高中数学 第二章 解析几何初步章末复习课(二)学案 北师大版必修2-北师大版高一必修2数学学案

第二章解析几何初步
学习目标 1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.培养综合运用知识解决问题的能力，能灵活、熟练运用待定系数法求解圆的方程，能解决直线与圆的综合问题，并学会运用数形结合的数学思想．
1．圆的方程
(1)圆的标准方程：________________________.
(2)圆的一般方程：________________________.
2．点和圆的位置关系
设点P(x0，y0)及圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(1)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点P________.
(2)(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点P________.
(3)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点P________.
3．直线与圆的位置关系
设直线l与圆C的圆心之间的距离为d，圆的半径为r，则d____r→相离；d____r→相切；d____r→相交．
4．圆与圆的位置关系
设C1与C2的圆心距为d，半径分别为r1与r2，则
位置关系相离外切相交内切内含图示
d与r1，r2
d>r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2|d<|r1－r2| 的关系
5.求圆的方程时常用的四个几何性质
6．与圆有关的最值问题的常见类型 (1)形如μ＝
y －b
x －a
形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题． (2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
(3)形如(x －a )2
＋(y －b )2
形式的最值问题，可转化为动点到定点距离的平方的最值问题． 7．计算直线被圆截得的弦长的常用方法 (1)几何方法
运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算． (2)代数方法
运用根与系数的关系及弦长公式 |AB |＝1＋k 2|x A －x B | ＝
1＋k
2
[x A ＋x B
2
－4x A x B ].
注：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法． 8．空间中两点的距离公式
空间中点P 1(x 1，y 1，z 1)，点P 2(x 2，y 2，z 2)之间的距离|P 1P 2|＝________________________.
类型一 求圆的方程
例1 根据条件求下列圆的方程．
(1)求经过A (6,5)，B (0,1)两点，并且圆心在直线3x ＋10y ＋9＝0上的圆的方程； (2)求半径为10，圆心在直线y ＝2x 上，被直线x －y ＝0截得的弦长为42的圆的方程．
反思与感悟 求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法求解，采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为：
第一步：选择圆的方程的某一形式．
第二步：由题意得a，b，r(或D，E，F)的方程(组)．
第三步：解出a，b，r(或D，E，F)．
第四步：代入圆的方程．
注：解题时充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量，例如：圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点连线垂直于弦；当两圆相交时，连心线垂直平分两圆的公共弦；当两圆相切时，连心线过切点等．
跟踪训练1 如图所示，圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A 的上方)，且|AB|＝2，则圆C的标准方程为________．
类型二直线与圆的位置关系
例2 已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求过M点的圆的切线方程；
(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值；
(3)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为23，求a的值．
反思与感悟当直线与圆相交时，常涉及到弦长问题，弦长的计算有以下两种思路
(1)代数方法：将直线和圆的方程联立得方程组，消元后得到一个一元二次方程，在判别式Δ>0的前提下，可利用根与系数的关系求弦长．
(2)几何方法：若弦心距为d，圆半径为r，则弦长为l＝2r2－d2.
解决直线与圆相交问题时，常利用几何方法，即构造直角三角形，利用勾股定理，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，圆心和切点的连线垂直于切线．
跟踪训练2 已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.
(1)若直线l过点P，且被圆C截得的线段长为43，求l的方程；
(2)求过P点的圆C弦的中点的轨迹方程．
类型三圆与圆的位置关系
例3 已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.
(1)m取何值时两圆外切？
(2)m取何值时两圆内切？
(3)当m＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
跟踪训练3 已知两个圆C1：x2＋y2＝4，C2：x2＋y2－2x－4y＋4＝0，直线l：x＋2y＝0，求经过C1和C2的交点且和l相切的圆的方程．
类型四 数形结合思想的应用
例4 曲线y ＝1＋4－x 2
与直线y ＝k (x －2)＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是( ) A ．(0，5
12)
B ．(5
12，＋∞)
C ．(13，34
]
D ．(512，34
]
反思与感悟 数形结合思想在解析几何中的应用极其广泛，利用数形结合的思想解题，能把抽象的数量关系与直观的几何图形建立起关系，从而使问题在解答过程中更加形象化、直观化，而本章的相关知识整体体现了这种思想，即把几何问题代数化，同时利用代数(方程)的思想反映几何问题．
跟踪训练4 已知实数x 、y 满足方程x 2
＋y 2
－4x ＋1＝0，则y
x
的最大值为________，最小值为________．
1．若方程x 2＋y 2
＋ax ＋2ay ＋54a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是( )
A ．a ＜－2或a ＞2
3
B ．－2
3＜a ＜2
C ．a ＞1
D ．a ＜1
2．以点(－3,4)为圆心，且与x 轴相切的圆的方程是( ) A ．(x －3)2
＋(y ＋4)2
＝16 B ．(x ＋3)2
＋(y －4)2
＝16 C ．(x －3)2
＋(y ＋4)2
＝9 D ．(x ＋3)2
＋(y －4)2
＝9
3．过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2
＋y 2
＝1有公共点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( ) A ．0°＜α≤30° B ．0°＜α≤60° C ．0°≤α≤30°
D ．0°≤α≤60°
4．两圆x 2
＋y 2
－6x ＋16y －48＝0与x 2
＋y 2
＋4x －8y －44＝0的公切线的条数为( ) A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
5．已知直线x －my ＋3＝0和圆x 2
＋y 2
－6x ＋5＝0. (1)当直线与圆相切时，求实数m 的值；
(2)当直线与圆相交，且所得弦长为210
5时，求实数m 的值．
圆是非常特殊的几何图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形，它的许多几何性质在解决圆的问题时往往起到事半功倍的作用，所以在实际解题中常用几何法，充分结合圆的平面几何性质．那么，经常使用的几何性质有
(1)圆的切线的性质：圆心到切线的距离等于半径；切点与圆心的连线垂直于切线；切线在切点处的垂线一定经过圆心；圆心、圆外一点及该点所引切线的切点构成直角三角形的三个顶点等等．
(2)直线与圆相交的弦的有关性质：相交弦的中点与圆心的连线垂直于弦所在直线；弦的垂直平分线(中垂线)一定经过圆心；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形的三边，满足勾股定理．
(3)与直径有关的几何性质：直径是圆的最长的弦；圆的对称轴一定经过圆心；直径所对的圆周角是直角．
答案精析
知识梳理
1．(1)(x －a )2
＋(y －b )2
＝r 2
(2)x 2
＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2
＋E 2
－4F >0)
2．(1)在圆外 (2)在圆内 (3)在圆上 3．> ＝ < 8.
x 2－x 1
2
＋y 2－y 1
2
＋z 2－z 1
2
题型探究
例1 解 (1)由题意知，线段AB 的垂直平分线方程为 3x ＋2y －15＝0，
∴由⎩
⎪⎨
⎪⎧
3x ＋2y －15＝0，3x ＋10y ＋9＝0，
解得⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝7，y ＝－3，
∴圆心C (7，－3)，半径为r ＝|AC |＝65. ∴所求圆的方程为(x －7)2
＋(y ＋3)2
＝65. (2)方法一 设圆的方程为(x －a )2
＋(y －b )2
＝r 2
， 则圆心坐标为(a ，b )，半径为r ＝10， 圆心(a ，b )到直线x －y ＝0的距离为d ＝|a －b |2.
由半弦长，弦心距，半径组成直角三角形，得
d 2＋(
422
)2＝r 2
， 即
a －b
2
2
＋8＝10，
∴(a －b )2
＝4. 又∵b ＝2a ，
∴a ＝2，b ＝4或a ＝－2，b ＝－4， ∴所求圆的方程为(x －2)2
＋(y －4)2
＝10 或(x ＋2)2
＋(y ＋4)2
＝10.
方法二 设圆的方程为(x －a )2
＋(y －b )2
＝10， ∵圆心C (a ，b )在直线y ＝2x 上， ∴b ＝2a .
由圆被直线x －y ＝0截得的弦长为42， 将y ＝x 代入(x －a )2
＋(y －b )2＝10，
得2x 2－2(a ＋b )x ＋a 2＋b 2
－10＝0. 设直线y ＝x 交圆C 于点A (x 1，y 1)，
B (x 2，y 2)，
则|AB |＝
x 1－x 2
2
＋y 1－y 2
2
＝2[x 1＋x 2
2
－4x 1x 2]＝42，
∴(x 1＋x 2)2
－4x 1x 2＝16. ∵x 1＋x 2＝a ＋b ，x 1x 2＝
a 2＋
b 2－10
2
，
∴(a ＋b )2
－2(a 2
＋b 2
－10)＝16， 即a －b ＝±2. 又∵b ＝2a ，∴⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝2，
b ＝4
或⎩⎪⎨
⎪
⎧
a ＝－2，
b ＝－4.
∴所求圆的方程为(x －2)2
＋(y －4)2
＝10 或(x ＋2)2
＋(y ＋4)2
＝10.
跟踪训练1 (x －1)2
＋(y －2)2
＝2 例2 解 (1)圆心C (1,2)，半径为r ＝2. ①当直线的斜率不存在时，方程为x ＝3.
由圆心C (1,2)到直线x ＝3的距离为d ＝3－1＝2＝r 知，此时直线与圆相切． ②当直线的斜率存在时，设方程为y －1＝k (x －3)， 即kx －y ＋1－3k ＝0.
由题意知，|k －2＋1－3k |k 2
＋1＝2，解得k ＝3
4. ∴方程为y －1＝3
4(x －3)，即3x －4y －5＝0.
故过M 点的圆的切线方程为x ＝3 或3x －4y －5＝0.
(2)由题意有|a －2＋4|a 2＋1＝2，解得a ＝0或a ＝4
3.
(3)∵圆心到直线ax －y ＋4＝0的距离为
|a ＋2|
a 2＋1
，
∴⎝
⎛⎭⎪⎫|a ＋2|a 2
＋12＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫2322
＝4，解得a ＝－34.
跟踪训练2 解
(1)如图所示，|AB |＝43，设D 是线段AB 的中点，则CD ⊥AB ， ∴|AD |＝23，|AC |＝4. 在Rt△ACD 中，可得|CD |＝2.
设所求直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y －5＝kx ，即kx －y ＋5＝0. 由点C 到直线AB 的距离为 |－2k －6＋5|k 2＋1＝2，得k ＝3
4，
此时直线l 的方程为3x －4y ＋20＝0.
又∵当直线l 的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x ＝0， ∴所求直线l 的方程为x ＝0或3x －4y ＋20＝0. (2)设过P 点的圆C 弦的中点为D (x ，y )， 则CD ⊥PD ，所以k CD ·k PD ＝－1， 即
y －6x ＋2·y －5
x
＝－1， 化简得所求轨迹方程为x 2
＋y 2
＋2x －11y ＋30＝0.
例3 解 圆Q 1：x 2
＋y 2
－2x －6y －1＝0可化为(x －1)2
＋(y －3)2
＝11， 圆Q 2化为(x －5)2
＋(y －6)2
＝61－m ， 两圆圆心距离 |Q 1Q 2|＝
5－1
2＋6－3
2
＝5.
(1)当两圆外切时， |Q 1Q 2|＝11＋61－m ， 即5＝11＋61－m . 解得m ＝25＋1011. (2)当两圆内切时， |Q 1Q 2|＝|11－61－m |， 因为11<5，
所以|Q 1Q 2|＝61－m －11， 所以5＝61－m －11， 所以m ＝25－1011.
(3)当m ＝45时，由两圆方程相减，得公共弦方程为
x 2＋y 2－2x －6y －1－x 2－y 2＋10x ＋12y －m ＝0，
即4x ＋3y －23＝0. 圆心Q 1到公共弦的距离为
d ＝
|4×1＋3×3－23|
42＋3
2
＝2， 所以公共弦长为2
r 21－d 2
＝2
11
2
－22
＝27.
跟踪训练3 解 将两圆的方程C 1：x 2
＋y 2
＝4，C 2：x 2
＋y 2
－2x －4y ＋4＝0相减，得x ＋2y －4＝0，将x ＝4－2y 代入C 1：x 2
＋y 2
＝4，得5y 2
－16y ＋12＝0， 解得y 1＝2，y 2＝6
5，
得x 1＝0，x 2＝8
5
，
所以圆与圆的交点坐标分别为(0,2)，(85，6
5)．
设圆的标准方程为(x －a )2
＋(y －b )2
＝r 2
， 依题意，
得⎩⎪⎨⎪⎧
0－a
2
＋2－b
2
＝r 2
， ①85
－a 2
＋65－b
2
＝r 2
， ②
|a ＋2b |5＝r ， ③
由①②消去r 2
，得b ＝2a ，代入③式，得r ＝5a ，代入①式⇒a ＝12，b ＝1，r ＝52，
所以圆的方程为(x －12)2＋(y －1)2
＝54
.
例4 D [首先明确曲线y ＝1＋4－x 2
表示半圆，
由数形结合可得512＜k ≤34
.] 跟踪训练4
3 － 3 当堂训练
1．D 2.B 3.D 4.C
5．解 (1)因为圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0可化为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆心坐标为(3,0)． 因为直线x －my ＋3＝0与圆相切，所以
|3＋3|1＋m 2＝2， 解得m ＝±2 2.
(2)圆心(3,0)到直线x －my ＋3＝0的距离为d ＝
|3＋3|1＋m 2. 由2
4－
|3＋3|1＋m 22＝2105， 得2＋2m 2＝20m 2－160，即m 2＝9.
故m ＝±3.。