数学_2010-2011学年河北省衡水市某校高三(下)开学数学试卷(理科)(含答案)

2010-2011学年河北省衡水市某校高三（下）开学数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1. 已知集合M ={m|m =i n , n ∈N}，其中i 2=−1，则下面属于M 的元素是（ ） A (1−i)+(1+i) B (1−i)(1+i) C 1−i 1+i
D (1−i)2
2. 已知cos(3π
2−φ)=√3
2
，且|φ|<π
2，则tanφ等于( )
A −
√33 B √3
3
C √3
D −√3 3. 已知函数f(x)={
2x +1，x <1,
x 2
+ax ，x ≥1,
若f(f(0))=4a ，则实数a =( )
A 1
2 B 4
5 C 2 D 9
4. 在的棱长为1的正四面体ABCD 中，E 是BC 的中点，则AE →
⋅CD →
=( ) A 0 B 1
2 C −1
2 D −1
4
5. 已知曲线C:y =2x 2，点A(0, −2)及点B(3, a)，从点A 观察点B ，要使视线不被曲线C 挡住，则实数a 的取值范围是（ ）
A (4, +∞)
B (−∞, 4)
C (10, +∞)
D (−∞, 10) 6. 设曲线y =
2−cosx sinx
在点(π
2, 2)处的切线与直线x +ay +1=0垂直，则a =( )
A 2
B 1
C −1
D −2
7. 已知p ：存在x ∈R ，使mx 2+1≤0；q ：对任意x ∈R ，恒有x 2+mx +1>0．若p 或q 为假命题，则实数m 的取值范围为（ ）
A m ≥2
B m ≤−2
C m ≤−2，或m ≥2
D −2≤m ≤2
8. 设O 为坐标原点，点A(1, 1)，若点B(x,y)满足{x 2+y 2−2x −2y +1≥01≤x ≤2
1≤y ≤2，则OA →⋅OB →
取得最小值时，点B 的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 无数个
9. 已知三棱锥S −ABC 中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA =3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为（ ） A √3
4 B √5
4 C √7
4 D 3
4
10. 已知正项等比数列{a n }满足：a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m ，a n 使得√a m a n =4a 1，则1
m +1n 的最小值为（ ） A 2
3 B 5
3 C 25
6 D 不存在
11. 由0到9这十个数字所组成的没有重复数字的五位数中，满足千位、百位、十位上的数字成递增等差数列的五位数共有（ ）
A 720个
B 684个
C 648个
D 744个
12. 设f(x)={3−x f(x −1)(x ≤0)
(x >0)，若f(x)=x +a 有且仅有三个解，则实数a 的取值范围是
（ ）
A (−∞, 1)
B (−∞, 1]
C (−∞, 2]
D (−∞, 2)
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13. 不等式log 2
x−1x
≥1的解集为________．
14. 已知二次函数y =f(x)的图象为开口向下的抛物线，且对任意x ∈R 都有f(1−x)=f(1+x)．若向量a →
=(√m,−1)，b →
=(√m,−2)，则满足不等式f(a →⋅b →
)>f(−1)的m 的取值范围为________．
15. 过双曲线x 2
a 2−y 2
b 2=1(a >0,b >0)的一个焦点作一条渐近线的垂线，垂足恰好落在曲线
x 2b 2
+
y 2a 2
=1上，则双曲线的离心率为________．
16. 若{a n }是等差数列，m ，n ，p 是互不相等的正整数，有正确的结论：(m −n)a p +(n −p)a m +(p −m)a n =0，类比上述性质，相应地，若等比数列{b n }，m ，n ，p 是互不相等的正整数，有________．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，且C =π
3，a +b ＝λc ，（其中λ>1）．
(Ⅰ)若c ＝λ＝2时，求AC →⋅BC →
的值；
(Ⅱ)若AC →
⋅BC →
=1
6(λ4+3)时，求边长c 的最小值及判定此时△ABC 的形状．
18. 某大学对参加了“世博会”的该校志愿者实施“社会教育实践”学分考核，因该批志愿者表现良好，该大学决定考核只有合格和优秀两个等次，若某志愿者考核为合格，授予0.5个学分；考核为优秀，授予1个学分．假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为4
5、2
3、
23
，他们考核所得的等次相互独立．
（1）求在这次考核中，志愿者甲、乙、两三人中至少有一名考核为优秀的概率；
（2）记这这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．
19. 如图，已知四棱锥P −ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，∠ABC =60∘，E ，F 分别是BC ，PC 的中点．
(1)证明：AE ⊥PD ；
(2)若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为√6
2，求二面角E −AF −C 的余弦值．
20. 已知数列{a n }，{b n }满足a 1=2，2a n =1+a n a n+1，b n =a n −1，数列{b n }的前n 项和 为S n ，T n =S 2n −S n ．
(I)求证数列{1
b n
}是等差数列，并求数列{b n }的通项公式；
(II)求证：T n+1>T n ．
21. 设椭圆C 1:x 2
a 2+y 2
b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，下顶点为A ，线段OA 的中点为B （O 为坐标原点），如图．若抛物线C 2:y =x 2−1与y 轴的交点为B ，且经过F 1，F 2点．
(1)求椭圆C 1的方程；
(2)设M(0, −4
5)，N 为抛物线C 2上的一动点，过点N 作抛物线C 2的切线交椭圆C 1于P ，Q 两点，
求△MPQ 面积的最大值．
22. 已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，O 是直线l 外一点，向量OA →
、OB →
、OC →
满足OA →
=[f(x)+2f′(1)]OB →
−ln(x +1)OC →
． （1）求函数y =f(x)的表达式； （2）若x >0，证明：f(x)>
2x x+2
；
（3）若不等式1
2x 2≤f(x 2)+m 2−2m −3对x ∈[−1, 1]恒成立，求实数m 的取值范围．
2010-2011学年河北省衡水市某校高三（下）开学数学试卷（理科）
答案
1. C
2. D
3. C
4. D
5. D
6. B
7. A
8. B
9. D 10. A 11. D 12. D
13. [−1, 0) 14. 0≤m <1
15. √2
16. b p m−n
×b m n−p ×b n p−m =1
17. （1）∵ a +b ＝λc 由正弦定理得：sinA +sinB ＝λsinC ， 又∵ λ=2,C =
π3
⇒sinB +sin(
2π3
−B)=√3⇒sin(B +π
6
)=1，
∴ B =π
3，根据c ＝2，得到△ABC 为边长为2的等边三角形， ∴ AC →
⋅BC →
=abcosC =2；
（2）由余弦定理得：c 2＝a 2+b 2−2abcosC ＝a 2+b 2−ab ＝(a +b)2−3ab ， 由AC →
⋅BC →
=1
6(λ4+3)⇒ab =1
3(λ4+3)，又a +b ＝λc ， ∴ c 2=λ2c 2−(λ4+3)⇒c 2=λ4+3
λ2−1=(λ2−1)+4
λ2−1+2≥6
∴ c min =√6当且仅当λ=√3时取等号．此时c =√6,ab =4,a +b =3√2，
∴ {a =√2b =2√2c =√6 或{a =2√2b =√2c =√6 ，
∴ △ABC 为直角三角形． 18. 解：（1）记“甲考核为优秀”为事件A ，“乙考核为优秀”为事件B ，
“丙考核为优秀”为事件C ，“志愿者甲、乙、两三人中至少有一名考核为优秀”为事件E ， 则事件A ，B ，C 相互独立，A ¯
⋅B ¯
⋅C ¯与事件E 是对立事件
则P(E)=1−P(A ¯
⋅B ¯
⋅C ¯
)=1−P(A ¯
)⋅P(B ¯
)⋅P(C ¯
)=1−1
5×1
3×1
3=44
45 （2）ξ的可能取值为3
2，2，5
2，3
∵ P(ξ=3
2)=P(A ¯⋅B ¯⋅C ¯
)=1
45，
P(ξ=2)=P(A ⋅B ¯
⋅C ¯
)+P(A ¯
⋅B ⋅C ¯
)+P(A ¯
⋅B ¯
⋅C)=
845
P(ξ=52)=P(A ⋅B ⋅C ¯)+P(A ⋅B ¯⋅C)+P(A ¯⋅B ⋅C)=20
45
P(ξ=3)=P(A ⋅B ⋅C)=16
45
∴ ξ的分布列为：
∴ E(ξ)=3
2×1
45+2×8
45+5
2×20
45+3×16
45=77
30
19. (1)证明：由四边形ABCD 为菱形，∠ABC =60∘，可得△ABC 为正三角形， 因为E 为BC 的中点，所以AE ⊥BC ， 又BC // AD ，因此AE ⊥AD ，
因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ， 所以PA ⊥AE ，
而PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD 且PA ∩AD =A ， 所以AE ⊥平面PAD ． 又PD ⊂平面PAD ， 所以AE ⊥PD ．
(2)解：设AB =2，H 为PD 上任意一点，连接AH ，EH ，
由(1)知AE ⊥平面PAD ，
则∠EHA 为EH 与平面PAD 所成的角， 在Rt △EAH 中，AE =√3， 所以当AH 最短时，∠EHA 最大， 即当AH ⊥PD 时，∠EHA 最大， 此时tan∠EHA =AE
AH =√3
AH =
√62
， 因此AH =√2，
又AD =2，所以∠ADH =45∘， 所以PA =2．
因为PA ⊥平面ABCD ，PA ⊂平面PAC ， 所以平面PAC ⊥平面ABCD ．
过E 作EO ⊥AC 于O ，则EO ⊥平面PAC ，
过O 作OS ⊥AF 于S ，连接ES ，则∠ESO 为二面角E −AF −C 的平面角，
在Rt △AOE 中，EO =AE ⋅sin30∘=
√3
2
，AO =AE ⋅cos30∘=3
2
，
又F 是PC 的中点，在Rt △ASO 中，SO =AO ⋅sin45∘=3√2
4
， 又SE =√EO 2+SO 2=√3
4+9
8=
√30
4
， 在Rt △ESO 中，cos∠ESO =SO SE =3√24√304
=
√15
5
， 即所求二面角的余弦值为
√15
5
． 20. 解：(1)由b n =a n −1，得a n =b n +1，代入2a n =1+a n a n+1，
得2(b n +1)=1+(b n +1)(b n+1+1)， 整理，得b n b n+1+b n+1−b n =0， 从而有
1b n+1
−
1b n
=1，∵ b 1=a 1−1=2−1=1，
∴ {1
b n
}是首项为1，公差为1的等差数列，∴ 1
b n
=n ，即b n =1
n ．
(2)∵ S n =1+12++1n ，∴ T n =S 2n −S n =1n+1+1n+2++12n ，T n+1=1n+2+1n+3++1
2n +
12n+1
+
1
2n+2
，T n+1−T n =
12n+1
+
12n+2
−
1n+1
>
12n+2
+
12n+2
−
1n+1
=0，
(∵ 2n +1<2n +2)∴ T n+1>T n ．
21. 解：(1)由题意可知B(0, −1)，则A(0, −2)，故b =2．
令y =0得x 2−1=0即x =±1，则F 1(−1, 0)，F 2(1, 0)，故c =1． 所以a 2=b 2+c 2=5． 于是椭圆C 1的方程为：x 2
5+
y 24
=1．
(2)设N(t, t 2−1)，由于y ′=2x 知直线PQ 的方程为：y −(t 2−1)=2t(x −t)．即y =2tx −t 2−1．
代入椭圆方程整理得：4(1+5t 2)x 2−20t(t 2+1)x +5(t 2+1)2−20=0， Δ=400t 2(t 2+1)2−80(1+5t 2)[(t 2+1)2−4] =80(−t 4+18t 2+3)， x 1+x 2=
5t(t 2+1)1+5t 2
，x 1x 2=
5(t 2+1)2−204(1+5t 2)
，
故|PQ|=√1+4t 2|x 1−x 2| =√1+4t 2.√(x 1+x 2)2−4x 1x 2 =
√5⋅√1+4t 2⋅√−t 4+18t 2+3
1+5t 2
． 设点M 到直线PQ 的距离为d ，则d =|4
5
−t 2−1|√1+4t 2
=
|t 2+15
|√1+4t 2
．
所以，△MPQ 的面积S =1
2|PQ|⋅d
=12√5⋅√1+4t 2⋅√−t 4+18t 2+31+5t 2⋅t 2
+15√1+4t 2
=√5
10
√−t 4+18t 2+3 =
√5
10
√−(t 2−9)2+84≤
√5
10
√84=
√105
5
. 当t =±3时取到“=”，经检验此时Δ>0，满足题意． 综上可知，△MPQ 的面积的最大值为
√105
5． 22. 解：（1）∵ OA →
=[f(x)+2f ′(1)]OB →
−ln(x +1)OC →
，且A 、B 、C 在直线l 上， ∴ f(x)+2f ′(1)−ln(x +1)=1，
∴ y =f(x)=ln(x +1)+1−2f ′(1)，f ′(x)=1
x+1，于是f ′(1)=1
2， ∴ f(x)=ln(x +1) （2）令g(x)=f(x)−
2x x+2
，由g ′(x)=
1x+1
−
2(x+2)−2x (x+2)2
=x 2
(x+1)(x+2)2
，
以及x >0，知g ′(x)>0，∴ g(x)在(0, +∞)上为增函数，又g(x)在x =0处右连续， ∴ 当x >0时，得g(x)>g(0)=0，∴ f(x)>
2x x+2
（3）原不等式等价于12
x 2−f(x 2)≤m 2−2m −3，
令ℎ(x)=1
2x 2
−f(x 2
)=1
2x 2
−ln(1+x 2
)，则ℎ′
(x)=x −2x
1+x 2=x 3−x
1+x 2， ∵ x ∈(−1, 0)时，ℎ′(x)>0，x ∈(0, 1)时，ℎ′(x)<0，
∴ ℎ(x)在(−1, 0)为增函数，在(0, 1)上为减函数，
∴ 当x ∈[−1, 1]时，ℎ(x)max =ℎ(0)=0，从而依题意有0≤m 2−2m −3， 解得m ≥3或m ≤−1，故m 的取值范围是(−∞, −1]∪[3, +∞)。