山东省文登市2014届高三第二次统考数学(理)试卷Word版含答案

①
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 共 4页.满分150分，考试时间120分钟. 考试结束，将本试卷答题纸和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
注意事项：
1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.
2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.
3.答第Ⅱ卷前将答题卡密封线内的项目填写清楚.
4.第Ⅱ卷试题解答要作在答题卡各题规定的矩形区域内，超出该区域的答案无效. 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{11}A x x =-<<，2{log 0}B x x =≤，则A
B =
A.{}|1x x -<<1
B.{}|01x x <<
C.{}|1x x -<≤1
D.{}|1x x -∞<≤ 2.已知三条直线,,a b c 和平面β，则下列推论中正确的是
A.若ββ//,,//a b b a 则⊂
B.若//a β，//b β，则//a b 或a 与b 相交
C.若b a c b c a //,,则⊥⊥
D.若,//,,a b a b ββ⊂ 共面，则//a b 3.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且
sin sin sin sin a A c C C b B ++=．
则B ∠ A.6
π
B.4
π
C.
3π
D.
34
π
4.如果执行右侧的程序框图，那么输 A.1740 B.1800 C.1860 D.1984
5.a 是函数12
()2log x f x x =-的零点，若00x a <<，则0()f x 的值满足
A.0()0f x =
B.0()0f x >
C.0()0f x <
D.0()f x 的值正负不定 6.如图，设D 是图中边长为2的正方形区域，E 是函数3
y x = 的图象与x 轴及1x =±围成的阴影区域．向D 中随机投一点， 则该点落入E 中的概率为 A.116 B.18 C.14 D.12
7.若不等式2
230x x a -+-<成立的一个充分条件是40<<x ， 则实数a 的取值范围应为 A.11a ≥
B.11a >
C.9a >
D.9a ≥
第6题图
8.已知变量x y ，满足约束条件2203x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩
，
，
，若目标函数，z y ax =+仅在点(5,3)处取得最小值, 则实数a 的取值范围为
A.(,1)-∞-
B.(0,)+∞
C.3(,)7
+∞ D. (1,)+∞
9.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如右图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为
A.
192π B.π319 C.173π D.133
π 10.已知点(,)P x y 在直线23x y +=上移动，当24x y +取最小值时，过P 点
(,)x y 引圆C ：2215
()()124
x y -++=的切线，则此切线长等于
A.1
2
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上. 11.复平面内有,,A B C 三点，点A 对应的复数为2i +，向量BA 对应的复数为23i +，向量BC 对应的复数为3i -，则点C 对应的复数 .
12.设常数R ∈a ，若5
2a x x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的二项展开式中4x 项的系数为20，则___a = .
13.抛物线C 的顶点在坐标原点，对称轴为y 轴，若过点(0,1)M 任作一直线交抛物线C 于
11(,)A x y ,22(,)B x y 两点，且124x x ⋅=-，则抛物线C 的方程为 ．
14.若等边ABC ∆的边长为1，平面内一点M 满足11
32
CM CB CA =
+，则MA MB ⋅= .
15.若函数()f x 的图象如图所示，()f x '是函数()f x 的导函数，且
(1)y f x =+是奇函数，则下列结论中
①(1)(1)0f x f x -++= ②'()(1)0f x x -≥
③()(1)0f x x -≥ 正确的序号是 .
三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）
已知(sin ,cos ),(cos ,cos )m b x a x n x x ==-，()f x m n a =⋅+，其中,,a b x R ∈.
且满足()2,(0)6
f f π
'==.
(Ⅰ)求,a b 的值；
第9题图
(Ⅱ)若关于x 的方程13
()log 0f x k -=在区间2[0,
]3
π
上总有实数解，求实数k 的取值范围.
17.（本小题满分12分）
袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是黑球的概率为
2
7
现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……，取球后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数.
（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列及数学期望； （Ⅱ）求乙取到白球的概率. 18．（本小题满分12分）
如图，已知PA ⊥平面ABC ，等腰直角三角形ABC 中，
2AB BC ==，,AB BC AD PB ⊥⊥于D ，AE PC ⊥于E .
（Ⅰ）求证：PC DE ⊥ ；
（Ⅱ）若直线AB 与平面ADE 所成角的正弦值为
2
3
，求PA 的值. 19．（本题满分13分）
各项均为正数的数列}{n a ,其前n 项和为n S ，满足
11
21n n
n n a a a a ++-=（*N n ∈）
，且562S a +=.
（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式;
（Ⅱ）证明：127()31n a n ->+(*)n N ∈；
（Ⅲ）若*N n ∈，令2
n n a b =，设数列}{n b 的前n 项和为n T （*N n ∈），试比较
n n T T 4121++与46
41
n n +-的大小. 20.(本小题满分12分）
已知函数2
1()(21)2ln (0)2
f x ax a x x a =-++>． (Ⅰ) 若1
2
a ≠，求函数)(x f 的单调区间； （Ⅱ）当
1
12
a <<时，判断函数)(x f 在区间[1,2] 上有无零点？写出推理过程. 21.(本小题满分14分)
已知直线:1l x my =+过椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的右焦点F ，抛物线：
2x =的焦点为椭圆C 的上顶点，且直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，点A 、F 、B 在
直线:3g x =上的射影依次为点D 、K 、E . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若直线l 交y 轴于点M ，且12,MA AF MB BF λλ==.证明：12λλ+ 的值定值；
（Ⅲ）连接AE 、BD ，直线AE 与BD 是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.
201403理科数学 参考答案及评分标准
三．解答题
16解：(Ⅰ)由题意知，
2()sin cos cos f x m n a b x x a x a =⋅+=-+(1cos 2)sin 222
a b x x =-+由()26
f π
=得
，
8a +=， ……………………………………3分
∵()sin 2cos 2f x a x b x '=+
，又(0)f '=
，∴b
=，∴2a = ……… 6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)
得()1cos 22f x x x =-+2sin(2)16
x π
=-+ ……………… 7分
∵203x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，，72666x πππ-≤-≤， ∴
12sin(2)26
x π
-≤-≤，[]()03f x ∈，. ………… 9分 又∵
13
()log 0f x k -=有解，即3()log f x k =-有解，
∴33log 0k -≤≤，解得
1127k ≤≤，所以实数k 的取值范围为1
[,1]27
. …12分 17解: （Ⅰ）设袋中原有n 个黑球,由题意知2
27
17n
C C = ……………1分
(1)
(1)276762
n n n n --==⨯⨯ ， 可得4n =或3n =- (舍去) ……………3分
所以黑球有4个，白球有3个.
由题意,ξ的可能取值为1,2,3,4,5 ……………4分
3432
(1);(2)7767P P ξξ⨯=====⨯
4336(3)76535P ξ⨯⨯===⨯⨯ 43233
(4)765435P ξ⨯⨯⨯===
⨯⨯⨯ 432131
(5)7654335
P ξ⨯⨯⨯⨯===
⨯⨯⨯⨯ ……………7分（错一个扣一分，最多扣3分） 所以ξ的分布列为
……………8分
所以数学期望为:32631
2345277353535
E ξ=
+⨯+⨯+⨯+⨯= ……………9分 （Ⅱ）因为乙后取,所以乙只有可能在第二次,第四次取球,记乙取到白球为事件A,则
2313
()(2)(4)73535
P A P P ξξ==+==
+=
……………11分 答：乙取到白球的概率为
13
35
. ……………12分 18．解：（Ⅰ）证明：因为ABC PA 平面⊥，
所以BC PA ⊥,又BC AB ⊥, 所以PAB BC 平面⊥,从而AD BC ⊥．……2分 又PB AD ⊥, ,所以PBC AD 平面⊥,得AD PC ⊥，……4分 又AE PC ⊥,所以ADE PC 平面⊥，∴PC DE ⊥ ……6分 （Ⅱ）过点B 作BE ∥AP ,则BZ ⊥平面ABC ,
，分别以,,BA BC BZ 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴 建立空间直角坐标系． ……7分
设PA a =，则(2,0,0),(0,2,0),(2,0,)A C P a ,
因为ADE PC 平面⊥，(1,1,)PC a ∴=--是平面ADE 的一个法向量，∴向量
AB PC 与所成的角的余弦值的绝对值为
2
3
， ……9分 又(2,0,0)AB =- 则2|cos ,||
||
3
PC AB PC AB PC AB
⋅<>===⋅，解得1a =
∴1PA = ……12分 19．解:（Ⅰ）由
11
21n n n n a a a a ++-=得，22
1120n n n n a a a a ++--=,即11()(2)0n n n n a a a a +++-= 又0>n a ,所以有021=-+n n a a ,所以∴12+=n n a a 所以数列}{n a 是公比为2的等比数列. …………………………2分
由562S a += 得5511(12)
2212
a a -+=-,解得21=a .
故数列}{n a 的通项公式为*)(2N n a n n ∈=……………………………4分
（Ⅱ）由题意即证17431n n -⋅>+①当1=n 时，41137470=+⨯>=⋅,不等式显然成立；………………………5分
②假设当k n =时，不等式17431k k -⋅>+成立………6分 当1+=k n 时，
1)1(343412)13(4474471++=+>+=+>⨯⨯=⨯-k k k k k k
20解：(Ⅰ)∵2
()(21)f x ax a x
'=-++
(0)x >． 即 (1)(2)
()ax x f x x
--'=
(0)x >．…………………2分
∵1122a a a --=，∵10,2a a >≠ ∴102a <<时，1
2a >
12a >时，12a < ，由()0f x '>得1
x a
>或2x <
由()0f x '<得1
2x a
<< …………………4分
所以当102a <<，()f x 的单调递增区间是(0,2]和1[,)a +∞，单调递减区间是1
[2,]a
5分
同理当12a >
，()f x 的单调递增区间是1(0,]a 和[2,)+∞，单调递减区间是1
[,2]a
…6分 （Ⅱ）由(Ⅰ)可知，
当
112a <<时，()f x 在1[1,]a 上单调递增，在1
[,2]a
上单调递减， 故max 11
()()22ln 2f x f a a a
==---．……………8分
由1
12
a <<可知22ln 0a --<，max ()0f x <， 故在区间[1,2] ()0f x <．恒成立 …………………11分 故当1
2
a >
时，函数)(x f 在区间[1,2] 上没有零点.…………………12分 （注意：仅证明(1)0,(2)0f f <<就说明无零点不得分） 21解：（Ⅰ）易知椭圆右焦点),0,1(F ∴1=c ，
抛物线2x =
的焦点坐标( ………1分
22b b ∴==
2223a b c ∴=+=
∴椭圆C 的方程22
132
x y +
=. ……………3分 （Ⅱ）易知0≠m ，且l 与y 轴交于10,M m ⎛
⎫-
⎪⎝⎭，
设直线l 交椭圆于()()1122,,,A x y B x y
由()222212344013
2x my m y my x y =+⎧⎪
⇒++-=⎨+=⎪⎩
∴121222
44
,2323
m y y y y m m --+=⋅=++……………5分
又由()1111111,1,MA AF x y x y m λλ⎛
⎫
=∴+
=-- ⎪⎝⎭
1111my λ∴=--
，同理22
11my λ=--
∴⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-
-=+21211112y y m λλ …………7分 ∵ 2122121211423234y y m m m y y y y m ⎛⎫
+-++==⋅= ⎪+-⎝⎭
……………8分 ∴12121111
223m m y y m
λλ⎛⎫+=--+=--⋅=- ⎪
⎝⎭ 所以，当m 变化时， 12λλ+的值是定值，定值为3-.……………9分
（Ⅲ）先探索，当0=m 时，直线l x ⊥轴，则ABED 为矩形，由对称性知，AE 与BD 相交FK 的中点N ，且()2,0N ，。