三年高考高考数学试题分项版 专题15复数 理(含解析)

第十五章 复数
一、选择题
1. 【2014，安徽理1】设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数． 若,1i z +=则z
i z i
+⋅= （ ）
A ．2-
B ． i 2-
C ． 2
D ． i 2 【答案】C ．
2. 【2013，安徽理1】设i 是虚数单位，_
z 是复数z 的共轭复数，若|()>0I x f x =+2=2z zi g ，则z =（ ）
A ．1+i
B ．1i -
C ．1+i -
D ．1-i - 【答案】A ．
【名师点睛】复数的四则运算问题主要是要熟记各种运算法则，尤其是除法运算，要将复数
分母实数化（分
母乘以自己的共轭复数），这也历年考查的重点；另外，表示一个复数的共轭复数，只需将
此复数整理成
标准代数形式，然后其实部不变，虚部变为相反数即可.另外，2
||z z z ⋅=是实数，则易知
复数z 的实部肯定
为1.
3.【2015高考安徽，理1】设i 是虚数单位，则复数
21i
i
-在复平面内所对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 【答案】B 【解析】由题意
22(1)2211(1)(1)2
i i i i i i i i +-+===-+--+，其对应的点坐标为(1,1)-，位于第二象限，故选B.
【考点定位】1.复数的运算；2.复数的几何意义.
【名师点睛】复数的四则运算问题主要是要熟记各种运算法则，尤其是除法运算，要将复数
分母实数化（分母乘以自己的共轭复数），这也历年考查的重点；另外，复数z a bi =+在复平面内一一对应的点为(,)Z a b .
4. 【2014高考广东卷.理.2】已知复数z 满足()3425i z +=，则z =( )
A .34i -
B .34i +
C .34i --
D .34i -+
【答案】A
【名师点晴】本题主要考查的是复数的除法运算，属于容易题．解题时一定注意分子和分母同时乘以34i +的共轭复数，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是复数的除法运算，即
2222
a bi ac bd bc ad i c di c d c d
++-=++++，2
1i =-． 5. 【2013高考广东卷.理.3】若复数z 满足iz ＝2＋4i ,则在复平面内,z 对应的点的坐标是( ).
A .(2,4)
B .(2,－4)
C .(4,－2)
D .(4,2)
【答案】C
【解析】由iz ＝2＋4i ,得z ＝24i (24i)(i)
i i (i)
++⋅-=⋅-＝4－2i , 故z 对应点的坐标为(4,－2). 故选C .
【考点定位】本题考查复数,属于基础题
【名师点晴】本题主要考查的是复数的除法运算和复平面，属于容易题．解题时一定注意分子和分母同时乘以i 的共轭复数，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是复数的除法运算和复平面，即
2222
a bi ac bd bc ad i c di c d c d
++-=++++，21i =-，z a bi =+（a ，R b ∈）在复平面内所对应的点(),a b Z ．
6. 【2015高考广东，理2】若复数()32z i i =- ( i 是虚数单位 )，则z =（ ） A ．32i - B ．32i + C ．23i + D ．23i - 【答案】D ．
7. 【 2014湖南1】满足i z
i
z =+（i 是虚数单位）的复数=z （ ） A.i 2121+ B. i 2121- C. i 2121+- D. i 2
121-- 【答案】B
8. 【 2013湖南1】复数()()
1z i i i =+g 为虚数单位在复平面上对应的点位于
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 【答案】 B
【解析】 z = i ·(1+i) = i – 1,所以对应点(-1,1).选B
【名师点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，解决问题的关键是理解复数与复平面上对应的点之间的对应关系,即实部、虚部对应平面上象限的位置情况，属于基础题目. 9.【2013山东，理1】复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( )．
A ．2＋i
B ．2－I
C ．5＋i
D ．5－i 【答案】：D 【解析】：由题意得z －3＝
5
2i
-＝2＋i ，所以z ＝5＋i.故z ＝5－i ，应选D. 【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，其解答利用方程思想，采用分母实数化求解. 本题属于基础题，注意运算的准确性. 10.【2015高考山东，理2】若复数z 满足
1z
i i
=-，其中i 为虚数为单位，则z =（ ） （A ）1i - （B ）1i + （C ）1i -- （D ）1i -+ 【答案】A 【解析】因为
1z
i i
=-，所以，()11z i i i =-=+ ，所以，1z i =- 故选：A. 【考点定位】复数的概念与运算.
【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，采用复数的乘法和共轭复数的概念进行化简求解. 本题属于基础题，注意运算的准确性.
11. 【2014山东.理1】 已知R b a ∈,，i 是虚数单位，若i a -与bi +2互为共轭复数，则
=+2)(bi a （ ）
A.i 45-
B. i 45+
C. i 43-
D. i 43+ 【答案】D
12. 【2013高考陕西版理第6题】设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假．
命题是( )．
A ．若|z 1－z 2|＝0，则12z z =
B ．若12z z =，则12z z =
C ．若|z 1|＝|z 2|，则1122z z z z ⋅=⋅
D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 12
＝z 22
【答案】D
【名师点晴】本题主要考查的是复数的模，复数相等以及共轭复数等知识，属于容易题；在解答时对于正确选项要说明理由，对于错误选项则只要举出反例即可，在本题在对于选项D ，可令z 1＝i ＋1，z 2＝1－i 则结论不成立
14. 【2013课标全国Ⅱ，理2】设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )． A ．－1＋i B ．－1－I C ．1＋i D ．1－i 【答案】：A
15. 【2015高考新课标2，理2】若a 为实数且(2)(2)4ai a i i +-=-，则a =（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 【答案】B
【解析】由已知得2
4(4)4a a i i +-=-，所以2
40,44a a =-=-，解得0a =，故选B ． 【考点定位】复数的运算．
【名师点睛】本题考查复数的运算，要利用复数相等列方程求解，属于基础题．
16. 【2014新课标，理2】设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =（ ）
A. - 5
B. 5
C. - 4+ i
D. - 4 - i 【答案】A
【解析】由题意知：2
2z i =-+，所以12z z =-5，故选A 。

【考点定位】复数的运算及概念.
【名师点睛】本题考查了复数的乘法运算，复数的几何意义，本题属于基础题，注意运算的准确性.
17. 【2013四川，理2】如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是（ ）
（A ）A （B ）B （C ）C （D ）D
y
x
D
B
A O
C
【答案】B
【解析】设点(,)A x y 表示的复数z x yi =+，则z 的共轭复数z x yi =-对应的点为
(,)B x y -，∴A 、B 两点关于x 轴对称，选B.
【考点定位】本题考查复数的概念、表示方法、几何意义以及共轭复数的概念，容易题. 【名师点睛】复数(,)a bi a b R +∈在复平面上对应点的坐标为(,)a b ，其共轭复数为a bi -，此类多考复数的运算和基本概念.
18．【2015高考四川，理2】设i 是虚数单位，则复数32
i i
-
( ) （A ）-i （B ）-3i （C ）i. （D ）3i 【答案】C
19. 【2014课标Ⅰ，理2】
=-+2
3
)1()1(i i （ ） A. i +1 B. i -1 C. i +-1 D. i --1 【答案】D
【解析】由已知得
=-+23)1()1(i i 22(1)(1)2(1)
1(1)2i i i i i i i
+++==----． 【考点定位】复数的运算．
【名师点睛】在应用复数的除法运算公式时，一定要注意2
i 的运算结果，本题很好的考查了考生的基本运算能力.
20.【2015高考新课标1，理1】设复数z 满足
11z
z
+-=i ，则|z|=( ) （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2 【答案】A 【解析】由
11z i z +=-得，11i z i
-+=
+=(1)(1)
(1)(1)i i i i -+-+-=i ，故|z|=1，故选A. 【考点定位】本题主要考查复数的运算和复数的模等.
【名师点睛】本题将方程思想与复数的运算和复数的模结合起来考查，试题设计思路新颖，本题解题思路为利用方程思想和复数的运算法则求出复数z ，再利用复数的模公式求出|z|,本题属于基础题，注意运算的准确性.
21. 【2013课标全国Ⅰ，理2】若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )． A ．－4 B ．45- C ．4 D ．4
5
【答案】：D
22.【2014年.浙江卷.理2】已知i 是虚数单位，R b a ∈,,则“1==b a ”是“i bi a 2)(2
=+”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件 答案：A
考点：充要条件的判断,复数相等.
【名师点睛】本题考查充分条件、必要条件和充要条件的判断及复数相等的条件，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数性质的灵活运用．充分条件、必要条件的判定方法有定义法、集合法和等价转化法．三种不同的方法各适用于不同的类型，定义法适用于定义、定理判断性问题，而集合法多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题，等价转化法适用于条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断．
23. 【2013年.浙江卷.理1】已知i 是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝( )． A ．－3＋i B ．－1＋3i C ．－3＋3i D ．－1＋i 【答案】：B 【解析】：(－1＋i)(2－i)＝－2＋i ＋2i －i 2
＝－1＋3i ，故选B ．
【考点定位】复数的运算
【名师点睛】本题主要考查两个复数代数形式的乘法，虚数单位i 的幂运算性质，属于基础题．有关复数的运算应该注意：(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式．
24. 【2014高考重庆理第1题】复平面内表示复数(12)i i 的点位于( )
.A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限
【答案】A
25.【2013高考北京理第2题】在复平面内，复数(2－i)2
对应的点位于( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D
26. 【2015高考北京，理1】复数()i 2i -=（ ） A ．12i + B ．12i - C ．12i -+ D ．12i --
【答案】A
【解析】根据复数乘法运算计算得：2
(2)212i i i i
i -=-=+.
考点定位：本题考查复数运算，运用复数的乘法运算方法进行计算，注意2
1i =-.
【名师点睛】本题考查复数的乘法运算，本题属于基础题，数的概念的扩充部分主要知识点有：复数的概念、分类，复数的几何意义、复数的运算，特别是复数的乘法与除法运算，运算时注意2
1i
=-，注意运算的准确性,近几年高考主要考查复数的乘法、除法，求复数的
模、复数的虚部、复数在复平面内对应的点的位置等.
27.【2013天津，理9】已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)·(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝__________. 【答案】1＋2i
【解析】由(a ＋i)(1＋i)＝a －1＋ (a ＋1)i ＝bi ，得10,1,a a b -=⎧⎨
+=⎩
解方程组，得a ＝1，b ＝2，
则a ＋bi ＝1＋2i.
考点定位：本题考查复数运算，准确进行复数的乘法运算，注意2
1i
=-.
【名师点睛】本题考查复数的乘法运算，本题属于基础题，数的概念的扩充部分主要知识点有：复数的概念、分类，复数的几何意义、复数的运算，特别是复数的乘法与除法运算，运算时注意2
1i
=-，注意运算的准确性,近几年高考主要考查复数的乘法、除法，求复数的
模、复数的虚部、复数在复平面内对应的点的位置等.
28. 【2014天津，理1】i 是虚数单位，复数
734i
i
+=+（ ）
（A ）1i - （B ）1i -+ （C ）1731
2525
i + （D ）172577i -+ 【答案】A ．
【名师点睛】本题考查复数的乘法运算，本题属于基础题，数的概念的扩充部分主要知识点有：复数的概念、分类，复数的几何意义、复数的运算，特别是复数的乘法与除法运算，运算时注意2
1i
=-，注意运算的准确性,近几年高考主要考查复数的乘法、除法，求复数的
模、复数的虚部、复数在复平面内对应的点的位置等.
29. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷1】在复平面内，复数21i
z i
=+（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限 【答案】D 【解析】 试题分析：211i
z i i
=
=++，1z i ∴=-。

故选D. 考点：复数的运算
【名师点睛】本题考查了复数的四则运算和复数的概念，其难度虽然不大，但仍扎根基础知识，强调教材的重要性，充分体现了教材在高考中的地位和重要性，充分考查了基本概念、基本规律和基本操作的识记能力、运算能力.
30. 【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷1】 i 为虚数单位，则=+-2
)11(i
i （ ） A. 1- B. 1 C. i - D.i 【答案】A
31. 【2015高考湖北，理1】 i 为虚数单位，607i 的共轭复数．．．．为（ ） A ．i B ．i - C ．1 D ．1- 【答案】A 【解析】i i i i
-=⋅=⨯31514607
,所以607i 的共轭复数．．．．
为i ，选A . 【考点定位】共轭复数. 【
名师
点睛】复数中，
i
是虚数单
位,2
41
424341
11()n n n n i i i i i i i n +++=-==-=-=∈Z ；，，，.
32. 【2014福建，理1】复数(32)z i i =-的共轭复数z 等于（ ）
.23A i -- .23B i -+ .23C i - .23D i +
【答案】C 【解析】
试题分析：依题意可得32,23z i z i =+∴=-.故选C. 考点：复数的运算.
【名师点睛】复数题是每年高考必考内容,一般以客观题形式出现,属得分题.高考中复数考查频率较高的内容有：复数的几何意义,共轭复数,复数的模及复数的乘除运算,这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,所以做复数题要注意运算的准确性,注意共轭复数的实部相等,虚部是互为相反数.
33. (2013福建，理1)已知复数z 的共轭复数z ＝1＋2i(i 为虚数单位)，则z 在复平面内对应的点位于( )．
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 【答案】D
【解析】由z ＝1＋2i ，得z ＝1－2i ，故复数z 对应的点(1，－2)在第四象限．
【名师点睛】复数题是每年高考必考内容,一般以客观题形式出现,属得分题.高考中复数考
查频率较高的内容有：复数的几何意义,共轭复数,复数的模及复数的乘除运算,这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,所以做复数题要注意运算的准确性,注意共轭复数的实部相等,虚部是互为相反数. 34. (2013辽宁，理1)复数1
i 1
z =
-的模为( )． A ．
1
2
B ．22
C ．2
D ．2
【答案】B
35. 【2014辽宁理2】设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =（ ）
A ．23i +
B ．23i -
C ．32i +
D ．32i -
【答案】A 【解析】
试题分析：因为5
223(2)
z i z i i =
+∴=+-，故选A . 考点： 复数的运算.
【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，其解答利用方程思想，采用分母实数化求解. 本题属于基础题，注意运算的准确性.
36. 【2015湖南理1】已知
()2
11i i z
-=+（i 为虚数单位）
，则复数z =（ ） A.1i + B.1i - C.1i -+ D.1i -- 【答案】D.
二、填空题
1.
【2013江苏，理2】设z ＝(2－i)2
(i 为虚数单位)，则复数z 的模为__________． 【答案】5
【解析】|z|＝|(2－i)2|＝|4－4i ＋i2|＝|3－4i|＝
22345+(-)=＝5
【考点定位】复数的模
【名师点晴】在处理复数相等的问题时，一般将问题中涉及的两个复数均化成一般形式，利用复数相等的充要条件“实部相等，虚部相等”进行求解.本题涉及复数的模，利用复数模
的性质求解就比较简便：22
11121222||||||||||||.||
z z z z z z z z z z ==⋅=，
， 2. 【2014江苏，理2】已知复数2
(52)Z i =-（i 为虚数单位），则复数Z 的实部是 . 【答案】21
3. 【2015江苏高考，3】设复数z 满足2
34z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为_______.
5
【解析】22|||34|5||5||5z i z z =+=⇒=⇒=【考点定位】复数的模
【名师点晴】在处理复数相等的问题时，一般将问题中涉及的两个复数均化成一般形式，利用复数相等的充要条件“实部相等，虚部相等”进行求解.本题涉及复数的模，利用复数模
的性质求解就比较简便：
2211
1212
22
||
||||||||||.
||
z z
z z z z z z
z z
==⋅=
，，
4. 【2014四川，理11】复数
22
1
i
i
-
=
+
.
【答案】2i
-.
【解析】
试题分析：
2
222(1)
2
1(1)(1)
i i
i
i i i
--
==-
++-
.
【考点定位】复数的基本运算.
【名师点睛】复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可.
5.【2013高考重庆理第11题】已知复数
5i
12i
z=
+
(i是虚数单位)，则|z|＝__________. 【答案】5
6. 【2015高考重庆，理11】设复数a+bi（a，b∈R）3则（a+bi）（a-bi）=________. 【答案】3
【解析】由3
a bi
+=得223
a b
+=，即223
a b
+=，所以22
()()3
a bi a bi a b
+-=+=.
【考点定位】复数的运算.
【名师点晴】复数的考查核心是代数形式的四则运算，即使是概念的考查也需要相应的运算支持．本题首先根据复数模的定义得22
a bi a b
+=+
()()
a bi a bi
+-22
()
a bi
=-
22a b =+，也可根据共轭复数的性质得()()a bi a bi +-22a b =+．
7. 【2014高考北京理第9题】复数2
1()1i i
+=- . 【答案】1-
【名师点睛】本题考查复数的乘（方）法运算，本题属于基础题，数的概念的扩充部分主要知识点有：
复数的概念、分类，复数的几何意义、复数的运算，特别是复数的乘法与除法运算，运算时注意2
1i
=-，
注意运算的准确性,近几年高考主要考查复数的乘法、除法，求复数的模、复数的虚部、复数在复平面
内对应的点的位置等.
8. 【2014 上海，理2】若复数z=1+2i ，其中i 是虚数单位，则1()z z
+z ⋅=___________. 【答案】6
9. 【2013上海,理2】设m ∈R ，m 2
＋m －2＋(m 2
－1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝______. 【答案】－2
【解析】
2
2
20
10
m m
m
⎧+-=
⎪
⎨
-≠
⎪⎩
⇒m＝－2.
【考点定位】极限
【名师点睛】数列极限若有具体解析式：首先将分子分母同除以最高次数的项，利用1
lim0
n n
→∞
=结合极限运算法则求解；若解析式不易求出，可等价转化为对应数列的极限，这时要用到一些法则（罗比特法则），要做一下等价变形，要明确基本数列极限是什么.
10. 【2013上海,理2】设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m ＝______.
【答案】－2
(3)共轭复数：a＋b i与c＋d i共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(4)复数的模：
向量OZ―→的模r叫做复数z＝a＋b i(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋b i|，即|z|＝|a＋b i|＝a2＋b2.。