辽宁省沈阳市鸿运高级中学高三数学文期末试卷含解析

辽宁省沈阳市鸿运高级中学高三数学文期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知，则的最小值为（）
A．8 B．16 C．20 D．25
参考答案：
2. 为得到函数的图象,可以将函数的图象
A. 向左平移个单位
B. 向左平移个单位
C. 向右平移个单位
D. 向右平移个单位
参考答案：
B
略
3. 已知函数，满足，将函数f(x)的图象向右平移个
单位得到函数g(x)的图象，若g(x)的图象关于直线对称，则ω的取值可以为
A.1
B.2
C.3
D.4
参考答案：
B 4. 已知，，，则( )
A．b＜a＜c B．a＜c＜b
C．c＜b＜a D．c＜a＜b
参考答案：
D
5. 定义运算：a*b= ，则函数f（x）=1*2x的图象大致为（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
【考点】函数的图象．
【分析】利用新的定义求解，首先判断2x与1的大小关系，分类讨论；
【解答】解：∵a*b=，
若x＞0可得，2x＞1，∴f（x）=1*2x=1；
若x≤0可得，2x≤1，∴g（x）=1*2x=2x，
∴当x≤0时，2x≤1，
故选：A
6. 如图，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝120?，BC＝AC＝3，点D在线段AB上.
⑴若，求BD的长;
⑵若点E在线段DA上，且∠DCE＝30?，问:当∠DCB取何值时，△CDE的面积最小?并求出面积的
最小值.
参考答案：
⑴在△CDB中，∠CBD＝30?，BC＝3，，由余弦定理，得
，……………………2分
即，解得，.……………………5分
⑵设∠DCB＝，，在△CDB中，由正弦定理，得，
即，同理，……………………8分
所以，
…………………………12分∵，∴.
∴当时，的最小值为.…………14分
略
7. 将函数y=sin(2x+)的图象经过怎样的平移后所得图象关于点（，0）中心对称（） A．向右平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向左平移
参考答案：
A
8. 已知双曲线标准方程为，则双曲线离心率为
A．B．3 C．D．
参考答案：
C
9. 已知直线，平面，且，给出下列四个命题：
①若α//β，则；②若
③若，则；④若
其中正确命题的个数
是
( ）
A．0 B．1 C．2
D．3
参考答案：
C
3.曲线在点处的切线方程为（）
A. x+y－2=0
B. x－y=0
C.x+4y－5=0
D. x－4y－5=0[.
参考答案：
A
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知，则的值等于
．
参考答案：2008
12.
参考答案：
13.
设等比数列的各项均为正数，公比为，前项和为．若对，有
，则的取值范围是。

参考答案：
略
14. 某单位安排5个人在六天中值班，每天
1人，每人至少值班1天，共有种不
同值班方案.（用数字作答）
参考答案：
1800
15. 在平面直角坐标系中，已知点为函数的图象与圆的公共
点，且它们在点处有公切线，若二次函数的图象经过点，则的最大值
为 .
参考答案：
考点：导数几何意义，二次函数最值
【思路点睛】(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切
线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.
(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平
行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导
数联系起来求解. 1
16. 已知函数y=x+(x＞2)的最小值为6，则正数m的值为．
参考答案：
【分析】由x＞2，可得y=x﹣2++2≥+2=2+2，再利用函数的
最小值为6，可得2+2=6，解得m．
【解答】解：∵x＞2，∴y=x﹣2++2≥+2=2+2，
又函数的最小值为6，∴2+2=6，解得m=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17. 过抛物线的焦点，倾斜角为的直线交抛物线于（），则的
值
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=AD=2，CB=CD=3，将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A'﹣
BDC，O为BD的中点，M为OC的中点，点N在线段A'B上，满足．
（Ⅰ）证明：MN∥平面A'CD；
（Ⅱ）若A'C=3，求点B到平面A'CD的距离．
参考答案：
【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．
【分析】（Ⅰ）过点N作BD的平行线，交直线A'D于点E，证明：四边形MNEF为平行四边形，可得MN∥EF，即可证明MN∥平面A'CD；
（Ⅱ）若A'C=3，利用等体积方法，即可求点B到平面A'CD的距离．
【解答】（Ⅰ）证明：过点N作BD的平行线，交直线A'D于点E，
过点M作BD的平行线，交直线CD于点F，…（1分）
因为NE∥BD，MF∥BD，所以NE∥MF，
且，所以四边形MNEF为平行四边形，…（3分）
所以MN∥EF，且EF?平面A'CD，MN?平面A'CD，
所以MN∥平面A'CD．…（4分）
（Ⅱ）解：因为A'C=3，所以A'O⊥OC，且A'O⊥BD，OC∩BD=O，所以A'O⊥平面BCD．…（6分）由：V B﹣A'CD=V A'﹣BCD，…（8分）
，，…（10分）
所求点B到平面A'CD的距离．…（12分）【点评】本题考查线面平行的判定，考查点到平面距离的计算，考查体积的计算，属于中档题．19. 某小学对五年级的学生进行体质测试，已知五年一班共有学生30人，测试立定跳远的成绩用茎叶图表示如图（单位：cm）：男生成绩在175 cm以上（包括175 cm）定义为“合格”，成绩在175 cm以下（不包括175 cm）定义为“不合格”．女生成绩在165 cm以上（包括165 cm）定义为“合格”，成绩在165 cm以下（不包括165 cm）定义为“不合格”．
(1)求五年一班的女生立定跳远成绩的中位数；
(2)在五年一班的男生中任意选取3人，求至少有2人的成绩是合格的概率；
(3)若从五年一班成绩“合格”的学生中选取2人参加复试，用X表示其中男生的人数，写出X的分布列，并求X的数学期望．
参考答案：
(1)166.5cm (2) (3)见解析
【分析】
(1)按照中位数的定义，可以根据茎叶图得到五年一班的女生立定跳远成绩的中位数；
(2) 男生中任意选取3人，至少有2人的成绩是合格，包括两个事件：一个为事件：“仅有两人的成绩合格”，另一个为事件：“有三人的成绩合格”，所以至少有两人的成绩是合格的概率：
，分别求出，最后求出；
(3) 因为合格的人共有18人，其中有女生有10人合格，男生有8人合格，依题意，的取值为0，1，2，分别求出的值，最后列出的分布列和计算出的数学期望
.
【详解】解：(1)由茎叶图得五年一班的女生立定跳远成绩的中位数为
(2)设“仅有两人的成绩合格”为事件，“有三人的成绩合格”为事件
，
至少有两人的成绩是合格的概率：
，
又男生共12人，其中有8人合格，从而，
，所以
．
(3)因为合格的人共有18人，其中有女生有10人合格，男生有8人合格， 依题意，
的取值为0，1，2，
则
，
因此，X 的分布列如下：
（人）．
或是，因为服从超几何分布，所以（人）．
【点睛】本题考查了根据茎叶图求数据的中位数、概率、随机变量分布列、计算数学期望，考查了数学运算能力.
20. （本小题满分 12 分）如图，在四面体PABC 中，面PAB, PBC, PAC 两两垂直． （1）求证：BC⊥ AP
（2）若PA ＝ a, PB ＝ b, PC ＝ c ，求?ABC 的面积。

参考答案：
（1）证明：过作
于面
面
面
同理，过
作
于
面
面
面
由于过空间中的一点有且只有一条直线与同一个平面垂直，故
重合于点
故
面
，
…………………6分
（2）由勾股定理可知
由余弦定理知：
则
…………………12分
21. (本小题满分14分) 如图，已知正方体的棱长为2，E 、F 分别是
、
的中点，过
、E 、F 作平面
交
于G..（Ⅰ）求证：
∥
；（Ⅱ）求二
面角的余弦值；（Ⅲ）求正方体被平面所截得的几何体
的体积.
参考答案：
（Ⅰ）证明：在正方体中，∵平面∥平面平面平面，平面平面
∴∥.-------------------------------------3分（Ⅱ）解：如图，以D为原点分别以DA、DC、DD1为
x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则有
D1（0，0，2），E（2，1，2），F（0，2，1），
∴，
设平面的法向量为
则由，和，得，
取，得，，∴ ------------------------------6分又平面的法向量为（0，0，2）
故；
∴截面与底面所成二面角的余弦值为. ------------------9分（Ⅲ）解：设所求几何体的体积为V，
∵～，，，
∴，，
∴，
--------------------------11分
故V棱台
∴V=V正方体-V棱台. ------------------14分
略
22. （本题满分14分）已知.
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数在上的最小值；
(3)对一切的,恒成立,求实数的取值范围．
参考答案：
(1)……2分
(4)
分
(2) (ⅰ)0<t<t+2<，t无
解…………………………………………………………5分
(ⅱ)0<t<<t+2，即0<t<时，
………………………………7分
(ⅲ)，即时，，………………9分
……………………………………
……………10分
(3)由题意:即
可得
…………………………………………………11分
设,
则
(12)
分
令,得(舍)
当时,;当时,
当时,取得最大值, =-2 …………………………13分.
的取值范围是. ……………………………………14分。