ．1 B. 2 C.3 D.4
8. 若△ABC 的内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、
、满足4)2
2
=-+c b a （，且 60=C ， 则ab 的值为（ ）
A. 2
3 B ．8－
4 3 C ．1
D. 43
9．函数)3
2sin(3)(π
-=x x f 的图象为C ，下列结论中正确的是（ ） A ．图象C 关于直线6
π
=x 对称
B ．图象
C 关于点（0,6
π
-
）对称
C ．函数)12
5,12()(π
π-
在区间x f 内是增函数
D ．由x y 2sin 3=的图象向右平移3
π
个单位长度可以得到图象C
10. 函数sin()(0,0,||,)2
y A x k A x R π
ωϕωϕ=++>><∈的部分图象如图所示，
，则函数表达式为 （ ） A.2sin()1
36y x ππ=-+
B. 2sin()63y x ππ
=- C.2sin(
)1
3
6
y x π
π
=+
+
D. 2sin(
)16
3
=+
+y x π
π
11. 已知f(x)=2,(10)
,(01)
x x x x --≤≤⎧⎪⎨<≤⎪⎩,则下列函数的图象错误的是 （ ）
12.已知函数)(x f M 的定义域为实数集R ，满足⎩
⎨⎧∉∈=M x M x x f M ,0,
,1)(（M 是R 的非空真子集），在R
上有两个非空真子集A ，B ，且Φ=⋂B A ，则=
）（x F 1)()1
)(+++⋃x f x f x f B
A B A （的值域为（ ）
A.
]32
0，（ B.{1} C.}13221{，， D.]1,3
1[
x
y
O 132
1
-2
1
3
高中数学期中考试试题
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分.）
13．已知向量a , b ，其中2||,2||==b a ，且a b a
⊥-)(，则向量a 和b 的夹角是_______
14. 已知(),cos sin 1x x x f +=记()()()()()()x f x f x f x f x f x f n n '
=⋅⋅⋅'='=-12312,,,
(*
N
n ∈且)2≥n ，则=⎪⎭
⎫
⎝⎛+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫
⎝⎛222201221πππf f f . 15. 已知函数()f x 满足1
(1)()
f x f x +=
，且()f x 是偶函数，当[0,1]x ∈时，()f x x =，若在区间[1,3]-内，函数()()g x f x kx k =--有4个零点，则实数k 的取值范围是 ． 16．小明爸爸开车以80km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，小明坐在车里观察，在点A 处望见
电视塔P 在北偏东
30方向上，15分钟后到点B 处望见电视灯塔在北偏东
75方向上，则汽车在点B 时与电视塔P 的距离是______________km.
三、解答题（本大题共6小题，满分74分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤.） 17. （本小题满分12分）
已知c ＞0，且c ≠1，设p ：函数y ＝x
c 在R 上单调递减；q ：函数f (x )＝2
x －2cx ＋1在⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞上为增函数，若“p ∧q ”为假，“p ∨q ”为真，求实数c 的取值范围．
18. （本小题满分12分）
已知(sin ,cos ),(3cos ,cos )a x x b x x ==，设函数()f x a b =⋅ ()x R ∈ （1）求)(x f 的最小正周期及单调递增区间； （2）当5[,
]612x ππ
∈-
时，求)(x f 的最值并指出此时相应的x 的值。

19. （本小题满分12分）
在ABC △中，角A B C ，，
的对边分别为tan a b c C =，，，
（1）求cos C ；
（2）若5
2
CB CA •=，且9a b +=，求c ．
20.（本小题满分12分）
已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元。

设该公司一年内生产该产品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为()x R 万元，且
()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤<-=10,31000108100,30
18.1022x x x
x x x R
（1）写出年利润W (x )（万元）关于年产量x （千件）的函数解 析式；
（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的上产中所获得的年利润最大。

（注：年利润=年销售收入-年总成本）
21．（本小题满分12分） 已知函数2
()ln .f x x a x =+
（1）当2a e =-时，求函数()f x 的单调区间；
（2）若函数()()2g x f x x =-在〖1，4〗上是减函数，求实数a 的取值范围。

22.（本小题满分14分）已知函数()()().21
ln 2R a ax x
x a x f ∈++-=
（1）当0=a 时，求函数()x f 的极值； （2）讨论()x f 的单调性；
（3）若对任意的()[],3,1,,2,321∈--∈x x a 恒有()()()213ln 23ln x f x f a m ->-+成立，求实数m 的取值范围.
高三数学试题（文科）▁ ▃ ▅ ▇ █ 参 *考 *答 *案 █ ▇ ▅ ▃ ▁ 一、选择题
高中数学期中考试试题
1—5 DCCBB 6—10 AADCA 11-12 DB 二、填空题
13.
4π 14 . 0 115.0,4⎛⎤
⎥⎝⎦
16. 三、解答题
17.解： ∵函数y ＝c x
在R 上单调递减，
∴0＜c ＜1. (2分)
又∵f (x )＝x 2
－2cx ＋1在⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞上为增函数，
∴c ≤12.即 q ：0＜c ≤1
2
. （6分）
又∵“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，∴p 真q 假或p 假q 真．(7分)
①当p 真，q 假时，{c |0＜c ＜1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |c ＞1
2且c ≠1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪
12＜c ＜1；(9分) ②当p 假，q 真时，{c |c ＞1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫
c |0＜c ≤12＝∅. (11分)
综上所述，实数c 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫c ⎪⎪
⎪
1
2
＜c ＜1. (12分)
18解：（1）
2
1122222
()cos cos cos f x x x x x x =+=++ 1
26
2
sin()x π
=+
+
…………3分 ∴)(x f 的最小正周期为π …………4分
由2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+得3
6
()k x k k Z π
π
ππ-
+≤≤
+∈
)(x f 的单调增区间为3
6
[,
]()k k k Z π
π
ππ-
++∈ …………6分
（2）由（1）知126
2
()sin()f x x π
=+
+
又当 56126
6
[,
][,]x x ππ
π
π
π∈-
+
∈-
，2 …………8分
min max 2,0
666
3
2662
x x x x π
ππ
πππ+
=-
=-=+===
故 当即时 y 当，即时 y …………12分
19.解：（1
）
sin tan cos C
C C
=∴
=又22sin cos 1C C += 解得1cos 8C =±． tan 0C >，C ∴是锐角． 1
cos 8C ∴=．
（2）52CB CA •=， 5
cos 2
ab C ∴=， 20ab ∴=．
22222cos ()22cos 8140536
6
c a b ab C a b ab ab C c ∴=+-=+--=--=∴=．
20、解：（1）当100≤<x 时，()()1030
1.87.210)(3
--=+-=x x x x xR x W ，…1分 当10>x 时，()()x x
x x xR x W 7.231000
987.210)(--
=+-=………………2分 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧>--≤<--=∴10,7.23100098100,10301.8)(3x x x x x x x W …………………………………………4分 （2）①当100≤<x 时，由,010
1.8)(2
/
=-=x x W 得9=x ………………5分 当()9,0∈x 时，0)(/
>x W ；当]10,9(∈x 时，0)(/
<x W ，
所以，当9=x 时，)(x W 取最大值，即6.3810930
1
91.8)(3max =-⨯-⨯=x W ……7分 ②当10>x 时，,387.2310002987.23100098)(=⨯-≤⎪⎭
⎫
⎝⎛+-=x x x x x W
当且仅当
,7.231000x x =即9
100
=x 时，)(x W 取最大值38. …………………9分 综合①②知：当9=x 时，W （x ）取最大值38.6，
故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大。

…12分
高中数学期中考试试题
21．解：（1）函数)(x f 的定义域为（0，+∞）。

…………………………1分
当e a 2-=时，x
e x e x x e x x
f )
)((222)(+-=-
=' ……………3分
''()0()0f x x f x x >><<<当时，当时，0…………………………………5分
)(x f ∴的单调递减区间是),0(e 单调递增区间是),(+∞e 。

……………6分
（2）由x x a x x g 2ln )(2
-+=，得22)(-+='x
a
x x g ………………7分 又函数x x a x x g 2ln )(2-+=为〖1，4〗上的单调减函数。

则0)(≤'x g 在〖1，4〗上恒成立，所以不等式022≤-+
x
a
x 在〖1，4〗上恒成立，………9分 即2
22x x a -≤在〖1，4〗上恒成立。

……………………………10分 设2
22)(x x x -=ϕ，显然)(x ϕ在〖1，4〗上为减函数，
所以)(x ϕ的最小值为24)4(-=ϕ………………………………11分
a ∴的取值范围是24-≤a ………………………………………12分
22.解：（1）当()()()01
212,1ln 2,02
2/>-=-=+==x x
x x x x f x x x f a ， 所以()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛
21,0上是减函数，在⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞,21上是增函数. 所以()x f 的极小值为,2ln 2221-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛f 无极大值.
（2）()()()()()01211222122
222/
>-+=--+=+--=x x x ax x x a ax a x x a x f .
①当0>a 时，()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛
21,0上是减函数，在⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞,21上是增函数； ②当0=a 时，()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛
21,0上是减函数，在⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞,21上是增函数； ③当02<<-a 时，()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛
21,0与⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-
,1a 上是减函数，在⎪⎭
⎫
⎝⎛-a 1,21上是增函数； ④当2-=a 时，()x f 在()+∞,0上是减函数； ⑤当2-<a 时，()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛
-
a 1,0与⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21上是减函数，在⎪⎭
⎫
⎝⎛-21,1a 上是增函数. （3）当23-<<-a 时，由（2）可知()x f 在[]3,1上是减函数， 所以()()()()().3ln 243
2
3121-+-=
-≤-a a f f x f x f 由()()()213ln 23ln x f x f a m ->-+对任意()[]3,1,,2,321∈--∈x x a 恒成立， 所以()()()max 213ln 23ln x f x f a m ->-+， 即()()3ln 243
2
3ln 23ln -+->-+a a a m 对任意23-<<-a 恒成立， 即a
m 32
4+
-<对任意23-<<-a 恒成立， 由于当23-<<-a 时，,9
38
324313-<+-<-a
所以.3
13
-≤m。