山东省青岛市经济技术开发区致远中学2022年高三数学理联考试题含解析

山东省青岛市经济技术开发区致远中学2022年高三数学理联考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若，则=（）
A．1 B．C．D．
参考答案：
B
【考点】GI：三角函数的化简求值．
【分析】利用两角和与差的三角函数以及诱导公式化简所求的表达式，代入求解即可．
【解答】解：，则
===．故选：B．
2. 见右侧程序框图，若输入，则输出结果是A.51 B.49 C.47 D.45
参考答案：
A
3. “”是“且”的（）
A. 必要不充分条件
B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
参考答案：
A
略
4. 要得到函数，y＝sin 2x的图象，可以把函数y＝（sin 2x－cos2x）的图象（）
A.向左平移个单位
B.向右平移个单位
C.向左平移个单位
D.向右平移个单位
参考答案：
A
5. 设全集U={a,b,c,d,}，集合M={a,c,d}，N={b, d}，则（CUM）∩N=（）
A．{ b } B．{ d } C．{ a, c } D． {b, d }
参考答案：
A
略
6. 给出下列命题，其中真命题的个数是
①存在，使得成立;
②对于任意的三个平面向量、、，总有成立;
③相关系数 ()，值越大，变量之间的线性相关程度越高.
A．0 B．1 C．2 D．3
参考答案：
B
7. 已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，则f（2）等于（）
A．11或18 B．11 C．18 D．17或18
参考答案：
C
【考点】函数在某点取得极值的条件．
【分析】根据函数在x=1处有极值时说明函数在x=1处的导数为0，又因为f′（x）=3x2+2ax+b，所以得到：f′（1）=3+2a+b=0，又因为f（1）=10，所以可求出a与b的值确定解析式，最终将x=2代入求出答案．
【解答】解：f′（x）=3x2+2ax+b，
∴或
①当时，f′（x）=3（x﹣1）2≥0，∴在x=1处不存在极值；
②当时，f′（x）=3x2+8x﹣11=（3x+11）（x﹣1）
∴x∈（，1），f′（x）＜0，x∈（1，+∞），f′（x）＞0，符合题意．∴，∴f（2）=8+16﹣22+16=18．
故选C．
8. 已知锐角θ的终边上有一点P（sin10°，1+sin80°），则锐角θ=（）
A
略
9. 已知某几何体的三视图如图所示（其中正视图为等腰直角三角形），则该几何体的外接球的表面积为（）
A．12πB．8πC．4πD．2π
参考答案：
A
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是侧面垂直于底面，且底面是直角三角形的三棱锥，求出该三棱锥外接球的直径，即可求出外接球的表面积．
【解答】解：根据几何体的三视图，得；
该几何体是如图所示的三棱锥，
且侧面PAC⊥底面ABC，AC⊥BC，
PA=PC==2，AC=2，BC=2；
PB 2
=PC 2
+BC 2
=22
+22
=8， AB=
=2
，
∴PA 2+PB 2=AB 2， ∴PA⊥PB，
∴AB 是该三棱锥外接球的直径， ∴该外接球的表面积为S=4πR 2=π?=12π．
故选：A ．
10. 某几何体的三视图如右图,(其中侧视图中的圆弧是半圆),则该几何体的表面积为
(A) (B) (C)
(D)
参考答案：
A 略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设集合
，
，则
= ．
参考答案：
12. 已知函数是上的奇函数,
且
的图象关于直线
对称,当
时,
，则
.
参考答案：
略 13.
的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且，则
.
参考答案：
略
14. 等比数列
的各项均为正数，且，
则
________．
参考答案：
5
解析：本题考查等比数列的定义和性质.
本题也可以直接引入
和这两个基本量求解.
15. 设变量，满足约束条件，则目标函数的最小值为
A ．
B ．
C ．
D ． 参考答案： B
做出可行域如图，设，即，平移直线，由图象可知当直线经过点C时，直线的截距最小，此时最小。

由
,解得，即，代入得，所以最大值为3，选B.
16. 过点（－2，0）且垂直于直线2x-6y+l=0的直线的方程
是。

参考答案：
17. 如图，已知椭圆的左、右准线分别为，且分别交轴于两点，从上一点发出一条光线经过椭圆的左焦点被轴反射后与交于点，若，且，则椭圆的离心率等于．
参考答案：略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数，a＞0，
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）设a=3，求在区间{1，}上值域。

期中e=2.71828…是自然对数的底数。

参考答案：
【思路】由求导可判断得单调性，同时要注意对参数的讨论，即不能漏掉，也不能重复。

第二问就根据第一问中所涉及到的单调性来求函数在上的值域。

解析 (1)由于
令
①当,即时, 恒成立.
在(－∞,0)及(0,＋∞)上都是增函数.
②当,即时
由得或
或或
又由得
综上①当时, 在上都是增函数.
②当时, 在上是减函数,
在上都是增函数.
(2)当时,由(1)知在上是减函数.
在上是增函数.
又
函数在上的值域为
略
19. 已知函数
（1）当时，求的单调递减区间；
（2）对任意的，及任意的，恒有成立，求实数的取值范围．
参考答案：
（1）,………………2分
∴的递减区间为
………………4分（2）
由知∴在上递减………………8分
∴，
对恒成立，∴………………12分
20. （本题满分10分）选修4—5: 不等式选讲.
(Ⅰ)设函数.证明：；
(Ⅱ)若实数满足,求证:
参考答案：
(Ⅰ)由，
有
所以………………………5分
21. 已知椭圆的离心率为，且经过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线交椭圆于两点，是轴上的点，若是以为斜边的等腰直角三角形，求直线的方程.
参考答案：
（1）由
设椭圆方程为
则
椭圆方程为
（2）设的中点坐标，，则由得
由得
，
的中垂线方程为
所以
点到直线的距离为，
所以
解得
直线的方程为
22. （本小题满分14分）如图所示，平面平面，且四边形为矩形，四边形
为直角梯形，，，，．
（1）求证平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
（3）求直线与平面所成角的余弦值．参考答案：
（法一）（1）取中点为，连接、，
且，
，则且．…………2分
四边形为矩形，且，
且，
，则．
平面，平面，
平面．……………………………………………………4分
（2）过点作的平行线交的延长线
于，连接，，，
，
，，，四点共面．
四边形为直角梯形，四边形为矩形，
，，又，
平面，，
又平面平面，
为平面与平面所成锐二面角的平面角．……………………7分，．
即平面与平面所成锐二面角的余弦值为
．……………………9分
（3）过点作于，连接，
根据（2）知，，，四点共面，，
，，
又，平面，
，则．
又，平面．
直线与平面所成角为．……………………………11分，，
，，，
．
即直线与平面所成角的余弦值为．……………………………14分
（法二）（1）四边形为直角梯形，四边形为矩形，
，，
又平面平面，且
平面平面，
平面．
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，
所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系．
根据题意我们可得以下点的坐标：
，，，，，，则，．………………2分
，，为平面的一个法向量．
又，
平面．…………………………………………………………4分
（2）设平面的一个法向量为，则
，，
，取，得．……………………………6分平面，
平面一个法向量为，
设平面与平面所成锐二面角的大小为，
则．
因此，平面与平面所成锐二面角的余弦值为．…………………9分（3）根据（2）知平面一个法向量为，
，，………12分设直线与平面所成角为，则．
因此，直线与平面所成角的余弦值为．………………………14分。