青岛版九上《圆的对称性》垂径定理的应用》
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九年级数学(上)第四章： 对圆的进一步认识
4.1圆的对称性-垂径定理应用
想一想 6
垂径定理三种语言
驶向胜利 的彼岸
• 定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
C
A M└ ●O
D
如图∵ CD是直径,
B
CD⊥AB,
∴AM=BM,
A⌒C =B⌒C,
A⌒D=B⌒D.
• 老师提示:
• 垂径定理是 圆中一个重 要的结论,三
经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交于点C.根
据由垂题径设定得理,DA 是A B B7 的.2 ,中C 点, CD 是2 .4 AB,H 的中 N 点1,M CD就 是1 N .拱5 .高.
2
AD 1 AB 17.2 3.6,
2
2
O D O CD CR2.4.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
垂径定理的应用
驶向胜利 的彼岸
• 在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截 面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深 度.
O
A
┌E
B
D
600
想一想 9
垂径定理的逆应用
驶向胜利 的彼岸
• 在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截 面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深 度.
⑴若半径R = 2 ，AB = 2 3 , 求OE、DE 的长.
⑵若半径R = 2 ，OE = 1 ，求AB、DE 的长.
⑶由⑴ 、⑵两题的启发，你还能编出什么其他问题？
C
⑴d + h = r ⑵ r2 d2 (a)2
2
O
E
A
B
D
在a,d,r,h中，已知其中任意两 个量,可以求出其它两个量.
做一做 8
O2AAD 2OD 2, 即 R 23.62(R 2.4)2.
解得 R≈3.9（m）. 在Rt△ONH中，由勾股定理，得
OH ON2HN2, 即 O H3.921.523.6.
D 3 .6 H 1 .5 2 .1 2 .∴此货船能顺利通过这座拱桥.
想一想 7
垂径定理三角形
已知：如图，直径CD⊥AB，垂足为E .
AC =BC,
3、对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半径r、弓形 相信自己能独立完成解答.
1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.
2在ma,,高求d,r桥,h中h拱，的，已半知径这其(精中四确任到意个0.两个量量,中可以，求出只其它要两个已量. 知其中任意两个量，就可以求出另外
赵州石拱桥
驶向胜利 的彼岸
• 1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱 是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高 (弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半 径(精确到0.1m).
你是第一 个告诉同 学解题方 法和结果 的吗？
随堂练习 4
，用 AB 表示桥拱，AB 所在圆的圆心为O，半径为Rm，
经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 AB 相交于点C.根
据垂径定理，D是AB的中点，C是AB 的中点，CD就是拱高.
由题设 A B 3.4 7 ,C D 7.2 ,
37.4
11
C
AD AB 37.418.7, 7.2
22 O D O CD CR7.2.
A
60D0
B
O ø650
C
随堂练习 10 若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
相信自己能独立完成解答. 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 在Rt△OAD中，由勾股定理，得
AC =BC,
挑战自我
驶向胜利 的彼岸
解：如图，用 表示桥拱， 所在圆的圆心为O，半径为Rm，
AD=BD.
• 1、要把实际问题转变成一个数学问题来解决. 九年级数学(上)第四章： 对圆的进一步认识
a
h
2
d
1圆的对称性-垂径定理应用
据垂径定理,D是AB的中点,C是 的中点,CD就是拱高.
a AD=BD.
2
2
2
⑵ r d ( ) 定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
O
2
独立作业 11
挑战自我
驶向胜利 的彼岸
• 习题4.1 3-4题
• 祝你成功!
结束寄语
下课了!
•形成天才的决定因素应该 是勤奋.
已知：如图，直径CD⊥AB，垂足为E . 2m,求桥拱的半径(精确到0.
• 2、熟练地运用垂径定理及其推论、勾股定理，并 相信自己能独立完成解答.
若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度. 在a,d,r,h中，已知其中任意两个量,可以求出其它两个量.
用方程的思想来解决问题. ∴此货船能顺利通过这座拱桥.
种语言要相 互转化,形成 整体,才能运 用自如.
想一想 2
垂径定理的应用
驶向胜利 的彼岸
• 例1 如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧
CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一
点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
C
解:连接OC.
老师提示: 注意闪烁 ●
两个量，如图有： 在Rt△OAD中，由勾股定理，得
若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
九年级数学(上)第四章： 对圆的进一步认识 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 已知：如图，直径CD⊥AB，垂足为E .
⑴d + h = r 你是第一个告诉同学解题方法和结果的吗？
⑵若半径R = 2 ，OE = 1 ，求AB、DE 的长.
E 设弯路的 R半 m ,则 O径 F (为 R9)0m.
F
O EC,D D C F 1C D 1603 00 (m )0.
的三角形 的特点.
O
22 根据勾股定理,得 O2 CC2 FO2 F ,即
R 230 20 R 92 0 .
解这个,方 得R程 54.5 这段弯路的半径约 545为m.
随堂练习 3
A
D
B
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
R
O2AAD 2OD 2,
即 R 2 1.7 8 2(R 7 .2 )2. O
解得 R≈27.9（m）.
答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.
做一做 5
船能过拱桥吗
驶向胜利 的彼岸
• 相信自己能独立 完成解答.
做一做 6
船能过拱桥吗
• 解:如图,用 AB 表示桥拱,AB 所在圆的圆心为O,半径为Rm,
4.1圆的对称性-垂径定理应用
想一想 6
垂径定理三种语言
驶向胜利 的彼岸
• 定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
C
A M└ ●O
D
如图∵ CD是直径,
B
CD⊥AB,
∴AM=BM,
A⌒C =B⌒C,
A⌒D=B⌒D.
• 老师提示:
• 垂径定理是 圆中一个重 要的结论,三
经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交于点C.根
据由垂题径设定得理,DA 是A B B7 的.2 ,中C 点, CD 是2 .4 AB,H 的中 N 点1,M CD就 是1 N .拱5 .高.
2
AD 1 AB 17.2 3.6,
2
2
O D O CD CR2.4.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
垂径定理的应用
驶向胜利 的彼岸
• 在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截 面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深 度.
O
A
┌E
B
D
600
想一想 9
垂径定理的逆应用
驶向胜利 的彼岸
• 在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截 面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深 度.
⑴若半径R = 2 ，AB = 2 3 , 求OE、DE 的长.
⑵若半径R = 2 ，OE = 1 ，求AB、DE 的长.
⑶由⑴ 、⑵两题的启发，你还能编出什么其他问题？
C
⑴d + h = r ⑵ r2 d2 (a)2
2
O
E
A
B
D
在a,d,r,h中，已知其中任意两 个量,可以求出其它两个量.
做一做 8
O2AAD 2OD 2, 即 R 23.62(R 2.4)2.
解得 R≈3.9（m）. 在Rt△ONH中，由勾股定理，得
OH ON2HN2, 即 O H3.921.523.6.
D 3 .6 H 1 .5 2 .1 2 .∴此货船能顺利通过这座拱桥.
想一想 7
垂径定理三角形
已知：如图，直径CD⊥AB，垂足为E .
AC =BC,
3、对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半径r、弓形 相信自己能独立完成解答.
1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.
2在ma,,高求d,r桥,h中h拱，的，已半知径这其(精中四确任到意个0.两个量量,中可以，求出只其它要两个已量. 知其中任意两个量，就可以求出另外
赵州石拱桥
驶向胜利 的彼岸
• 1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱 是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高 (弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半 径(精确到0.1m).
你是第一 个告诉同 学解题方 法和结果 的吗？
随堂练习 4
，用 AB 表示桥拱，AB 所在圆的圆心为O，半径为Rm，
经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 AB 相交于点C.根
据垂径定理，D是AB的中点，C是AB 的中点，CD就是拱高.
由题设 A B 3.4 7 ,C D 7.2 ,
37.4
11
C
AD AB 37.418.7, 7.2
22 O D O CD CR7.2.
A
60D0
B
O ø650
C
随堂练习 10 若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
相信自己能独立完成解答. 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 在Rt△OAD中，由勾股定理，得
AC =BC,
挑战自我
驶向胜利 的彼岸
解：如图，用 表示桥拱， 所在圆的圆心为O，半径为Rm，
AD=BD.
• 1、要把实际问题转变成一个数学问题来解决. 九年级数学(上)第四章： 对圆的进一步认识
a
h
2
d
1圆的对称性-垂径定理应用
据垂径定理,D是AB的中点,C是 的中点,CD就是拱高.
a AD=BD.
2
2
2
⑵ r d ( ) 定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
O
2
独立作业 11
挑战自我
驶向胜利 的彼岸
• 习题4.1 3-4题
• 祝你成功!
结束寄语
下课了!
•形成天才的决定因素应该 是勤奋.
已知：如图，直径CD⊥AB，垂足为E . 2m,求桥拱的半径(精确到0.
• 2、熟练地运用垂径定理及其推论、勾股定理，并 相信自己能独立完成解答.
若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度. 在a,d,r,h中，已知其中任意两个量,可以求出其它两个量.
用方程的思想来解决问题. ∴此货船能顺利通过这座拱桥.
种语言要相 互转化,形成 整体,才能运 用自如.
想一想 2
垂径定理的应用
驶向胜利 的彼岸
• 例1 如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧
CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一
点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
C
解:连接OC.
老师提示: 注意闪烁 ●
两个量，如图有： 在Rt△OAD中，由勾股定理，得
若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
九年级数学(上)第四章： 对圆的进一步认识 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 已知：如图，直径CD⊥AB，垂足为E .
⑴d + h = r 你是第一个告诉同学解题方法和结果的吗？
⑵若半径R = 2 ，OE = 1 ，求AB、DE 的长.
E 设弯路的 R半 m ,则 O径 F (为 R9)0m.
F
O EC,D D C F 1C D 1603 00 (m )0.
的三角形 的特点.
O
22 根据勾股定理,得 O2 CC2 FO2 F ,即
R 230 20 R 92 0 .
解这个,方 得R程 54.5 这段弯路的半径约 545为m.
随堂练习 3
A
D
B
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
R
O2AAD 2OD 2,
即 R 2 1.7 8 2(R 7 .2 )2. O
解得 R≈27.9（m）.
答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.
做一做 5
船能过拱桥吗
驶向胜利 的彼岸
• 相信自己能独立 完成解答.
做一做 6
船能过拱桥吗
• 解:如图,用 AB 表示桥拱,AB 所在圆的圆心为O,半径为Rm,