【易错题】高中必修五数学上期中第一次模拟试卷(带答案)(4)

【易错题】高中必修五数学上期中第一次模拟试卷(带答案)(4)
一、选择题
1．朱载堉(1536～1611)，是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”．即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设第三个音的频率为1f ，第七个音的频率为2f ，则2
1
f f ＝ A
．B
C
D
2．数列{}n a 的前n 项和为2
1n S n n =++,()()1N*n
n n b a n =-∈,则数列{}n b 的前50项
和为（ ） A ．49
B ．50
C ．99
D ．100
3．已知函数22()
()()n n f n n n 为奇数时为偶数时⎧=⎨-⎩
，若()(1)n a f n f n =++，则
123100a a a a ++++=L
A ．0
B ．100
C ．100-
D ．10200
4．已知等比数列{}n a ，11a =，41
8
a =，且12231n n a a a a a a k +++⋅⋅⋅+<，则k 的取值范围是（ ） A ．12,23
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．1
,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
C ．12,23⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
D ．2
,3
⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
5．在等差数列｛a n ｝中，1233,a a a ++=282930165a a a ++=，则此数列前30项和等于（ ） A ．810
B ．840
C ．870
D ．900
6．定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}n a ,若
(){}n
f a 仍是比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()()
,00,-∞⋃+∞上的如下函数： ①()3
f x x =；
②()x
f x e =；
③(
)f x =
④()ln f x x =
则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为（ ） A ．①②
B ．③④
C ．①③
D ．②④
7．若正数,x y 满足20x y xy +-=，则3
2x y
+的最大值为（ ）
A ．
13
B ．38
C ．
37
D ．1
8．已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（ ） A ．7
B ．5
C ．5-
D ．7-
9．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
，则2z y x =-的最大值为（ ）．
A ．8-
B ．4-
C ．1
D ．2
10．若ln 2ln 3ln 5
,,235
a b c =
==，则 A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a <<
D ．b a c <<
11．如图，有四座城市A 、B 、C 、D ，其中B 在A 的正东方向，且与A 相距120km ，
D 在A 的北偏东30°方向，且与A 相距60km ；C 在B 的北偏东30°方向，且与B 相距
6013km ，一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，
接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有（ ）
A ．120km
B ．606km
C ．605km
D ．3km
12．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC V 的面积，若
cos cos sin ,c B b C a A += ()
22234
S b a c =+-，则B ∠=
A ．90︒
B ．60︒
C ．45︒
D ．30︒
二、填空题
13．在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若
3
2sin sin sin ,cos 5
B A
C B =+=
，且6ABC S ∆=，则b =__________． 14．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列.令
1
1
4(1)n n n n n
b a a -+=-，则数列{}n b 的前100的项和为______．
15．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝
3
2，S 3＝92
，则a 1的值为________． 16．已知等比数列{}n a 的首项为2，公比为2，则
1
12n n
a a a a a a a a +=⋅⋅⋅L _______________．
17．定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≥21,01,
()22,1,x
x x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩
若任意的[],1x m m ∈+，不等式(1)()f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是 ____________
18．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知,,a b c 成等比数列，且
22a c ac bc -=-，则
sin c
b B
的值为________. 19．设变量,x y 满足约束条件：21y x x y x ≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
，则3z x y =-的最小值为__________．
20．设0x ＞，0y ＞，4x y +=，则
14
x y
+的最小值为______． 三、解答题
21．已知数列{n a }的前n 项和1
*1()
2()2
n n n S a n N -=--+∈，数列{n b }满足n b =2n n a ．
(I)求证数列{n b }是等差数列，并求数列{n a }的通项公式； (Ⅱ)设2log n n n c a =，数列{
22n n c c +}的前n 项和为T n ，求满足*25
()21
n T n N <∈的n 的最大值.
22．已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +== （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1
1
n n n n a b S S ++=
，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 23．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1，n a ，n S 成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 满足12n n n a b na =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
24．C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c
．向量()
m a =r
与
()cos ,sin n =A B r
平行．
（Ⅰ）求A ； （Ⅱ
）若a =
2b =求C ∆AB 的面积．
25．
围建一个面积为360m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x （单位：元）．
（Ⅰ）将y 表示为x 的函数；
（Ⅱ）试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． 26．已知数列为等差数列，且12a =，12312a a a ++=． (1) 求数列的通项公式； (2) 令
，求证：数列
是等比数列．
（3）令1
1
n n n c a a +=
，求数列{}n c 的前n 项和n S .
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】
：先设第一个音的频率为a ，设相邻两个音之间的频率之比为q ，得出通项公式， 根据最后一个音是最初那个音的频率的2倍，得出公比，最后计算第三个音的频率与第七个音的频率的比值。

【详解】
：设第一个音的频率为a ，设相邻两个音之间的频率之比为q ，那么1
q n n a a -=，根据最
后一个音是最初那个音的频率的2倍，1
121213
2q q 2a a a ==⇒=，所以
437
213
q 2a f f a ===D 【点睛】
：本题考查了等比数列的基本应用，从题目中后一项与前一项之比为一个常数，抽象出等
比数列。

2．A
解析：A 【解析】
试题分析：当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，
()
()()2
2111112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=⎣⎦
,把1n =代入上式可得
123a =≠.综上可得3,1
{2,2
n n a n n ==≥.所以3,1
{2,12,n n b n n n n n -==-≠为奇数且为偶数
.数列{}n b 的前50项
和为
()()
503235749224650S =--+++++++++L L ()()2434925250322492
2
++=--⋅
+⋅
=.故A 正确.
考点：1求数列的通项公式;2数列求和问题.
3．B
解析：B 【解析】
试题分析：由题意可得，当n 为奇数时，()2
2()(1)121;n a f n f n n n n =++=-+=--当
n 为偶数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-++=+所以
()
1231001399a a a a a a a ++++=+++L L ()()()2410021359999224610099100a a a ++++=-++++-++++++=L L L ，
故选B.
考点：数列的递推公式与数列求和.
【方法点晴】本题主要考查了数列的递推公式与数列求和问题，考查了考生的数据处理与
运算能力，属于中档题.本题解答的关键是根据给出的函数()22()
{()
n n f n n n =-当为奇数时当为偶数时及
()(1)n a f n f n =++分别写出n 为奇数和偶数时数列{}n a 的通项公式，然后再通过分
组求和的方法得到数列{}n a 前100项的和.
4．D
解析：D 【解析】
设等比数列{}n a 的公比为q ，则3
411
8a q a =
=，解得12
q =， ∴1
1
2n n a -=
，
∴1121
111222n n n n n a a +--=
⨯=， ∴数列1{}n n a a +是首项为
12
，公比为1
4的等比数列，
∴1223111(1)
21224(1)134314
n n n n a a a a a a +-++⋅⋅⋅+==-<-， ∴23k ≥．故k 的取值范围是2
[,)3+∞．选D ．
5．B
解析：B 【解析】
数列前30项和可看作每三项一组，共十组的和，显然这十组依次成等差数列，因此和为
10(3165)
8402
+= ，选B. 6．C
解析：C 【解析】 【分析】
设等比数列{}n a 的公比为q ，验证()
()
1n n f a f a +是否为非零常数，由此可得出正确选项. 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ，则
1
n n
a q a +=. 对于①中的函数()3f x x =，
()()3
3
131
12n n n n n n f a a a q f a a a +++⎛⎫=== ⎪⎝⎭
，该函数为“保等比数列函数”；
对于②中的函数()x
f x e =，
()()1
11n n n n a a a n a n f a e e f a e
++-+==不是非零常数，该函数不是“保等比数列函数”； 对于③中的函数(
)f x =()
(
)
1n n f a f a +==
=，该函数为“保等比数
列函数”；
对于④中的函数()ln f x x =，()()1
1ln ln n n n n
a f a f a a ++=不是常数，该函数不是“保等比数列函
数”.故选：C.
【点睛】
本题考查等比数列的定义，着重考查对题中定义的理解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
7．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据条件可得出2x >，212
y x =+-，从而33
222(2)52
x y x x =+-++-，再根据基本不
等式可得出3123x y ≤+，则32x y +的最大值为1
3
.
【详解】
0x Q >，0y >，20x y xy +-=，
2
122
x y x x ∴=
=+--，0x >， 333
222212(2)522
x y x x x x ∴
==
+++-++--，
22(2)5592x x -+
+≥=-Q ， 当且仅当1
22x x -=-，即3x =时取等号， 31
232(2)52
x x ∴≤
-++-，即3123
x y ≤+， 32x y ∴+的最大值为13
. 故选：A. 【点睛】
本题考查了利用基本不等式求最值的方法，注意说明等号成立的条件，考查了计算和推理能力，属于中档题.
8．D
解析：D 【解析】 【分析】
由条件可得47a a ，的值，进而由27104a a a =和2417
a a a =可得解.
【详解】
56474747822,4a a a a a a a a ==-+=∴=-=Q 或474,2a a ==-.
由等比数列性质可知
227410
1478,1a a a a a a ==-==或22
7410147
1,8a a a a a a ====-
1107a a ∴+=-
故选D. 【点睛】
本题主要考查了等比数列的下标的性质，属于中档题.
9．D
解析：D 【解析】
作出不等式组20
400x y x y y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
，所表示的平面区域，如图所示，
当0x ≥时，可行域为四边形OBCD 内部，目标函数可化为2z y x =-，即2y x z =+，平移直线2y x =可知当直线经过点(0,2)D 时，直线的截距最大，从而z 最大，此时，
max 2z =，
当0x <时，可行域为三角形AOD ，目标函数可化为2z y x =+，即2y x z =-+，平移直线2y x =-可知当直线经过点(0,2)D 时，直线的截距最大，从而z 最大，max 2z =， 综上，2z y x =-的最大值为2． 故选D ．
点睛：利用线性规划求最值的步骤： (1)在平面直角坐标系内作出可行域．
(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（
y b x a
++型）和距离型（()()22
x a y b +++型）． (3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解． (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．
注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.
10．B
解析：B 【解析】 试题分析：因为
ln 2ln 3ln8ln 9ln 2ln 3
0,23623
--=<<，ln 2ln 5ln 32ln 25ln 2ln 5
0,251025--=>>，故选B. 考点：比较大小.
11．D
解析：D 【解析】 【分析】
先判断三角形DAB 为直角三角形,求出BD ,然后推出CBD ∠为直角,可得CD ,进一步可得
cos BDF ∠,最后在三角形EDB 中用余弦定理可得BF . 【详解】
取AB 的中点E ,连DE ,设飞机飞行了15分钟到达F 点,连BF ,如图所示:则BF 即为所求.
因为E 为AB 的中点,且120AB km =,所以60AE km =, 又60DAE ∠=o ,60AD km =,所以三角形DAE 为等边三角形,所以
60DE km =,60ADE ∠=o ,
在等腰三角形EDB 中,120DEB ∠=o ,所以30EDB EBD ∠=∠=o , 所以90ADB ∠=o ,由勾股定理得2BD 22221206010800AB AD =-=-=, 所以3BD km =,
因为9030CBE ∠=+o o 120=o ,30EBD ∠=o ,所以CBD ∠90=o , 所以222108006013240CD BD BC =
+=+⨯=km ,
所以6033
cos 2404
BD BDC CD ∠===
, 因为1
360904
DF km =⨯
=, 所以在三角形BDF 中,
222222cos 902904
BF BD DF BD DF BDF =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯
g 10800=,
所以BF =km .
故一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改
变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有. 故选D . 【点睛】
本题考查了利用余弦定理解斜三角形,属于中档题.
12．D
解析：D 【解析】 【分析】
由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sin A ＝1，即A ＝900，由余弦定理、三角形面积公式可求角C ，从而得到B 的值． 【详解】
由正弦定理及cos cos sin ,c B b C a A +=得2
sin cos sin cos sin ,C B B C A +=
()2sin sin sin 1C B A A ⇒+=⇒=,因为000180A <<，所以090A =；
由余弦定理、三角形面积公式及)
2224S b a c =
+-，得1sin 2cos 24
ab C ab C =,
整理得tan C =，又00090C <<,所以060C =,故030B =. 故选D 【点睛】
本题考查正、余弦定理、两角和的正弦公式、三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．
二、填空题
13．4【解析】已知等式利用正弦定理化简得：可得可解得余弦定理可得可解得故答案为
解析：4 【解析】
已知等式2sin sin B A sinC =+，利用正弦定理化简得：2b a c =+，3
cos ,5
B =∴Q 可
得4sin 5B ==，114
sin 6225
ABC S ac B ac ∆∴==⨯=，可解得15ac =，∴余弦定理可得，
2
2
2
2cos b a c ac B =+-()()221cos a c ac B =+-+=2
3421515b ⎛⎫-⨯⨯+ ⎪⎝⎭
，∴可解得
4b =，故答案为4.
14．【解析】【分析】首项利用已知条件求出数列的通项公式进一步利用裂项相消法求出数列的和【详解】解：设等差数列的首项为公差为2前n 项和为且成等比数列则：解得：所以：所以：所以：故答案为：【点睛】本题考查的 解析：
200
201
【解析】 【分析】
首项利用已知条件求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和． 【详解】
解：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列．
则：()2
111(22)412a a a +=+，解得：11a =，所以：()12121n a n n =+-=-， 所以：1
1141
1(1)
(1)2121n n n n n n b a a n n --+⎛⎫=-=-⋅+ ⎪-+⎝⎭
， 所以：100111111335199201S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++⋯-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，12001201201=-=， 故答案为：200201
【点睛】
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
15．或6【解析】【分析】由题意要分公比两种情况分类讨论当q ＝1时S3＝3a1即可求解当q≠1时根据求和公式求解【详解】当q ＝1时S3＝3a1＝3a3＝3×＝符合题意所以a1＝；当q≠1时S3＝＝a1(1
解析：
3
2或6 【解析】 【分析】
由题意，要分公比1,1q q =≠两种情况分类讨论，当q ＝1时，S 3＝3a 1即可求解，当q ≠1时，根据求和公式求解. 【详解】
当q ＝1时，S 3＝3a 1＝3a 3＝3×
32＝92，符合题意，所以a 1＝32
；
当q ≠1时，S 3＝
(
)3
111a q q
--＝a 1
(1＋q ＋q 2
)＝92
，
又a 3＝a 1q 2＝3
2
得a 1＝232q ，代入上式，
得
232q (1＋q ＋q 2
)＝92，即2
1q ＋1q －2＝0， 解得
1q ＝－2或1
q
＝1(舍去)． 因为q ＝－
12
，所以a 1＝2
3
122⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭
＝6，
综上可得a 1＝3
2
或6. 【点睛】
本题主要考查了等比数列的性质及等比数列的求和公式，涉及分类讨论的思想，属于中档题.
16．【解析】【分析】根据等比数列通项公式求出计算即可得解【详解】由题故答案为：4【点睛】此题考查等比数列通项公式的应用涉及等比数列求和关键在于熟练掌握等比数列的通项公式和求和公式准确进行指数幂的运算化简
解析：【解析】 【分析】
根据等比数列通项公式，求出()
()
1
211
2122
212
n n n n a
a a a ++--++=-
-+=L ，计算
()
2211
1111222222n n n n n
n a a a a a a a a a a a a a a a a +++-+++==⋅⋅⋅⋅⋅⋅L L L 即可得解.
【详解】
由题2n
n a =， ()
()
1
211
2122212
n n n n a a a a ++--++=-
-+=L
()
2211
1111222222
n n n n n
n a a a a a a a a a a a a a a a a +++-+++==⋅⋅⋅⋅⋅⋅L L L ()
21
12224n n a
a a a +-+++===L .
故答案为：4 【点睛】
此题考查等比数列通项公式的应用，涉及等比数列求和，关键在于熟练掌握等比数列的通项公式和求和公式，准确进行指数幂的运算化简.
17．【解析】【分析】先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性再化简不等式分类讨论分离不等式最后根据函数最值求m 取值范围即得结果【详解】因为当时为单调递减函数又所以函数为偶函数因此不等式恒成立等价于不等式
解析：1
3
-
【解析】 【分析】
先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性，再化简不等式()()1f x f x m -≤+，分类讨论分离不等式，最后根据函数最值求m 取值范围，即得结果. 【详解】
因为当0x ≥时 ()21,01,
22,1,x
x x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩
为单调递减函数，又()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，因此不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，等价于不等式
()()1f x f x m -≤+恒成立，即1x x m -≥+，平方化简得()2211m x m +≤-，
当10m +=时，x R ∈； 当10m +>时，12
m
x -≤
对[],1x m m ∈+恒成立，111
11233
m m m m -+≤
∴≤-∴-<≤-； 当10m +<时，12m x -≥
对[],1x m m ∈+恒成立，11
23
m m m -≥
∴≥（舍）； 综上113
m -≤≤-，因此实数m 的最大值是1
3
-. 【点睛】
解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为()()()()
f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内.
18．【解析】【分析】利用成等比数列得到再利用余弦定理可得而根据正弦定理和成等比数列有从而得到所求之值【详解】∵成等比数列∴又∵∴在中由余弦定理因∴由正弦定理得因为所以故故答案为【点睛】在解三角形中如果题
【解析】 【分析】
利用,,a b c 成等比数列得到222c b a bc +-=，再利用余弦定理可得60A =︒，而根据正弦
定理和,,a b c 成等比数列有1
sin sin c b B A
=，从而得到所求之值. 【详解】
∵,,a b c 成等比数列，∴2b ac =.又∵22a c ac bc -=-，∴222c b a bc +-=.
在ABC ∆中，由余弦定理2221
cos 22
c b a A bc +-== ，
因()0,A π∈，∴60A =︒. 由正弦定理得
2sin sin sin sin sin sin c C C
b B B B B
==， 因为2b ac =， 所以2sin sin sin B A C = ， 故
2
sin sin 123
sin sin sin sin C C B A C A ===. 故答案为 23
. 【点睛】
在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.
19．-10【解析】作出可行域如图所示：由得平移直线由图象可知当直线经过点时直线的截距最大此时最小由得此时故答案为
解析：-10 【解析】
作出可行域如图所示：
由3z x y =-得33x z y =
-，平移直线33
x z
y =-，由图象可知当直线经过点A 时，直线33
x z
y =-的截距最大，此时z 最小
由1
{
2
x x y =-+=得(1,3)A -，此时13310z =--⨯=-
故答案为10-
20．【解析】【分析】变形之后用基本不等式：求解即可【详解】原式可变形为：当且仅当时取等故答案为：【点睛】本题考查了基本不等式及其应用属基础题在利用基本不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等
解析：9
4
【解析】 【分析】
变形
14141444x y y x x y x y ⎛⎫⎛⎫
++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭之后用基本不等式：求解即可. 【详解】
原式可变形为：()141419
14544444x y y x x y x y ⎛⎫⎛⎫++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当43x =，8
3y =时取等．
故答案为：9
4
【点睛】
本题考查了基本不等式及其应用，属基础题．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
三、解答题
21．(I)(Ⅱ)
【解析】
试题分析：（1）由和项求通项，注意分类讨论：当2n ≥时，
1
111.2n n n n n n a S S a a ---⎛⎫
=-=-+- ⎪
⎝⎭即
1
1111222 1.2n n n n n n n a a a a ----⎛⎫
=+⇒=+ ⎪
⎝⎭
1 1.n n b b -⇒=+根据等差数列定义可证，并求
出通项公式()111,n b n n =+-⨯=所以.2n n
n a = （2）因为,
n c n =2211
.2n n c c n n +=-+所以裂项相消法求和得1111212
n T n n =+--++，
这是一个递增数列，而4
525252121
T T ，，因此n 的最大值为4. 试题解析：解：（1）：在1
122n n n s a -⎛⎫=--+ ⎪
⎝⎭中，令1,n =可得
11111
12,.2
a S a a ==--+=
当2n ≥时，1
1112,2n n n S a ---⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭所以1
111.2n n n n n n a S S a a ---⎛⎫
=-=-+- ⎪
⎝⎭
即1
11112,22 1.2n n n n n n n a a a a ----⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭
而12, 1.n n
n n n b a b b -=∴=+
即当12, 1.n n n b b -≥-=又1121,b a ==
所以，数列{}n b 是首项和公差均为1的等差数列． 于是()111,n b n n =+-⨯=所以.2
n n n a = （2）因为2
2log log 2,n n n n
c n a ===所以
()22211.·22
n n c c n n n n +==-++ 111111
1111111...132435112212n T n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+-=+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
-++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
由25,21n T <
得111251,21221n n +--<++即1113.1242
n n +>++ 又()1112f n n n =
+++单调递减，()()1113
4,5,3042
f f == n ∴的最大值为4.
考点：等差数列定义及通项公式，裂项相消法求和
【方法点睛】将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如（其中{a n }是各项均不为零的等差数列，c 为常数）的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和（如本例），还有一类隔一项的裂项求和，如（n≥2）或. 22．（Ⅰ）1
2n n a -=（Ⅱ）112221
n n ++--
【解析】
试题分析：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，，根据已知由等比数列的性质可得
32311(1)9,8a q a q +==，联立解方程再由数列{}n a 为递增数列可得11
{2
a q ==则通项公式可
得
（2）根据等比数列的求和公式，有122112
n
n n s -==--所以
1112(21)(21)
n
n n n n n n a b s s +++==--，裂项求和即可
试题解析：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，所以有
323141231(1)9,8a a a q a a a q +=+===
联立两式可得11{2a q ==或者18
{12
a q ==
又因为数列{}n
a 为递增数列，所以q>1，所以11
{2a q == 数列{}n a 的通项公式为1
2n n a -=
（2）根据等比数列的求和公式，有122112
n
n n s -==--
所以1111211
(21)(21)2121
n n n n n n n n n a b s s ++++===----- 所以1111
11111122
1 (133721212121)
n n n n n n T ++++-=-+-++-=-=---- 考点：等比数列的通项公式和性质，数列求和
23．（1）12n n a -=；（2）2
1
122n n n -++-
【解析】 【分析】
（1）利用数列的递推关系式推出数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，然后求解通项公式．
（2）化简数列的通项公式，利用分组求和法求和即可． 【详解】
（1）由已知1，n a ，n S 成等差数列得21n n a S =+①， 当1n =时，1121a S =+，∴11a =， 当2n ≥时，203m/s B B B
F m g
a m μ-=
=②
①─②得122n n n a a a --=即12n n a a -=，因110a =≠，所以0n a ≠，
∴1
2n
n a a -=， ∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，
∴11
122n n n a --=⨯=．
（2）由12n n n a b na =+得111
222
n n n b n n a -=+=+， 所以()1212111
1n n n
T b b b n n a a a =+++=
+++++L L ()()1111211211212
n n n n n n -⎡⎤
⎛⎫⨯-⎢⎥
⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=++=-++-． 【点睛】
数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法. 24．（Ⅰ）3π；（Ⅱ
【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：（1）根据平面向量//m n r r
，列出方程，在利用正弦定理求出tan A 的值，即可求解角A 的大小；（2）由余弦定理，结合基本不等式求出bc 的最大值，即得ABC ∆的面积的最大值.
试题解析：（1
）因为向量()
m a =r
与()cos ,sin n =A B r
平行，
所以0asinB ＝，
由正弦定理得sinAsinB
－0sinBcosA ＝， 又sin 0B ≠，从而tanA
，由于0<A<π，所以A ＝
3
π
. （2）由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，而a
，b ＝2，A ＝3
π， 得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0， 因为c>0，所以c ＝3. 故△ABC 的面积为
12bcsinA
. 考点：平面向量的共线应用；正弦定理与余弦定理.
25．（Ⅰ）y =225x +2
360360(0)x x
-〉n
（Ⅱ）当x =24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元． 【解析】
试题分析：（1）设矩形的另一边长为am ，则根据围建的矩形场地的面积为360m 2，易得
360
a x
=
，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，我们即可得到修建围墙的总费用y 表示成x 的函数的解析式；（2）根据（1）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x 值 试题解析：（1）如图，设矩形的另一边长为a m 则
45x+180（x-2）+180·2a=225x+360a-360
由已知xa=360,得a=,
所以y=225x+
（2）
．当且仅当225x=
时，等号成立．
即当x=24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元． 考点：函数模型的选择与应用 26．解: (1)∵数列为等差数列,设公差为
, 由,得
,
,
∴
，
.
(2)∵,
∴
∴数列
是首项为9，公比为9的等比数列 .
（3）∵1
1
n n n c a a +=，2n a n =， ∴1111
()22(1)41
n c n n n n ==-⋅++
∴11111(1)()42423n S =
-+-+…111()41n n +-+11(1)41
n =-+ 【解析】
试题分析：(1)∵数列为等差数列,设公差为, …………………… 1分
由,得
,
,
∴
， …………………… 3分
. …………………… 4分
(2)∵
, …………………… 5分
∴， …………………… 6分
∴数列
是首项为9，公比为9的等比数列 . …………………… 8分
（3）∵1
1
n n n c a a +=，2n a n =， ∴11
11
()22(1)41
n c n n n n ==-⋅++………………… 10分
∴11111(1)()42423n S =
-+-+…111()41n n +-+11(1)41
n =-+……… 12分 考点：等差数列的性质；等比数列的性质和定义；数列前n 项和的求法．
点评：裂项法是求前n 项和常用的方法之一．常见的裂项有：
，
，，
，，。