2021年广东省阳江市闸坡中学高三数学理上学期期末试卷含解析

2021年广东省阳江市闸坡中学高三数学理上学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. （理科）已知三棱锥的四个顶点均在半径为1的球面上，且满足，
，,则三棱锥的侧面积的最大值
为
A． B．1 C．2
D．4
参考答案：
C
2. 已知数列{a n}满足log3a n+1=log3a n+1（n∈N*），且a2+a4+a6=9，则（a5+a7+a9）的值是（）
A．﹣5 B．C．5 D．
参考答案：
A
【考点】等比数列的性质．
【分析】先由“log3a n+1=log3a n+1”探讨数列，得到数列是以3为公比的等比数列，再由a2+a4+a6=a2（1+q2+q4），a5+a7+a9=a5（1+q2+q4）得到a5+a7+a9=q3（a2+a4+a6）求解．
【解答】解：∵log3a n+1=log3a n+1
∴a n+1=3a n
∴数列{a n}是以3为公比的等比数列，
∴a2+a4+a6=a2（1+q2+q4）=9
∴a5+a7+a9=a5（1+q2+q4）=a2q3（1+q2+q4）=9×33=35
故选A
3. 已知一个几何体的三视图如图所示（正视图是两个正方形，俯视图是两个正三角形），则其体积为（）A．B．C．D．
参考答案：
B
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由题意可得：该几何体是由两个：底面边长为2，高为2的正三棱柱，和底面边长为1，高为1的正三棱柱组成．
【解答】解：由题意可得：该几何体是由两个：底面边长为2，高为2的正三棱柱，和底面边长为
1，高为1的正三棱柱组成．∴该几何体的体积V=+=．
故选：B．
4. 已知函数，，若的图像与的图象有且仅有两个不同的公共点、，则下列判断正确的是（）
A．，B．，
C．，D．，
参考答案：
C
方法一：在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，则点在第三象限，为
两函数在第一象限的切点，要想满足条件，则有如图，做出点关于原点的对称点,
则点坐标为由图象知，即.
方法二：的图像与的图象有且仅有两个不同的公共点，
则方程有且仅有两个根，则函数
有且仅有两个零点，，又，则，
当时满足函数有且仅有两个零点，
此时，，，即.
5. 函数的图象如图所示，为了得到g（x）=cos2x的图象，则只需将f（x）的图象（）
A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度
参考答案：
C
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：根据函数的图象，可得A=1， ?=﹣，∴ω=2．
再根据五点法作图可得2?+φ=π，求得φ=，∴f（x）=sin（2x+）．
故把f（x）=sin（2x+）的图象向左平移个单位，
可得g（x）=sin[2（x+）+]=cos2x的图象，
故选：C．
6. 下列集合中，不是方程的解集的集合是（）
(A) (B) (C) (D)
参考答案：
D
略
7. 已知m∈R，“函数y=2x+m﹣1有零点”是“函数y=log m x在（0，+∞）上为减函数”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
B
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】简易逻辑．
【分析】根据函数的性质求出m的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：若函数y=f（x）=2x+m﹣1有零点，则f（0）=1+m﹣1=m＜1，
当m≤0时，函数y=log m x在（0，+∞）上为减函数不成立，即充分性不成立，
若y=log m x在（0，+∞）上为减函数，则0＜m＜1，此时函数y=2x+m﹣1有零点成立，即必要性成立，[来源:]
故“函数y=2x+m﹣1有零点”是“函数y=log m x在（0，+∞）上为减函数”的必要不充分条件，
故选：B
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数零点和对数函数的性质求出等价条件是解决本题的关键．
8. 已知双曲线（）的右焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的离心率为
A.6
B.
C.
D.
参考答案：
C
9. 在等差数列中，已知则=
A．19 B．20 C．21 D．22
参考答案：
B
试题分析：，，，．
考点：等差数列的通项公式．
10. 函数的图象大致为（）
A．B．
C．D．
参考答案：
A
【考点】函数的图象．
【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】根据函数的奇偶性和单调区间进行判断．
【解答】解：∵f（﹣x）==﹣=﹣f（x）．∴f（x）是奇函数，即f（x）图象关于原点对称．排除C，D．
当x∈（0，π）时，sinx＞0，∴f（x）＞0，排除B．
故选：A．
【点评】本题考查了函数图象的判断，需要从奇偶性，特殊值，函数符号等处进行判断．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11.
已知二项式展开式的第项与第项之和为零,那么等于.
参考答案：
答案:
12. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有▲株树木的底部周长小于100cm.
参考答案：
【考点】频率分布直方图．
13. 下列几个命题：
①方程有一个正实根，一个负实根，则；
②函数是偶函数，但不是奇函数；
③设函数定义域为R ，则函数
与的图象关于轴对称；
④一条曲线
和直线
的公共点个数是
，则
的值不可能是．其中正确的
有_______________.
参考答案：
①④
14. 对于任意
的值恒大于零，则x 的取值范
围是 . 参考答案：
15. （4分）（2015?杨浦区二模）若，则x
的值是 ．
参考答案：
log 23
【考点】： 二阶矩阵；有理数指数幂的化简求值． 【专题】： 矩阵和变换．
【分析】： 根据矩阵的定义直接计算即可．
解：∵
，
∴4x
﹣2×2x
=3，
化简得（2x ）2﹣2×2x ﹣3=0， 解得2x =3或﹣1（舍），
从而
，解得x=log 23，
故答案为：log 23．
【点评】： 本题考查矩阵的计算，解对数方程，弄清矩阵的涵义是解题的关键，属于基础题．
16. 若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
那么方程x 3＋x 2－2x －2＝0的一个近似根(精确到0.1)为___________ 参考答案： 1.4
17. 设是定义在R 上的奇函数，当时，，且，则不等式的解
集为____．
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 为积极响应国家“阳光体育运动”的号召，某学校在了解到学生的实际运动情况后，发起以“走出教室，走到操场，走到阳光”为口号的课外活动倡议。

为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，从高一高二基础年级与高三三个年级学生中按照4:3:3的比例分层抽样，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)，得到如图所示的频率分布直方图。

（已知高一年级共有1200名
学生）
（1）据图估计该校学生每周平均体育运动时间，并估计高一年级每周平均体育运动时间不足4小时的人数；
（2）规定每周平均体育运动时间不少于6小时记为“优秀”，否则为“非优秀”，在样本数据中，有30位高三学生的每周平均体育运动时间不少于6小时，请完成下列2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间是否“优秀”与年级有关”．
附：
参考答案：
（1）该校学生每周平均体育运动时间
………3分
样本中高一年级每周平均体育运动时间不足4小时的人数:
又样本中高一的人数有120人，所以高一年级每周平均体育运动时间不足4小时的人数为
1200=300 ………6分
（2）列联表如下：
假设该校学生的每周平均体育运动时间是否优秀与年级无关，
则
又.
所以有99%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间是否“优秀”与年级有关”．………12分
19. 已知为半圆的直径，，为半圆上一点，过点作半圆的切线，过点作于，交圆于点，．
（Ⅰ）求证：平分；
（Ⅱ）求的长．
参考答案：
20. 已知函数，点在曲线上，且曲线在点处的切线与直线
垂直．
（1）求，的值；
（2）如果当时，都有，求的取值范围．
参考答案：
（1），
依题意，，解得．
（2）由（1）可知，代入得
，即，
因为当时，，时，，所以，
所以，即，
令，设，则，
又．
①当，即时，恒成立，所以在上单调递增，所以
（i）当时，，又因为此时，，
所以，即成立；
（ii）当时，，又因为此时，，
所以，即成立．
因此当时，当时，都有成立，符合题意．
②当，即时，由，得，，因为，所以，，
当时，，所以在上递减，所以，
又因为此时，，所以，即
与矛盾，所以不符合题意．
综上可知：的取值范围是．
21. （文）函数，
定义的第阶阶梯函数，其中，的各阶梯函数图像的最高点，
（1）直接写出不等式的解；
（2）求证：所有的点在某条直线上．
参考答案：
（文）（1） ------------------4分
（2）∵， -------------------6分
∴的第阶阶梯函数图像的最高点为， -------------------7分第阶阶梯函数图像的最高点为
所以过这两点的直线的斜率为． ------------------8
分
同理可得过这两点的直线的斜率也为．
所以的各阶阶梯函数图像的最高点共线．
直线方程为即 -------------------12分
22. 若存在实常数k和b，使得函数f（x）和g（x）对其定义域上的任意实数x分别满足：f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，则称直线l：y=kx+b为f（x）和g（x）的“隔离直线”．已知h（x）
=x2，φ（x）=2elnx（e为自然对数的底数）．
（1）求F（x）=h（x）﹣φ（x）的极值；
（2）函数h（x）和φ（x）是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．
参考答案：
【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）由已知中函数f（x）和φ（x）的解析式，求出函数F（x）的解析式，根据求导公式，求出函数的导数，根据导数判断函数的单调性并求极值
（2）由（1）可知，函数f（x）和φ（x）的图象在（，e）处相交，即f（x）和φ（x）若存在隔离直线，那么该直线必过这个公共点，设隔离直线的斜率为k．则隔离直线方程为y﹣e=k（x﹣），即y=kx﹣k+e，根据隔离直线的定义，构造方程，可求出k值，进而得到隔离直线方程．【解答】解：（1）∵F（x）=f（x）﹣φ（x）=x2﹣2elnx（x＞0），
∴F′（x）=2x﹣==
令F′（x）=0，得x=，
当0＜x＜时，F′（x）＜0，x＞时，F′（x）＞0
故当x=时，F（x）取到最小值，最小值是0
（2）由（1）可知，函数f（x）和φ（x）的图象在（，e）处相交，
因此存在f（x）和φ（x）的隔离直线，那么该直线过这个公共点，
设隔离直线的斜率为k．则隔离直线方程为y﹣e=k（x﹣，即y=kx﹣k+e
由f（x）≥kx﹣k+e（x∈R），可得x2﹣kx+k﹣e≥0当x∈R恒成立，
则△=k2﹣4k+4e=（k﹣2）2≤0，
∴k=2，此时直线方程为：y=2x﹣e，
下面证明φ（x）≤2x﹣e exx＞0时恒成立
令G（x）=2 x﹣e﹣φ（x）=2x﹣e﹣2elnx，
G′（x）=2﹣=（2x﹣2e）=2（x﹣），
当x=时，G′（X）=0，当0＜x＜时G′（x）＞0，
则当x=时，G（x）取到最小值，极小值是0，也是最小值．
所以G（x）=2x﹣e﹣g（x）≥0，则φ（x）≤2x﹣e当x＞0时恒成立．
∴函数f（x）和φ（x）存在唯一的隔离直线y=2x﹣e。